第12 讲 机械振动与机械波
第12 讲机械振动与机械波................................................................1
1
一．常见命题角度：.....................................................................1
二．常见类型与方法：...................................................................2
三．思维导图...........................................................................2
2
.8
一．机械振动...........................................................................8
【题型1：简谐运动的描述物理量分析】....................................................9
【题型2：简谐运动图像应用】...........................................................10
【题型3：简谐运动对称性与周期性】.....................................................11
【题型4：单摆】.......................................................................12
【题型5：受迫振动与共振】.............................................................13
二．机械波............................................................................13
【题型1：波的形成与描述】.............................................................13
【题型2：波的图像】...................................................................14
【题型3：波的多解问题】...............................................................15
【题型4：振动图像与波动图像的综合】...................................................16
三．波的干涉、衍射和多普勒效应........................................................17
【题型1：波的干涉】...................................................................17
【题型2：衍射和多普勒效应】...........................................................17
18
一：基础练............................................................................18
二：提能练............................................................................23
三：拔高练............................................................................27
一．常见命题角度：
1.
简谐运动：图像分析（x-t 图）、物理量（A、T、f、相位）变化、回复力与能量转化。
2.
单摆模型：周期公式应用、等效重力加速度、类单摆问题。
3.
受迫振动与共振：驱动力频率与固有频率关系、共振条件与曲线。
4.
波的图像与传播：波形图识别、传播方向与质点振动方向互判、波长/波速/周期关系（v = λf ）。
5.
振动图像与波动图像综合：已知一图求另一图、判断质点运动状态（位移、速度、加速度）。
6.
波的多解问题：传播方向双向性、时间周期性（t =nT + Δt）、空间周期性（Δ x =nλ+ Δ x
'）。
7.
波的干涉与衍射：加强点与减弱点条件（路程差Δr =kλ或(2k +1) λ
2）、明显衍射条件。
8.
多普勒效应：波源与观察者相对运动引起的频率变化。
二．常见类型与方法：
1.
图像法：对比振动图像（单个质点）与波动图像（多个质点）。
2.
带动法（微平移法）：判断波的传播方向或质点振动方向。
3.
周期性/对称性分析法：处理多解问题，注意通解表达式。
4.
模型法：识别单摆、弹簧振子等典型模型。
5.
公式法：熟练应用单摆周期公式T =2π ❑√
l
g 、波速公式等。
6.
条件判断法：用于干涉加强/减弱、共振、明显衍射等。
三．思维导图
1.(2025·广东省·高考真题)关于受迫振动和多普勒效应，下列说法正确的是()
A.系统的固有频率与驱动力频率有关
B.只要驱动力足够大，共振就能发生
C.应用多普勒效应可以测量车辆的速度
D.观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率大
【答案】C
【解析】A.系统的固有频率只与系统本身有关，与驱动力频率无关，A 错误；
B.只有驱动力频率与系统固有频率相同时，共振才能发生，B 错误；
CD .根据多普勒效应可知观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率小，观察者与波源
相互靠近时，接收到的波的频率比波源的频率大，所以应用多普勒效应可以测量车辆的速度，C 正确，
D 错误。
故选C。
2.(2025·内蒙古·高考真题)平衡位置在同一水平面上的两个振动完全相同的点波源，在均匀介质中产生
两列波。若波峰用实线表示，波谷用虚线表示，P点位于其最大正位移处，曲线ab上的所有点均为振动
减弱点，则下列图中可能满足以上描述的是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据题意P点位于其最大正位移处，故可知此时P点位于两列波的波峰与波峰相交处；根据干
涉规律可知，相邻波峰与波峰，波谷与波谷连线上的点都是加强点，故A 图像中的曲线ab上的点存在振
动加强点，不符合题意。
故选C。
3.(2025·安徽省·高考真题)如图，某同学演示波动实验，将一根长而软的弹簧静置在光滑水平面上，弹
簧上系有一个标记物，在左端沿弹簧轴线方向周期性地推、拉弹簧，形成疏密相间的机械波。下列表述
正确的是()
A.弹簧上形成的波是横波
B.推、拉弹簧的周期越小，波长越长
C.标记物振动的速度就是机械波传播的速度
D.标记物由静止开始振动的现象表明机械波能传递能量
【答案】D
【解析】A.弹簧上形成的波的振动方向与传播方向平行是纵波，故A 错误；
B.同一介质中，波的传播速度相同，则波的传播速度不变，推、拉弹簧的周期越小，波的周期越小，由
公式λ = vT可知，波长越短，故B 错误；
C.标记物振动的速度反应的是标志物在平衡位置附近往复运动的快慢，机械波的传播速度是波在介质中
的传播速度，二者不是同一个速度，故C 错误；
D.标记物由静止开始振动，说明它获得了能量，这是因为机械波使得能量传递给标记物，则标记物由静
止开始振动的现象表明机械波能传递能量，故D 正确。
故选D。
4.(2025·四川省·高考真题)如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从
左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静
