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2025二轮复习专项训练6
导数的几何意义及函数的单调
[考情分析] 1.此部分内容是高考命题的热点内容．在选择题、填空题中多考查导数的计算、
几何意义，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性多在选择题、填空题靠后的位置考查，
难度中等偏上，属综合性问题．
【练前疑难讲解】
一、导数的计算和几何意义
1．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
2．导数的几何意义
(1)f′(x)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x ，f(x))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x)
0 0 0 0
＝f′(x)·(x－x)．
0 0
(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．
二、利用导数研究函数的单调性
求可导函数单调区间的一般步骤
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求导函数f′(x)；
(3)由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调递增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调
递减区间．
三、由单调性求参数范围
由函数的单调性求参数的取值范围
(1)若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间
M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；
(2)若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，则f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解
集；
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是
其单调区间的子集．
一、单选题
1．（2024·广东·模拟预测）若函数 是偶函数，则曲线 在
处的切线斜率为（ ）
A． B．0 C． D．
学科网（北京）股份有限公司2．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知函数 的图象在点 处的切线
方程为 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
3．（2023·陕西榆林·模拟预测）若函数 在其定义域内单调递增，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南大理·模拟预测）若函数 在 为增函数，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
5．（2024·浙江金华·一模）已知函数 ， .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ，求 的取值范围.
6．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程.
(2)讨论 的单调性.
(3)求证：若 ， 有且仅有一个零点.
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B D B A
1．B
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用偶函数的定义可求得 ，进而求得 在 处的导数，可得结论.
【详解】因为函数 是偶函数，所以 ，又易得函数 的定义域是 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，又 ，所以解得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线斜率为 .
故选：B.
2．D
【分析】求出函数 的导数，再利用导数的几何意义求解即得.
【详解】函数 ，求导得 ，
依题意， ，所以 .
故选：D
3．B
【分析】将问题转化为f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，利用基本不等式可得.
【详解】 的定义域为(0,+∞)， ，
因为函数 在其定义域内单调递增，
所以 在(0,+∞)上恒成立，即 在(0,+∞)上恒成立，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 .
故选：B
4．A
【分析】f'(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立，其中 ，令g(x)=f'(x)，则 ，从
而得到 ，验证后得到答案.
【详解】 ，由题意f'(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立，
其中 ，令g(x)=f'(x)，
则需 ，其中 ，故 ，
当 时， ，故f'(x)在(0,+∞)上递增，
∴ 成立.
当 时，取 ，易知 在 上单调递增，
若 ，则 ，所以 在 上递减，
故 ，与题意不符，舍去；
若 时， ， ，所以存在 ，使得 ，
当 时， ，所以 在 上递减，
故 ，与题意不符，舍去；
综上得 .
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司5．(1)单调增区间为 ，减区间为
(2)
【分析】（1）代入参数值，求导函数，解导函数大于0的不等式，得出增减区间；
（2）求导函数，得到增减区间，求得最小值；由题意建立不等式，构建对应函数，由导函
数求得单调区间得最小值再建立不等关系，得到范围.
【详解】（1）当 时，
时，f'(x)<0，x∈(1,+∞)时，f'(x)>0；
∴f (x)的单调增区间为(1,+∞)，单调减区间为(0,1)
（2）
时，f'(x)<0， 时，f'(x)>0
又 ，
令
则 ，显然 单调递减，且 ，
必然存在唯一 使得
当 ， ， 单调递增，
当 ， ， 单调递减
由于 时， ，成立
学科网（北京）股份有限公司当 时， 单调递减，且 ，因此 成立
综上， 成立的范围为
6．(1) ；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）把 代入，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）根据给定条件，按 ， ， ， 分类，利用导数求出单调区间.
（3）利用（2）的结论，结合零点存在性定理推理证明即可.
【详解】（1）当 时， ，求导得 ，则
，而 ，
所以函数 的图象在 处的切线方程为 ，即 .
（2）函数 的定义域为 ，
求导得 ，
①当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
②当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
③当 时， ，函数 在 上单调递减；
④当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司则函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
所以当 时，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ；
当 时，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ， ；
当 时，函数 的递减区间为 ；
当 时，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ， .
