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2026 届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(1)
一、小题知识归纳
单选1：交集与一元二次不等式、对数不等式融合 单选2：复数乘法运算及复数的模
单选3：平面向量线性表示 单选4：圆与抛物线融合
单选5：圆柱侧面积以及体积融合 单选6：正态分布与基本不等式的融合
单选7：椭圆的离心率 单选8：三角函数图像与性质
多选9：方差、中位数、百分位数和相关系数 多选10：三次函数与数列融合
多选11：空间向量与立体几何、同角三角函数、基本不等式、球融合
填空12：二项式定理
填空13：等比数列以及裂项相消求和
填空14：指对型函数与单调性、奇偶性的融合
二、
小题强化训练
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】由对数函数的单调性、一元二次不等式的解法化简集合表示，结合集合交集的定义进行求解
即可.
【解析】因为
，
，
所以
.
故选：C
2．已知复数
，
，则复数
的模
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出
，再求出其模作答.
【解析】复数
，
，则
，
所以
.
故选：B
3．在
中，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算求解.
【解析】因为
，所以
，
所以
，
故选：C.
4．若圆
与抛物线
的准线相切，则
的焦点坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】求出圆的圆心坐标及半径，抛物线的准线方程，再根据准线和圆相切即可得到答案.
【解析】圆
的圆心坐标为
，半径为2，
抛物线
的准线方程为
，
圆
与抛物线
的准线相切，
则有
，解得
，所以抛物线
的焦点坐标为
.
故选：B
5．若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】设出圆柱的高
，找到侧面积
和
之间的关系，即可求得体积.
【解析】根据题意，不妨设圆柱的高为
，又因为轴截面为正方形，
故可得底面半径为
.
则
，解得
，
故可得圆柱体积
.
故选：D.
6．已知随机变量
，且
，则
的最小值为
（ ）
A.
B.
C. 16
D. 48
【答案】C
【分析】先根据正态分布的性质确定
的值，再利用基本不等式求最小值.
【解析】因为
，正态曲线关于直线
对称，
又
，所以
，解得
.
所以
，
因为
，所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故选：C
7．已知椭圆
的左右焦点分别为
､
是
的左顶点，
为
所在平面
内一点，且
.若
与
均为等腰三角形，则
的离心率为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】根据
与
均为等腰三角形，结合
，分情况讨论三角形的腰长，进
而求出椭圆的离心率.
【解析】已知椭圆
的左、右焦点为
，
，左顶点
.
因为
为等腰三角形且
，所以
是等边三角形，边长为
，故
，
点坐标为
.
又
为等腰三角形，
，
，
.
由等腰三角形性质，
若
，则
，则
，离心率
.
若
，可得
，即
，则
，因为
，所以此情况
不成立.
若
，可得
，则
，
化简得
，因为
，所以
，不满足
，此情况不成立.
因此，椭圆的离心率为
.
故选：D
8．已知函数
，若对任意的
，
恒成立，且当
时，
取到最大值，则
的所有可能取值构成的集合为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】根据已知条件“对任意的
，
恒成立”得出函数周期，从而得出
值，
利用“
时，
取到最大值”得出
的表达式，从而得出
的表达式，最后结合余弦函
数的周期性得出
的所有可能值．
【解析】
，对任意的
恒成立，
函数周期
满足
，
，
，
当
时，
取到最大值，
，
，即
，
，
，则
的可能值为：
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，值循环出现．
的所有可能取值集合为：
．
故选：C．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列关于统计的知识，说法正确的是（ ）
A. 若数据
的方差为0，则所有的
都相等
B. 已知样本数据
，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于
原样本的中位数
C. 数据
的第70 百分位数是8.5
D. 若一组样本数据
的对应样本点都在直线
上，则这组样本数据
的相关系数为-1
【答案】AD
【分析】由方差、中位数、百分位数和相关系数的概念逐项判断即可.
【解析】A 项：由方差知识得
，A 项正确；
B 项：去掉其中的一个最小数和一个最大数后，中位数不变，B 项错误；
C 项：
，则70 百分位数为第6 个数9，C 项错误；
D 项：样本点都在直线
，则
完全负相关，所以相关系数为
，D 项正确.