止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同
侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则()
A.小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B.小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C.小球甲、乙的振动周期之比为3:4
D.小球丙、丁的摆长之比为1:2
【答案】C
【解析】根据单摆周期公式T =2π ❑√
L
g
可知T 丁>T 丙>T 乙>T 甲
CD.设甲的周期为T 甲，根据题意可得2T 甲= 3T 乙
2
=T 丙= T 丁
2
可得T 丙=2T 甲，T 乙= 4
3 T 甲，T 丁= 4T 甲
可得T 甲:T 乙=3:4，T 丙:T 丁=1:2
根据单摆周期公式T =2π ❑√
L
g
结合T 丙:T 丁=1:2
可得小球丙、丁的摆长之比L丙: L丁=1:4
故C 正确，D 错误；
A.小球甲第一次回到释放位置时，即经过T 甲( T 丙
2 )时间，小球丙到达另一侧最高点，此时速度为零，位
移最大，根据a=- kx
m 可知此时加速度最大，故A 错误；
B.根据上述分析可得T 乙= 1
3 T 丁
小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为T 丁
4 (即3T 乙
4
)可知此时小球乙经过平衡位置，此时
速度最大，动能最大，故B 错误。
故选C。
5.(2025·云南省·高考真题)如图所示，均匀介质中矩形区域内有一位置未知的波源。t =0时刻，波源开
始振动产生简谐横波，并以相同波速分别向左、右两侧传播，P、Q分别为矩形区域左右两边界上振动
质点的平衡位置。t =1.5 s和t =2.5 s时矩形区域外波形分别如图中实线和虚线所示，则()
A.波速为2.5m/ s
B.波源的平衡位置距离P点1.5m
C.t =1.0 s时，波源处于平衡位置且向下运动
D.t =5.5 s时，平衡位置在P、Q处的两质点位移相同
【答案】D
【解析】从t =1.5 s到t =2.5 s时间内，波向左、右传播距离均为2m。根据波速公式v = △x
△t ，可得波速
v = 2
1 m/ s=2m/ s，A选项错误。
由题意可知，波向左传播且t =1.5 s时，从波源向左传播的波对应的传播距离x1= vt =1.5×2m=3m，通
过图分析可知，波源平衡位置距离P点1m，B选项错误。
由波速v =2m/ s，结合波形可知波长λ = 4 m，根据T = λ
v ，可得周期T = 4
2 s=2s。t =1.5 s时，根据波
形能判断出波源的振动状态，再往回推0.5 s(到t =1.0 s)，t =1.0 s时波源处于平衡位置且向上运动，C
选项错误。
t =5.5 s与t =2.5 s的时间差△t ' =3 s，△t '
T = 3
2 =1.5，即在t =2.5 s的基础上再经过1.5个周期。分别分析
波源到P、Q点的距离及传播情况，可知平衡位置在P、Q处的两质点位移相同，D选项正确。综上，答
案选D，
6.(2025·山西省·高考真题)（多选）一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于1m，a、b为介质
中平衡位置相距2m的两质点，其振动图像如图所示。则t =0时的波形图可能为()
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】根据振动图像可知当波的传播方向为a到b时，xab= 1
4 λ+nλ,(n=0,1,2...)，λ>1m
解得n=0 或1
即xab= 1
4 λ 或5
4 λ
当波的传播方向为b到a时，xab= 3
4 λ+nλ ,(n=0,1,2...)，λ>1m
解得n=0 或1
即xab= 3
4 λ 或7
4 λ
同时t =0时，a处于平衡位置，b处于波谷位置，结合图像可知AD符合；
故选AD。
7.(2025·湖南省·高考真题)（多选）如图，A (0,0)、B (4,0)、C (0,3)在xy平面内，两波源分别置于A、
B两点。t =0时，两波源从平衡位置起振，起振方向相同且垂直于xy平面。频率均为2.5 Hz。两波源持
续产生振幅相同的简谐横波，波分别沿AC 、BC方向传播，波速均为10m/ s。下列说法正确的是()
A.两横波的波长均为4 m
B.t =0.4 s时，C处质点加速度为0
C.t =0.4 s时，C处质点速度不为0 D.t =0.6 s时，C处质点速度为0
【答案】AD
【解析】A.两横波的波长均为λ = v
f = 4 m，故A 正确；
BC .两列波传到C处所需时间分别为t1= 3
10 s=0.3 s，t2=
❑√3
2+ 4
2
10
s=0.5 s，T = 1
f =0.4 s
故t =0.4 s时，A处波已传到C处且振动了1
4 T，B处波还未传到C处，故C处质点处于正向或负向最大位
移处，加速度最大，速度为零，故BC 错误；
D.分析可知t =0.6 s时两列波都已传播到C处，C处质点到两波源的距离差为Δx =5m-3m=2m= 1
2 λ
故C处为振动减弱点，由于两列波振幅相同，故C处位移始终为零，速度为零，故D 正确。
故选AD。
8.(2025·重庆市·高考真题)（多选）一浮筒(视为质点)在池塘水面以频率f 上下振动，水面泛起圆形的涟
漪(视为简谐波)。用实线表示波峰位置，某时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，如图所
示，则()
A.该波的波长为4 r
B.该波的波速为2fr
C.此时浮筒在最低点
D.再经过1
4 f ，浮筒将在最低点
【答案】AD
【解析】A.根据题意某时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，故可得2 λ =9r -r
即λ = 4 r，故A 正确；
B.该波的波速为v = λf = 4 rf ，故B 错误；
CD.由λ = 4 r，
根据某时刻第1圈实线的半径为r = 1
4 λ
可得此时浮筒处于平衡位置，由于波向外传播，根据同侧法可知此时浮筒处于平衡位置向下振动，
故再经过1
4 f = 1
4 T，
浮筒将在最低点，故C 错误，D 正确。
故选AD。
9.(2025·湖北省·高考真题)（多选）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不
可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力
加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后()
A.小球a可能会运动
B.若小球b做简谐运动，则其振幅为l
2
C.当且仅当l≤mg
k 时，小球b才能始终做简谐运动
D.当且仅当l≤2mg
k
时，小球b才能始终做简谐运动
【答案】AD
【解析】A、释放小球b后，当小球b向上运动挤压弹簧时，若弹簧的弹力大于小球a的重力，小球a会向
上运动，故A 正确；
CD、当小球a向上运动时小球b不做简谐运动，所以小球b始终做简谐运动的临界条件是弹簧压缩时的
最大弹力等于mg，此时弹簧的压缩量为x1= mg
k ，小球b做简谐运动，在平衡位置时弹簧的伸长量为
x2= mg
k ，所以最大振幅为Amax = x1+ x2= 2mg
k
，即将小球b下拉l≤Amax = 2mg
k
时，小球b才能始终做简
谐运动，故C 错误，D 正确；
B、小球b做简谐运动时的振幅为A =l，故B 错误。
故选：AD。
一．机械振动
聚焦机械振动核心板块，涵盖简谐运动回复力特征验证、物理量变化规律及图像分析；单摆周期公式
应用、等效摆长/重力加速度计算与类单摆模型判断；受迫振动驱动力频率特性及共振条件（f 驱=f 固）与
曲线分析，综合考查振动特性、动态过程及能量转化关系。常见类型与方法：
1.