（3）①当 时，函数 在 上单调递减，而 ，
，
因此存在唯一 使 ，则 有且仅有一个零点；
②当 时，函数 在 处取得极小值 ，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时，
，
函数 在 上单调递减， 在 上单调递增， ，即 ，
，当 时， ，则 ，
因此存在唯一 使 ，则 有且仅有一个零点；
③当 时，函数 在 处取得极小值 ， ，
同理存在唯一 使 ，则 有且仅有一个零点，
所以 有且仅有一个零点.
【基础保分训练】
一、单选题
学科网（北京）股份有限公司1．（2023·山东潍坊·模拟预测）设 为 上的可导函数，且 ，
则曲线 在点 处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
2．（2023·河南郑州·二模）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，
则 （ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．0
3．（2023·山东·二模）已知直线 与曲线 相切，则实数a的值为（ ）
A． B． C．0 D．2
4．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若 在 和 处有极值，则函数
的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·重庆·一模）已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单
调递增”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ， 为实数， 的导函数为 ，
在同一直角坐标系中， 与 的大致图象不可能是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 和 分别为奇函数和偶函数，且
，则（ ）
A．
B． 在定义域 上单调递增
C． 的导函数
D．
8．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）已知函数 ， ，则下列结论正确
的是（ ）
A．函数 在 上单调递增
B．存在 ，使得函数 为奇函数
C．任意 ，
D．函数 有且仅有2个零点
学科网（北京）股份有限公司三、填空题
9．（2022·全国·高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围
是 ．
10．（2023·广西·一模）若曲线 与 有一条斜率为2的公切线，则
.
11．（2022·全国·模拟预测）曲线 在 处的切线与直线
平行，则 .
四、解答题
12．（22-23高二下·四川资阳·期末）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 时， 单调递增，求 的取值范围．
13．（23-24高三上·湖北·期中）已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数 的单调性.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A C C C BD ABC
1．C
【分析】根据导数的定义，计算得到答案.
【详解】 .
故曲线 在点 处的切线斜率为 .
故选：C
2．C
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据导数的几何意义可知切线斜率为 ，可得 ，计算出切点代入切
线方程即可得 .
【详解】由题意可得 ，
根据导数的几何意义可知，在点 处的切线斜率为 ，解得 ；
所以切点为 ，代入切线方程可得 ，解得 .
故选：C
3．A
【分析】设切点，利用导数的几何意义计算即可.
【详解】设切点为 ，易知 ，则 ，解之得 ，
故选：A
4．C
【分析】求出函数的导函数，依题意 且 ，即可得到方程组，从而求出 、
的值，再利用导数求出函数的单调递增区间.
【详解】因为 ，所以 ，
由已知得 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
由 ，解得 ，所以函数 的单调递增区间是 .
故选：C．
5．C
【分析】求得 在 上单调递增的充要条件即可判断.
【详解】由题
学科网（北京）股份有限公司若 在 上单调递增，则 恒成立， 即 ，
故“ ”是“ 在 上单调递增”的必要不充分条件
故选: .
6．C
【分析】先通过特值代入易得A项符合，对于B, C, D项，通过图象观察分析可得 ，结
合两函数图象交点的位置舍去C项.
【详解】由 可得
对于 ，当 时，在第一象限上 递减，对应 图象在第四
象限且递增，故A项符合；
对于 在第一象限上 与 的图象在 上都单调递增，故 且
，则 .
又由 可得 ，即 与 的图象交点横坐标应大于1，
显然C项不符合，B, D项均符合.
故选：C.
7．BD
【分析】根据函数的奇偶性可得 ，结合选项即可逐一求解,
【详解】由 得 ，由于函数 和 分别为奇函数和偶
函数，所以 ，因此 ，
对于A, ,故A错误，
对于B，由于函数 在 单调递增， 在 单调递减，所以
在 单调递增，故B正确，
学科网（北京）股份有限公司对于C， 当且仅当 时取等号，
而 ，所以C错误，
对于D， ，当且仅当 时取等号，所以D正确，
故选：BD
8．ABC
【分析】A选项：通过导数判断函数单调性；B选项：取特殊值验证结论的存在；C选项：
通过放缩，得到函数值的范围；D选项：通过函数值的符号，判断零点个数.