故选：AD
10 ．已知函数
（
）有三个不同零点
，
，
，其中
，则
（ ）
A. 的取值范围为
B. 若
，
，
成等差数列，则
C.
D.
【答案】BCD
【分析】将题设等价转化成直线
与函数
图像有三个不同的交点，作出函数
图像，数形结合即可分析求解判断AB；利用
求出
得到
，接着由方程的根与系数关系分析得到
即可判断C；由C 得到
，通分即可求解判断D.
【解析】由题可得方程
（
）有三个不同的根
、
、
，其中
，
则直线
与函数
图像有三个不同的交点，
，则
时
，
时
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
且
时
，
时
，
作出函数
图像如下图所示，
由图可知的取值范围为
，故A 错误；
因为导函数
关于直线
对称，
所以如图所示函数
图像关于点
对称，
所以由图可知若
、
、
成等差数列，则
，故B 正确；
由图可知
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
又由题方程
即
的根为
、
、
，
且方程
的根为
、
、
，
所以
即
，由图可知
，所以
，
所以
，故C 正确；
由C 可知
，所以
.故D 正确.
故选：BCD
11．如图，在棱长为2 的正方体
中，点
分别为
的中点，动点
在棱
上（不含端点），则下列说法正确的有（ ）
A.
是钝角三角形
B. 平面
截该正方体所得截面的形状可能是平行四边形
C. 当
为
的中点时，平面
与底面
所成角的正切值为
D. 若
在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系.A：利用空间向量数量积的坐标表示公式，判断
各内角中有没有
钝角；B：根据正方体截面性质进行判断；C：根据面面所成角的定义，结合空间向量夹角公式、同角
的三角函数关系进行求解判断；D：根据球的性质，结合空间两点间距离公式、基本不等式、球的表面
积公式进行判断.
【解析】A：建立如图所示的空间直角坐标系，
，设
，
，
因为
，
，
，
所以
是钝角，所以
是钝角三角形，因此本选项说法正确；
B：根据正方体截面性质，可以判断平面
截该正方体所得截面的形状不可能是平行四边形，所以
本选项说法不正确；
C：当
为
的中点时，
，
因为
平面
，
所以
是平面
的一个法向量，
，
设平面
的法向量为
，
所以
，令
，得
，
所以
是平面
的一个法向量，
设平面
与底面
所成角为
，
，
，所以本选项说法正确；
D：
在同一个球面上，设该球的球心为
，
所以由
，
，
，
所以球心坐标
，
所以球
的半径为
，
因为
，
所以
，当且仅当
时取等号，
即当
时，
有最小值
，
所以
有最小值，最小值为
，
所以球的表面积的最小值为
，所以本选项说法正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．在
的展开式中，
的系数为________.
【答案】A
【分析】先求得
展开式的通项公式，分别求
和
的项，结合题意即可求得答案.
【解析】由题意得
展开式的通项公式为
，
令
，
，
令
，
，
所以
的系数为0.
故答案为：0
13.已知等比数列
的各项均为正数，且
，
，则数列
的公比
________；设
，则
________.
【答案】 ①.
②.
##
【分析】根据等比数列的通项公式求出
，进而得到
，然后对
进行化简，利用裂项相消法求
出结果即可.
【解析】设等比数列
的首项为
，公比为
，
由
得
，即
.
因
，故
，所以
，解得
.
将
代入
得
，解得
.
故
.
所以
，
所以
.
故答案为：①
；②
.
14.已知函数
（
，
且
）为奇函数，则不等式
的解集为______.
【答案】
【分析】先根据奇偶性求得
，
，再结合指数函数和对数函数的大单调性，利用复合函数单
调性法则分析函数
的单调性，结合奇偶性分类讨论解不等式即可．
【解析】
为奇函数，
定义域需关于原点对称，
，即
，
的解集关于原点对称，即
，
为奇函数，
，
，则
，解得
，
，定义域
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
又
在
和
单调递增，
在
和
单调递减，
在
和
单调递减，
即
，
即
，
或
或
解得
或
或
，
故不等式
的解集为
．
故答案为：
．