物理量分析：结合x-t 图分析位移、速度、加速度、能量变化。
2.
图像应用：从x-t 图读取振幅、周期、相位，判断运动方向。
3.
对称性应用：平衡位置对称点速度、动能相等。
4.
单摆周期计算：T=2π√(l/g)，测量重力加速度。
5.
受迫振动分析：振动频率等于驱动力频率。
6.
共振条件判断：f 驱=f 固时振幅最大，分析共振曲线
【题型1：简谐运动的描述物理量分析】
1.(2025·江苏省南京市·联考题)如图所示，劲度系数为k的轻弹簧上端固定，下端用细线连接质量均为m的
物体A和B，系统处于静止状态，重力加速度为g，不计空气阻力。t =0时刻烧断细线，t =t0时刻A第一
次上升到最高点。取向下为正方向，A的振动表达式为()
A.y = mg
k cos π
t0
t
B.y = 2mg
k
cos 2π
t0
t
C.y = mg
k sin π
t0
t D.y = 2mg
k
sin 2π
t0
t
【答案】A
【解析】烧断细线前，系统静止，对A、B整体分析，根据平衡条件，弹簧的弹力F =2mg，由胡克定
律F =k x1，可得弹簧的伸长量x1= 2mg
k
，烧断细线后，物体A做简谐振动，当A的合力为零时，处于平
衡位置，此时弹簧的弹力F ' =mg，由胡克定律F ' =k x2，可得弹簧的伸长量x2= mg
k ，所以，物体A振
动的振幅A = x1- x2= 2mg
k
- mg
k = mg
k ，t =0时刻烧断细线，此时物体A在最大位移处，烧断细线后，
A将从此时的位置开始向上运动，到达最高点时t =t0，而从最大位移处到最高点的时间为T
2 ，所以周期
T =2t0，所以角频率ω= 2π
T = π
t0
，取向下为正方向，初始时A在最大位移处，所以A的振动表达式为
y = mg
k cos π
t0
t。
故选A。
2.(2025·河南省·联考题)图1为光滑水平面上的弹簧振子，O为平衡位置，M、N为振子离开平衡位置的最
远两点，取向右为x轴的正方向，图2为弹簧振子的振动图像。下列说法正确的是()
A.t =0时刻，振子在M点
B.t =0.1s时刻，振子的加速度最大
C.t =0.1s到t =0.2s过程，振子的加速度与速度同向
D.t =0.2s到t =0.3 s过程，弹簧的弹性势能转化为振子的动能
【答案】D
【解析】t =0时刻，振子在正向最大位移处，即在N点，A项错误;
t =0.1s时刻，振子的位移为零，加速度为零，B项错误;
t =0.1s到t =0.2s过程，速度沿负方向，加速度沿正方向，C项错误;
t =0.2s到t =0.3 s过程，振子的速度增大，弹簧的形变量变小，弹簧的弹性势能转化为振子的动能，D
项正确。
【题型2：简谐运动图像应用】
3.(2025·浙江省·联考题)如图所示，一滑块与固定于墙壁的轻质弹簧栓接，并置于粗糙的足够长的水平轨道
上。将滑块左推压缩弹簧后由静止释放，滑块沿轨道向右运动到最右端后，又返回运动一段距离后停止
在轨道上。设滑块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，滑块与轨道间的动摩擦因数处处相同，取初始
释放位置为原点，向右为正方向，从释放滑块开始计时到滑块最终停止的整个过程中，滑块的位移x与
时间t的图像及加速度a与位移x的关系图像大致正确的是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】AB.分析物块的运动情况，可知物块先向右做加速度增大的加速运动，达到最大速度后，向右
做加速度增大的减速运动，到达最右端后，先向左做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运
动，即物块先加速后减速，再加速再减速，因为x -t图像的斜率表示速度的大小，且位移不可能发生突
变，所以AB 错误；
CD.物块向右运动时，设所受的摩擦力为f ，平衡位置(a=0)时k x0= f ，
在平衡位置左侧x处的回复力F =k( x0+ x)- f =kx，方向向右，可知物块向右滑动时的运动为简谐振动;
同理可证明物块从最右端向左滑动时的运动也为简谐振动，考虑到简谐振动的对称性，则a- x图像是直
线且上下是对称的。
考虑到最右端位置，当刚滑到最右端时F弹- f =ma1，
从最右端开始向左滑动时F 弹- f =ma2，
则a2<a1，
滑块向右滑动经过加速度为零的位置时，则F弹- f =0，
向左滑动到能静止，加速度为零，即F ' 弹- f ' =0，
此时因f ' <f m= f ，可知F 弹' < F弹，
故C 错误，D 正确。
故选D。
【题型3：简谐运动对称性与周期性】