【详解】对于A： ，
因为 ，所以 ， ，因此 ，
故 ，所以 在 上单调递增，故A正确；
对于B：令 ，则 ，令 ，定义域为 ，关于
原点对称，
且 ，故 为奇函数，B正确；
对于C： 时， ； 时， ；
时， ；C正确；
对于D： 时， ， 时， ，
时， ，所以 只有1个零点，D错误；
学科网（北京）股份有限公司故选：ABC
9．
【分析】设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到
关于 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围.
【详解】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
10．
【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.
【详解】设公切线在曲线 与 上的切点分别为 ，
由 可得 ，所以 ，解得 ，
所以 ,则 ，
所以切线方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司又由 ，可得 ，所以 ，即 ，
所以 ，
又因为切点 ，也即 在切线 上，
所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为: .
11．
【分析】求得 ，得到 ，根据题意得到
，即可求解.
【详解】由题意，函数 ，可得 ，
可得 ， ，
因为曲线 在 处的切线与直线 平行，
可得 ，所以 .
故答案为：
12．(1)
(2) ．
【分析】（1）利用导数公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解.
（2） 在 单调递增时，则 对 恒成立，再利用分离参数法、
导数计算求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由 ，得 ，
则 ，又 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ,
即 ．
（2）因为 时， 单调递增，
所以 时， 恒成立，
即 在 时恒成立，
设 ，则 ，
则 时， ， 时， ，
可知 时， 取极小值 ，该极小值也即为 上的最小值，
所以 ，即 ，
所以 ， 单调递增时， 的取值范围是 ．
13．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出 ，从而得到
，求出切线方程；
（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分 ， 和 三种情况，
讨论得到函数的单调性.
【详解】（1） ，
由已知 ，
∴ 得
学科网（北京）股份有限公司又
∴曲线 在点 处的切线方程为
化简得：
（2） 定义域为R，
，令 得 或
①当 即 时，
令 得 或 ，令 得 ，
故 在 单调递减，在 ， 上单调递增；
②当 即 时， 恒成立，
故 在R上单调递增；
③当 即 时，
令 得 或 ，令 得 ，
在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
综上，当 时， 在 单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在R上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知函数 ， 及其导函数 ， 的定义域
均为 ， 为奇函数， 关于直线 对称，则（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
2．（2023·北京西城·模拟预测）已知函数 ，若存在 ，使得
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东佛山·二模）若斜率为1的直线 与曲线 和圆 都相切，
则实数 的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．0或2
4．（2023·陕西宝鸡·二模）若过点 可作曲线 的三条切线，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·二模）若曲线 有三条过点 的切线，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·辽宁·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数， 也是
定义在 上的奇函数，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·北京海淀·一模）函数 是定义在 上的偶函数，其图象如图所示，
学科网（北京）股份有限公司.设 是 的导函数，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数 的图象关于 对称，下列
结论中正确的是（ ）
A． 是奇函数
B．
C．若 在 上单调递增，则
D． 的图象与直线 有三个交点
9．（2024·河南·模拟预测）已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．点 为 图象的一个对称中心
C．若 在 上有两个实数根，则
D．若 的导函数为 ，则函数 的最大值为
三、填空题
学科网（北京）股份有限公司10．（22-23高二下·浙江杭州·期中）若直线 与曲线 相切，直线
与曲线 相切，则 的值为 .
11．（2023·广东佛山·一模）已知曲线 与曲线 （ ）相交，且在
交点处有相同的切线，则 .
四、解答题
12．（2020·四川成都·模拟预测）已知函数 （ ）.
（1）若f(x)是定义域上的增函数，求a的取值范围；
（2）若 ，若函数f(x)有两个极值点 ， （ ），求 的取值范围.
13．（2024·江苏徐州·一模）已知函数 ， ．
(1)若函数 在 上单调递减，求a的取值范围：
(2)若直线 与 的图象相切，求a的值．
14．（22-23高二下·天津红桥·阶段练习）已知函数 .
(1)若 是 的极值点，求 的值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若函数 在 上有且仅有 个零点，求 的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D B D C B A D AC ACD
1．D
【分析】由 为奇函数得 ，由 关于直线 对称得
为偶函数，对于选项A，由 为偶函数满足 即可判断；对于选项B，
学科网（北京）股份有限公司由 得 即可判断；对于选项C，由偶函数的对称性得到切
线的对称性，从而得到导数的关系即可判断；对于选项D，由 得到
的对称性，从而得到导数的关系即可判断.
