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第12 讲 导数的运算与几何意义
易错分析
易错点一 混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的
切线方程
题型方法
题型一 导数的计算
题型二 切线的方程
题型三 公切线问题
题型四 多切线问题
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或 .
f′(x0)＝lim ＝ .
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝lim .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0 处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的
，相应的切线方程为
．
题型梳理
知识清单
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝______
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)
f′(x)＝______
f(x)＝sin x
f′(x)＝______
f(x)＝cos x
f′(x)＝______
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝______
f(x)＝ex
f′(x)＝______
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝______
f(x)＝ln x
f′(x)＝_____
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝ ；
[f(x)g(x)]′＝ ；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ ．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y 对x 的导数等于y 对u 的
导数与u 对x 的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)
【易错点一】混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程
【例1】（2023·全国甲卷·高考真题）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】【变式1】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数
，过点
作曲线
的切线，则此切
线的方程为 ．
【变式3】（2024·江西鹰潭·三模）已知函数
.
(1)求曲线
过点
的切线方程；
(2)若
，求的取值范围.
【题型一】导数的计算
【例1】（2024·福建漳州·三模）已知函数
是函数
的导函数，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
解题技巧
易错分析
题型方法
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元
【举一反三】【变式1】（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．
(a 为常数)
B．
C．
D．
【变式2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
图象的一条切线的方程为
，则
．
【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
为
的导函数，
．
(1)求
的值;
(2)求
在
上的零点个数．
【题型二】切线的方程
【例2】（2020·全国I 卷·高考真题）函数
的图像在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数
是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 的切线”．
【举一反三】【变式1】（2024·江西景德镇·一模）过点
且与曲线
相切的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·山东泰安·模拟预测）函数
在
处的切线方程为 .
【变式3】（2025·辽宁·三模）已知函数
．
(1)当
时，判断过点
且与曲线
相切的直线有几条，并求出切线方程；
(2)求
的最值．
【题型三】公切线问题
【例3】（2025·河南南阳·三模）已知函数
与
存在公切线，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标
的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
【举一反三】【变式1】（2025·湖南·三模）若直线
（k 为常数）是曲线
和曲线
的公切线，
则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．e
【变式2】（2025·河北·模拟预测）若函数
与
的图象有两条公切线，则实数
的取值范
围是 .
【变式3】（2024·山东聊城·三模）已知函数
.
(1)若曲线
与
有一条斜率为2 的公切线，求实数
的值；
(2)设函数
，讨论
的单调性.
【题型四】多切线问题
【例4】（2022·河南洛阳·三模）若过点
作曲线
的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【举一反三】【变式1】（2023·四川凉山·一模）函数
在区间
的图象上存在两条相互垂直的切
线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·黑龙江·模拟预测）若过点
可作出曲线
的三条切线，则
的取值范围是
【变式3】（2025·山东威海·三模）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，若曲线
有三条过点
的切线，求
的取值范围；
(3)设
为非负实数，
为正实数，若
，证明：
．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
2．（2025·甘肃白银·二模）已知函数
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·宁夏银川·二模）已知点
不在函数
的图象上，且过点
仅有一条直线与
的图象
相切，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
，曲线
在点
处的切线与直线
平行，
则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
5．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数
，若曲线
与
有两条公切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若两曲线
与
存在公切线，则正实数
的取值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
好题必刷
7．（2025·河北保定·一模）已知曲线
，则（ ）
A．直线
与曲线
相切
B．若直线
与曲线
相切，则
C．当曲线
与曲线
都相切时，
D．当
时，若过原点可作曲线
的两条切线，则
或
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，过点
的直线与曲线
相切，则与直线垂直
的直线为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设
，若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切
线，则
．
10．（2025·山西忻州·模拟预测）记函数
的导函数为
，若
，则
．
11．（2025·四川巴中·三模）已知函数
，若函数
在点
处的切线方程为 .
四、解答题
12．（2025·重庆·二模）已知函数
在
时取得极值.
(1)求函数
的单调性；
(2)已知点
，求过点
且与曲线
相切的切线条数.
13．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，写出曲线
的两条相互垂直的切线方程，并说明理由．
(2)设
，当
时，
，求
的取值范围．
14．（2025·河北·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
是
的极小值点，求a 的取值范围．
15．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知函数
，
．
(1)当
时，求
在
上的值域；
(2)证明：曲线
与
在点
处存在公切线.