4.(2025·湖北省武汉市·模拟题)（多选）如图甲所示的弹簧振子沿竖直方向做简谐运动，从某一时刻开始计
时，规定竖直向上为正方向，得到弹簧对小球的弹力F与运动时间t的关系图像如图乙所示。若重力加速
度大小为g，图像的坐标值为已知量，则下列说法正确的是()
A.t =0时刻小球处于最高点
B.小球的质量为F1- F2
2 g
C.弹簧振子振动的周期为4t0
3
D.若弹簧振子的振幅为A，则从计时开始到5t0时，小球通过的路程为15 A
【答案】BCD
【解析】A.由题图乙可知，t =0时刻小球所受弹力最大，方向竖直向上，所以小球处于最低点，A 错误；
B.根据对称性，小球在最高点和最低点时的加速度大小相等，方向相反
小球在最高点时有F2+mg=ma
小球在最低点时有F1-mg=ma
解得m= F1- F2
2g
B 正确；
C.由题图乙可知3
2 T =2t0
解得T = 4t0
3
C 正确；
D.由于5t0=3T + 3
4 T
小球在0∼5t0时间内通过的路程s=3×4 A +3 A =15 A
D 正确。
故选BCD。
【题型4：单摆】
5.(2025·四川省·联考题)如图所示，甲、乙、丙三个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长
依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将三个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。
释放后小球都做简谐运动。当小球乙完成1个周期的振动时，小球甲和丙恰好到达另一侧最高点。则()
A.小球乙、丙的摆长之比为1:2
B.小球乙、丙的摆长之比为1:4
C.小球甲、乙的振动周期之比为2:3
D.小球甲、乙的振动周期之比为2:5
【答案】B
【解析】根据题干并结合图像可知，甲、乙、丙三个单摆摆长l甲<l乙<l丙，根据单摆周期公式
T =2π ❑√
l
g 可知，三个单摆周期T 甲<T 乙<T 丙。根据小球乙完成1个周期的振动时，小球甲和丙恰好到
达
另
一
侧
最
高
点
，
可
知T 乙= 2n+1
2
T 甲= 2n+1
2
T 丙，
由
于T 甲<T 乙<T 丙，
故
T 乙= 2n+1
2
T 甲= 1
2 T 丙(n=1,2,3⋯)，小球乙、丙的周期之比为1:2，则摆长之比为1:4，故A 错误，
B 正确;
小球甲、乙的周期之比为
2
2n+1 (n=1,2,3⋯)，故C、D 错误。
故选B。
【题型5：受迫振动与共振】
6.(2026·江苏省镇江市·其他类型)如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下
振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2 Hz，现匀速转动摇把，转速为240r /min。
则()
A.当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5 s
B.当振子稳定振动时，它的振动频率是6 Hz
C.当转速增大时，弹簧振子的振幅增大
D.当转速减小时，弹簧振子的振幅增大
【答案】D
【解析】AB.由题意可知，匀速转动摇把，转速为240r /min时，振子的转速为：n= 240
60 r / s= 4 r / s，
即当振子稳定振动时，它的振动频率是4 Hz，由转速与频率和周期的关系可得此时振子的周期为：
T = 1
f = 1
n =0.25 s，故AB 错误；
CD .由共振的特点可知，当驱动力的频率与振子的固有频率相同时，振子的振幅最大；由此可知，当转
速减小时，由于振子的振动频率接近其固有频率，故弹簧振子的振幅增大，故C 错误，D 正确。
二．机械波
聚焦机械波核心板块，涵盖波的传播本质（振动形式与能量传递，质点不迁移）、横纵波判断依据；
波速v=λf 的物理量关联及介质决定性；波形图像分析（带动法判振动方向、波形变化推导）、振动与波
动图像互推（周期/波长信息关联）；波的多解问题（方向双向性、时间/空间周期性、质点振动方向不
明）。常见类型与方法：
1.
概念辨析：明确波传递的是振动形式和能量，质点无迁移。
2.
波速计算：应用v=λf，强调波速由介质决定。
3.
方向互判：根据波传播方向确定质点振动方向，反之亦然。
4.
图像分析：从波形图读取波长、振幅，判断质点位移及加速度方向。
5.
波形推演：结合传播方向绘制Δt 时间后的波形。
6.
图像互推：区分振动图像（单质点位移-时间）与波动图像（多质点位移-位置），互推波传播方向。
7.