【详解】解法一：由 为奇函数得 ，
令 ，则 ，所以 ，
即 ，所以 ；
因为 关于直线 对称，所以 关于 轴对称，
即 为偶函数，所以 .
对于选项A，因为 为偶函数，所以 ，
所以 ，故选项A错误.
对于选项B，由 得 ，
所以 ，故选项B错误.
对于选项C，因为 的图像关于 轴对称，所以 轴左右两边对称点的切线关于 轴对
称，所以切线的斜率互为相反数，
即 ，所以 ，
所以 ，故选项C错误.
对于选项D，因为 ，所以 关于点 中心对称，
因为 ，所以 和 关于点 对称，
学科网（北京）股份有限公司所以 在 和 处切线的斜率相等，即 ，
所以 ，故选项D正确.
故选：D.
2．B
【分析】由条件转化为 有解，求出 与 的切点，数形结合求解
即可.
【详解】由题意 ， ，
即 有解，
先求 与 相切时，
过定点 ， 的导数 ，
设切点为 ，则由导数可知 ，
所以 ，解得 ，
即切点为 ，此时切线斜率 ，
作出函数图象，如图，
由图象可知，当 时，存在存在 ，使得 成立.
故选：B
3．D
【分析】设直线 与曲线 的切点为 ，先根据导数的几何意义求出
学科网（北京）股份有限公司在切点 处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线距离的关
系列式求解即可．
【详解】设直线 与曲线 的切点为 ，
由 ，则 ，
则 ， ，即切点为 ，所以直线 为 ，
又直线 与圆 都相切，则有 ，解得 或 ．
故选：D．
4．C
【分析】设切点为 ，利用导数的几何意义，求得切线方程，根据
切线过点 ，得到 ，设 ，求得 ，
得出函数 单调性和极值，列出方程组，即可求解.
【详解】设切点为 ，
由函数 ，可得 ，则
所以在点 处的切线方程为 ，
因为切线过点 ，所以 ，
整理得 ，
设 ，所以 ，
令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
要使得过点 可作曲线 的三条切线，
则满足 ，解得 ，即 的取值范围是 ．
故选：C．
5．B
【分析】根据导数的几何意义求出过点 的切线方程为 ，利用方程的解个数与函
数图象交点个数的关系将问题转化为 图象与直线 在R上有3个交点，结合
导数求出函数 的极值，根据数形结合的思想即可求解.
【详解】设该切线的切点为 ，则切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
又切线过点 ，则 ，整理得 .
要使过点 的切线有3条，需方程 有3个不同的解，
即函数 图象与直线 在R上有3个交点，
设 ，则 ，
令 ，令 或 ，
所以函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减，
且极小值、极大值分别为 ，如图，
学科网（北京）股份有限公司由图可知，当 时，函数 图象与直线 在R上有3个交点，
即过点 的切线有3条.
所以实数a的取值范围为 .
故选：B.
6．A
【分析】根据 为奇函数及f'(x)为偶函数可求 ，利用导数可判断 为 上的减
函数，从而可求不等式的解.
【详解】因为 ，故 ，
故 ，
因为 是定义在R上的奇函数，故 ，
故 ，故 ，故 ，
此时 ，故 为 上的减函数，
而 等价于 ，
即 即 ，故 或
故选：A .
7．D
【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.
【详解】由 ，且 为偶函数，故 ，
学科网（北京）股份有限公司由导数性质结合图象可得当 时，f'(x)<0，
当 时，f'(x)>0，当 时，即 ，
则由 ，有 ，解得 ，
亦可得 ，或 ，或 ，或 ，
由 可得 或 ，即 ，
由 可得 ，即 ，
由 ，可得 ，即 或 （舍去，不在定义域内），
由 ，可得 ，
综上所述，关于x的不等式 的解集为 .
故选：D.
8．AC
【分析】先函数对称性求解 ，得到 的解析式.A项，化简 可知为奇
函数；B项，代入解析式求值即可；C项，利用整体角求 的单调递增区间，由
可得 范围；D项，利用导数可知直线恰为曲线在 处的切线，
进而可得公共点个数.