多解处理：考虑方向双向性、时间周期性（t=nT+Δt）、空间周期性（Δx=nλ+Δx’）及质点振动
方向不明的多解情形。
【题型1：波的形成与描述】
7.(2025·四川省·联考题)（多选）图示为xOy坐标系中P0处波源振动t = 3
4 T后形成的简谐横波，其振幅为A、
周期为T，P0∼P9为横波上间距相等的质点。下列说法正确的是()
A.波源起振方向沿y 轴正方向
B.t=1
2T 时,质点P2的速度最大
C.质点P1和P3起振后,任意时刻位移大小相等,方向相反
D.在0~T 这段时间内,质点P2运动的路程为3A
【答案】AD
【解析】由题图中的波形图可以看到,当前位于波前的质点P6将要向上振动,这表明波源起振方向沿y 轴
正方向,A 正确;t=1
2T 时,质点P2运动到最高点,振动速度为0,B 错误;质点P1和P3相距1
4 波长,并非反相点,C
错误;质点P2距离波源1
4 波长,因此在t=1
4 T 时才开始振动,0~1
4 T 内,质点P2路程为0,1
4 T~1
2T 内,质点P2从
平衡位置运动到最高点,路程为A,1
2T∽3
4 T 内,质点P2从最高点运动到平衡位置,路程为A,3
4 T~T 内,质点P2
从平衡位置运动到最低点,路程为A,因此0~T 内,质点P2运动的路程为3A,D 正确。
【题型2：波的图像】
8.(2025·湖北省·联考题)（多选）一列简谐横波沿x轴传播，波源位于坐标原点处，且从t =0时刻开始振动，
t =5 s时的波形如图所示，此时该波刚好传到x =10m处，则下列说法正确的是()
A.波源起振的方向为y轴正方向
B.该波的波速为2m/ s
C.当t =10 s时x =10m处的质点在波峰
D.x =2m处的质点的振动方程为y =2sin( π
2 t + π
2 )cm(t ≥1s)
【答案】BD
【解析】t =5 s时该波刚好传到x =10m处，波沿x轴正方向传播，根据振动方向与波传播方向的关系可
知x =10m处的质点沿y轴负方向运动，各质点起振的方向与波源起振的方向相同，则波源起振的方向为
y轴负方向，选项A 错误;
波速v = △x
△t ==2m/ s，选项B 正确;
从题图可知该波波长为λ =8m，波的周期为T = λ
v =
8m
2m/ s = 4 s，t =5 s时该波刚好传到x =10m处，
t =10 s时x =10m处的质点运动的时间为△t =5 s，△t =1 1
4 T，质点起振方向沿y轴负方向，则t =10 s时
x =10m处的质点在波谷处，选项C 错误;
各质点的振幅为A =2cm，振动的圆频率为ω= 2π
T = π
2 rad / s，x =2m处质点的振动方程为
y =2sin( π
2 t +φ)，当t = △x
v =
2m
2m/ s =1s时波传到该点，此时质点位移为0，
即0=2sin( π
2 ×1+φ)cm，解得φ= π
2 或φ=- π
2 ，质点起振方向沿y轴负方向，则φ= π
2 ，x =2m处的质
点的振动方程为y =2sin( π
2 t + π
2 )cm，t =1s时波刚好传到x =2m处，质点开始振动，选项D 正确。
【题型3：波的多解问题】
9.(2025·天津市市辖区·联考题)（多选）一列沿x轴负方向传播的机械波，其图像如图所示，实线是t =0时
刻的波形，此时质点P位于平衡位置。虚线是t =0.6 s时刻的波形，此时质点P位于波峰位置。下列说法
正确的是()
A.t =0时刻，质点P向y轴正方向运动
B.该波的波长为4 m
C.该波的波速可能为5m/ s
D.0∼0.6 s时间内，质点P运动的路程可能为0.2m
【答案】BC
【解析】A、机械波沿x轴负方向传播，t =0时刻，质点P向y轴负方向运动，故A 错误；
B、由图可知，该波的波长为4 m，故B 正确；
C、Δt =(n+ 3
4)T (n=0,1,2,3,)，n=0时，T =0.8 s，v = λ
T =5m/ s，故C 正确；
D、0∼0.6 s时间内，质点P运动的路程最小为0.6
T ×4 A = 0.6
0.8 ×4×0.2m=0.6m，故D 错误。
故选BC。
10.(2025·湖北省襄阳市·联考题)如图甲所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t时刻的波形图，P、Q分
别是平衡位置为x1=5.0m和x2= 50
3 m的两质点，图甲为t =0时刻的波形图，图乙为质点P的振动图像。
求：
(1)波的传播速度大小；
(2)Q点沿y轴正向振动时速度最大的时刻；
(3)P、Q两质点速度相同的时刻。
【答案】解：(1)由图可知，波长λ =20m，周期T =8 s，波速为v = λ
T =2.5m/ s；
(2)当t =0时，位于平衡位置且向上运动的点的振动状态传到Q时，Q点速度最大且向上运动，
故t = nλ+ xPQ
v
=(8n+ 14
3 )s其中n=0,1,2,3……；
(3)P、Q两质点的平衡位置的中点R的坐标为xR= x1+ x2
2
= 65
6 m，
当质点R的位移等于零时，质点P、Q的速度相等；又因为该简谐波向x轴正方向传播，质点R运动到平
衡位置所需时间为t = xR- xP
v
+ k ⋅T
2 =(4 k + 7
3)s(其中k =0,1,2,3……)。
【题型4：振动图像与波动图像的综合】
11.(2025·湖北省·联考题)（多选）如图甲所示，为一在绳上沿着x轴传播的简谐横波于t =0.6 s时的波形图，
M、Q、P三个质点的平衡位置分别在x轴的6m、11m、12m处，图乙为P质点的振动图像，下列说法
正确的是()
A.M点的振动方程为y =-0.2sin( 5 π
3 t )m
B.从图甲时刻开始计时，Q经过0.5 s第一次回到平衡位置
C.从t =0.6 s计时，再经1.7 s，P质点的路程为1.3m
D.从t =0.6 s计时，再经1.7 s，P质点的路程为1.1m
【答案】BD
【解析】A.由图乙可知，t =0.6 s时，P质点沿y轴正方向振动，同侧法可知，波沿x轴正方向传播，M
点此时沿y轴负方向振动，周期T =1.2s，故t =0时刻，M点沿y轴正方向振动，M点的振动方程为
y =0.2sin( 5 π
3 t )m故A 错误。
B.图甲时刻，Q质点沿y轴正方向振动，第一次回到平衡位置要时间为t = T
6 + T
4 = 5
12 T，T =1.2s，得：
t =0.5 s，故B 正确。
CD.从t =0.6 s计时，再经1.7 s，P质点的路程为s=5.5 A =1.1m，故C 错误、D 正确。
三．波的干涉、衍射和多普勒效应
聚焦波的干涉、衍射与多普勒效应，干涉强调频率相同、相位差恒定、振动方向一致的条件及加
强/减弱点判断（Δr=kλ 或(2k+1)λ/2）；衍射关注障碍物尺寸与波长关系（尺寸≤波长时明显）；多普
勒效应分析波源与观察者相对运动引起的接收频率变化（靠近变高，远离变低）。常见类型与方法：
1.
干涉条件验证：频率、相位差、振动方向三要素。
2.
干涉点判断：路程差Δr 与波长λ 的关系（加强/减弱）。
3.
衍射条件判断：障碍物尺寸与波长比较。
4.
多普勒效应分析：相对运动方向决定频率变化趋势（靠近增，远离减）。
【题型1：波的干涉】
12.(2025·江苏省·模拟题)频率相同、振幅都为A的两列横波相遇，某一时刻的情况如图所示，实线表示波
峰，虚线表示波谷。下列说法正确的是()
A.图中M点的振动减弱
B.图中M点的位移不会为零
C.图中N点的振幅为2 A
D.半个周期后图中M点的位移最大
【答案】D
【解析】解析：图中M点的振动加强，经过平衡位置时位移为零，经半个周期后M点位于波谷，位移最
大。图中N点振动减弱，振幅为零。故选D。
【题型2：衍射和多普勒效应】
13.(2025·河北省沧州市·联考题)一同学站在站台上，观察到“瑞龙智行”智能动车组鸣笛匀速通过站台(其
速度远远小于声速)。已知笛声的原始频率为f ，该同学听到的笛声()
A.动车组靠近和远离他时，频率均等于f
B.动车组靠近和远离他时，频率均大于f
C.动车组靠近他时频率小于f ，远离时频率大于f
D.动车组靠近他时频率大于f ，远离时频率小于f
【答案】D
【解析】根据多普勒效应，当声源与观察者有相对运动时，观察者接收到的频率会发生变化：声源靠近
观察者时，接收频率高于原始频率；声源远离观察者时，接收频率低于原始频率。
故选D。
14.(2025·广东省·联考题)（多选）在音乐厅中，小提琴抒情醇美，音域较宽，大提琴气势宏大，具有宽广
的中音域，音乐厅中各种乐器相互配合，让听众体验音乐的美妙与魅力.下列说法正确的是()
A.小提琴和大提琴发出的声波不会产生明显的干涉现象
B.频率越高的声音越容易发生明显的衍射现象
C.音乐厅中的声音传进墙面上的吸音材料后频率不会改变
D.小提琴声可在真空中传播
【答案】AC
【解析】B.波长越长越容易发生衍射，频率越高的声音，其波长越短，越不容易发生衍射，B 错误;
A.若想产生明显的干涉现象，两列声波的频率需相同，小提琴和大提琴发出的声波频率不同，发出的声
波不会产生明显的干涉现象，A 正确;
C.声音的频率由声源决定，声音传进墙面上的吸音材料后频率不会改变，C 正确;
D.机械波不能在真空中传播，D 错误．
一：基础练
1.(2026·云南省·单元测试)竖直方向振动的弹簧振子及其振动图像如图所示，已知小球质量为m=10 g，
弹簧的劲度系数为k =10 N /m，下列说法正确的是()
A.振子(小球)的位移随时间变化的关系式为x =5sin (πt )cm
B.在第1s末到第2s末这段时间内，小球的动能在减少、弹性势能在增加
C.小球的最大加速度为50m/ s
2
D.该小球在0∼20 s内的位移为100cm
【答案】C
【解析】A. 由图可知弹簧振子的振动周期为4 s，可得小球位移随时间变化的关系式为
x = Asin 2π
T t =5sin π
2 t(cm)，A 错误；
B.在第1s末到第2s末这段时间内，小球从最大位移处回到平衡位置，故小球的动能在增加，B 错误；
C.当小球运动到最大位移处时，回复力最大，加速度最大，据牛顿第二定律可得kA =ma，解得小球的
最大加速度为a=50m/ s
2，C 正确；
D.20 s时间相当于5T，每个周期的路程为4 A，故该小球在0∼20 s内的，小球从平衡位置出发，20 s后
又恰好回到平衡位置，故位移为0，D 错误。
故选C。
2.(2025·江苏省南通市·模拟题)某同学利用如图所示的双线摆来测量当地的重力加速度.两根细线长度相
同，摆球垂直纸面来回摆动.实验时()
A.可将双线上端绕在水平杆上
B.从摆角较大的位置释放摆球
C.摆长为球心到横杆的垂直距离
D.测量周期时从摆球到达最高点开始计时
【答案】C
【解析】A、摆线上端直接绕在水平杆上，这样摆球在摆动时，摆线的长度会产生变化，实验误差会增
大，因此摆线的上端应固定在悬点上，故A 错误；
B、单摆在小摆角，即摆角小于5°的情况下做简谐运动，单摆摆角不能过大，故B 错误；
C、摆长为球心到横杆的垂直距离，故C 正确；
D、为减小实验误差，测量周期时应从摆球通过最低点开始计时，并记录多次全振动所用的总时间，故
D 错误。
故选：C
3.(2025·浙江省·高考真题)提水桶跑步是一种提物障碍跑，运动员提着装满水的水桶越过障碍到达终点，
运动员奔跑过程中，下列说法正确的是()
A.水的晃动频率与人跑步频率相同B.人的跑步频率越大，水的晃动幅度越大
C.人的跑步频率越小，水的晃动幅度越大
D.桶里水量越多，水晃动幅度越大
【答案】A
【解析】【解析】A .水桶中的水在竖直方向上受重力和支持力，水平方向上受拉力和摩擦力，竖直方向