【详解】因为 的图象关于直线 对称，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，
验证：当 时， ， 取最大值，
故 的图象关于直线 对称，满足题意；
A项， ，x∈R，由 ，
则 是奇函数，故A正确；
B项，由 ，故B错误；
C项， ，
由 ，解得 ，
当 时， ，
由 在 上单调递增，则 ，
解得 ，故C正确；
D项， 的图象与直线 均过点 ，
由 ，则 ，
故直线 即 与曲线 相切，
如图可知 的图象与直线 有且仅有一个公共点，故D错误.
学科网（北京）股份有限公司故选：AC.
9．ACD
【分析】对于A，直接由周期公式即可判断；对于B，直接代入检验即可；对于C，画出图
形，通过数形结合即可判断；对于D，求得后结合辅助角公式即可得解.
【详解】由题意可得 ，故A正确；
，所以 不是 图象的一个对称中心，故B错误；
令 ，由 得 ，
根据题意可转化为直线 与曲线 ， 有两个交点，
数形结合可得 ，故C正确；
设f'(x)为 的导函数，
则 ，其中 ，
当且仅当 ，即当且仅当 时等号成立，故D
正确，
故选：ACD．
10．1
学科网（北京）股份有限公司【分析】构造函数 ，设切点为 ，设 ，设切点为 ，结合条
件得到 是函数 和 的图象与曲线 交点的横坐标，利用对称性得
出 关于直线 对称，从而得出 ， ，然后计算出 ．
【详解】设 ，则 ，设切点为 ，则 ，
则切线方程为 ，即 ，
直线 过定点 ，
所以 ，所以 ，
设 ，则 ，设切点为 ，则 ，
则切线方程为 ，即 ，
直线 过定点 ，
所以 ，所以 ，
则 是函数 和 的图象与曲线 交点的横坐标，
易知 与 的图象关于直线 对称，而曲线 也关于直线 对称，
因此点 关于直线 对称，
从而 ， ，
所以 ．
故答案为：1.
学科网（北京）股份有限公司11．
【分析】可先设交点为 ，利用利用两函数在该点处的函数值和切线斜率相同列方
程，可求 的值.
【详解】易知：必有a>0.
设两曲线的交点为 ， ， ，由题意： ，
两式相除得： ，∵ ，∴ .
代入 得：
e
解得a=
.
2
故答案为：
12．（1） ；（2） .
【分析】（1）由题得 ，化为 恒成立，即得解；
（2）先求出 ， ，再求出 ，令 ，
则 ，得 ，求出 即得解.
【详解】（1）f(x)的定义域为 ， ，
∵f(x)在定义域内单调递增，
∴ ，即 对 恒成立.
学科网（北京）股份有限公司则 恒成立. ∴ ，
∵ ，∴ .
所以，a的取值范围是 .
（2）设方程 ，即 得两根为 ， ，且 .
由 且 ，得 ，
∵ ， ， ∴ ， ∴ .
，
∵ ，
∴ 代入得 ，
令 ，则 ，得 ， ， ，
∴ 而且 上递减，从而 ，
即 ， ∴ .
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值和双变
量问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
学科网（北京）股份有限公司13．(1)
(2)
【分析】（1）利用函数的单调性与导数的正负，得出导函数的恒成立关系，利用分离参数
和基本不等式即可求解；
（2）利用导数的几何意义及切点的位置关系，建立方程组即可求解.
【详解】（1）记 在 上单调递减，
对 恒成立，
，而 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 时， 取得最小值为 .
所以a的取值范围为
（2）设直线 与 的图象相切于 ，
，
由题意可知 ，
代入 ，
，左边式子关于 单调递减且 时，左边
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(2)答案见解析
(3) .
【分析】（1）由题意，求导得 ，然后根据 ，即可得到结果；
（2）由题意，求导得 ，然后分 与 两种情况讨论，即可得到结果；
（3）由题意，构造函数 ，将函数零点问题转化为两个图像交点问题，结合图像
即可得到结果.
【详解】（1）因为
则 ，即 ，所以 ，经检验符合题意
（2） ，则 .
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 ，
若 ，则 ；若 ，则 .
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
综上所述，当 时，函数 的增区间为 ；
当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 .
（3）当 时，由 可得 ，令 ，其中 ，
则直线 与函数 在 上的图像有两个交点，
学科网（北京）股份有限公司，当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减.
所以，函数 的极大值为 ，且 ， ，如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 在 上的图像有两个交点，
因此，实数 的取值范围是 .
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