上受力平衡，水平方向上受力不平衡，有水平方向的加速度，所以水晃动的频率与跑步频率相同，故A
正确；
BC .水晃动的频率与跑步频率相同，人的跑步频率越大，水的晃动频率越大，但幅度不一定越大，故
BC 错误；
D.水晃动的频率与跑步频率相同，与桶里水量无关，故D 错误。
故选：A。
4.(2025·北京市市辖区·模拟题)某绳波形成过程如图所示，t =0时质点1开始沿竖直方向做周期为T的简
谐运动。t = T
4 时，质点5开始运动。下列说法正确的是()
A.t = T
4 时，质点4正在向下运动
B.t = T
4 时，质点1的加速度为零
C.从t = T
2 到t = 3T
4 ，质点7的速度先增大后减小
D.从t = T
2 到t = 3T
4 ，质点7的加速度先增大后减小
【答案】D
【解析】A.波的形成过程是前一个质点带动后一个质点运动，所以t = T
4 时，质点4正在向上运动，A 错
误；
B.t = T
4 时，质点1在最大位移处，速度为零，的加速度最大，B 错误；
C.从t = T
2 到t = 3T
4 ，质点7先向上运动到最大位移处，后向下运动，速度先减小后增大，C 错误；
D.从t = T
2 到t = 3T
4 ，质点7先向上运动到最大位移处，后向下运动，加速度先增大后减小，D 正确。
故选D。
5.(2025·河南省·模拟题)如图，在粗糙水平地面上静置着倾角为θ、质量为M的斜面体，其斜面光滑。
斜面上放置的质量为m的物块与固定在斜面上端劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧的轴线始终与斜面
平行。在弹簧处于原长时将物块由静止释放，物块在斜面上做往复运动的过程中，斜面体始终保持静止，
重力加速度为g。下列说法正确的是()
A.物块沿斜面向下运动的最大距离为mgsinθ
k
B.地面对斜面体的摩擦力大小可能为零
C.地面对斜面体的摩擦力大小恒为1
2 mgsin 2θ
D.地面对斜面体的支持力小于( M +m)g
【答案】B
【解析】A.物块在斜面上做简谐运动，其振幅为A = mgsinθ
k
，根据简谐运动的对称性可知物块沿斜面
向下运动的最大距离为xm=2 A = 2mgsinθ
k
，故A 错误;
BC .滑块在斜面上做简谐运动，沿斜面方向的加速度按正弦规律变化，即a= gsinθcosωt
其在水平方向上的分量为ax= gsinθcosθcosωt = 1
2 gsin2θcosωt
根据牛顿第二定律可得f =max = 1
2 mgsin 2θcosωt，即摩擦力的大小按余弦规律变化，故B 正确，C
错误;
D.因为a y = gsinθsinθcosωt = gsin
2θcosωt，
在竖直方向上根据系统牛顿第二定律得( M +m)g- N =ma y =mgsin
2θcosωt
解得N =( M +m)g-mgsin
2θcosωt，地面对斜面体的支持力可能大于、等于或小于( M +m)g，故D
错误。
故选B。
6.(2026·专项测试)一列简谐横波在均匀介质中沿x轴负方向传播，已知x = 5
4 λ处质点的振动方程为
y = Acos( 2π
T t )，则t = 3
4 T时刻的波形图正确的是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】AB、因x = 5
4 λ处质点的振动方程为y = Acos( 2π
T t )，当t = 3
4 T时刻，x = 5
4 λ处质点的位移为：
y = Acos( 2π
T × 3
4 T )=0，
那么对应四个选项中波形图x = 5
4 λ的位置，可知，AB选项不符合题意，故AB 错误；
CD、在t = 3
4 T的下一时刻，由振动方程可知，在x = 5
4 λ处质点向y轴正方向振动，再由波沿x轴负方向
传播，依据微平移法，可知D 正确，C 错误；
故选：D。
7.(2025·四川省达州市·模拟题)（多选）如图所示，甲为一列横波在t =0.5 s时的波动图像，乙为该波中
x = 4 m处质点P的振动图像，则下列说法正确的是()
A.该波的传播速度为2m/ s
B.波沿x轴正方向传播
C.t =0.5 s时，x =8m处的质点刚开始振动
D.从t =0.5 s到x =11m处质点开始振动的过程，质点P运动的路程为1.0cm
【答案】BD
【解析】A.由甲图读出波长为λ = 4 m，由乙图读出周期为T =1.0 s，则波速为v = λ
T = 4
1 m/ s= 4 m/ s，
故A 错误；
B.图乙为该波中x = 4 m处质点P的振动图像，由乙图读出t =0.5 s时刻P点的振动方向沿y轴负方向，由
甲图判断出波沿x轴正方向传播，故B 正确；
C.t =0.5 s时，x =6m处的质点刚开始振动，x =8m处的质点还没有振动，故C 错误；
D.从t =0.5 s到x =11m处质点开始振动时经过的时间为：Δt = Δx
v = 11-6
4
s= 5
4 s= 5
4 T，质点P运动的
路程为：s= 5
4 ×4 A =5 A =5×0.2cm=1.0cm，故D 正确。
故选：BD。
8.(2025·四川省资阳市·模拟题)（多选）两列振幅相等、波长均为λ、周期均为T的简谐横波沿同一绳子
相向传播，若两列波均由一次全振动产生，t =0时刻的波形如图所示，此时两列波相距λ，则()
A.t = T
4 时，波形如图甲所示
B.t = T
2 时，波形如图乙所示
C.t = 3T
4 时，波形如图丙所示
D.t =T时，波形如图丁所示
【答案】BD
【解析】解：A、波在一个周期内传播的距离为一个波长，因为t =0时刻两列波相距λ，t = T
4 时，两列
波各传播λ
4 的距离，两列波还没有相遇，各自的波形不变，故A 错误；
B、t = T
2 时，两列波各传播λ
2的距离，两列波刚好相遇，各自的波形不变，波形如图乙所示，故B 正确；
C、t = 3T
4 时，两列波各传播3
4 λ的距离，两个波谷相遇，两波谷叠加处的位移等于原来两个波谷位移之
和，波形与图丙不同，故C 错误；
D、t =T时，两列波各传播λ的距离，左波的波峰与右波的波谷相遇，左波的波谷与右波的波峰相遇，相
遇处位移均为零，波形如图丁所示，故D 正确。
故选：BD。
二：提能练
9.(2025·江西省南昌市·模拟题)一列简谐横波沿x轴正方向传播，x =0处为振源位置。图1为振源的振动
图象，图2中实线、虚线分别为t1、t2时刻的完整波形图，其中a、b、c、d、e是同一均匀介质中的质点。
下列说法正确的是()
A.质点a的起振时刻为1.5 s
B.t1=6 s，t2=9 s
C.质点c运动到质点e的位置所需时间为3 s
D.t2时刻，质点b比质点d多运动的路程为20m
【答案】B
【解析】A、由振源的振动的图象可知，振动周期T = 4 s，则ω= 2π
T = π
2 ，那么振源的振动方程
y = Asinϖt =10sin π
2 tcm，质点a开始振动时，振源第一次向下经过y =5cm处，质点a的起振时刻t满
足5=10sin π
2 t，π
2 t = 5 π
6 ，t = 5
3 s，故A 错误；
B、简谐横波波长为4 m，波速v = λ
T = 4
4 m/ s=1m/ s，实线振动已经传播到6m处，所以t1=6 s，虚线
振动已经传播到9m处，所以t2=9 s，故B 正确；
C、简谐横波振动质点只在平衡位置附近沿y轴上下振动，并不随波迁移，质点c不沿x轴移动，故C 错
误；
D、t2时刻，质点b比质点d振动了2s，多运动的路程为20cm，故D 错误。
故选B。
10.(2025·山西省太原市·模拟题)（多选）简谐横波在均匀介质中沿直线传播，P、Q是传播方向上相距
10m的两质点，波先传到P，当波传到Q时开始计时，P、Q两质点的振动图像如图所示。则()
A.质点Q开始振动的方向沿y轴正方向B.该波从P传到Q的时间可能为7 s
C.该波的传播速度可能为2m/ s
D.该波的波长可能为6m
【答案】AD
【解析】由题图可知，t =0时质点Q处于平衡位置，t = T
4 时运动至波峰，故其起振方向沿y轴正方向，
A 正确；
由题图可知，T =6 s，质点Q比质点P到达同一振动状态晚了Δt =nT + 2
3 T =(6n+ 4)s(n=0,1,2,…)，
Δt即该波从P传到Q所需的时间，若Δt =7 s，则n= 1
2，故B 错误；
由v = Δx
Δt =
10
6n+ 4 m/ s(n=0,1,2,…)知，若v =2m/ s，则n= 1
6 ，故C 错误；
再由λ= vT =
60
6n+ 4 m(n=0,1,2,…)知，当n=1时λ =6m，故D 正确。
11.(2025·广西壮族自治区南宁市·模拟题)（多选）一列简谐横波沿x轴负方向传播，图甲是t =0.6 s时
的波形图。图乙是x =3m处P质点的振动图像(图中未画出)。下列说法正确的是()
A.t =0.6 s到t =0.7 s时间内，P质点向左传播的路程为0.15m
B.t =0.6 s到t =1.0 s时间内，P质点的路程为0.6m
C.该简谐横波的波长可能为5m
D.该简谐横波的传播速度可能为1m/ s
【答案】BD
【解析】A.质点P不能随波迁移，故A 错误；
B.周期等于0.8 s，t =0.6 s到t =1.0 s时间内相当于半个周期，做简谐振动的物体在任意T
2 内，质点的路
程都是2 A，故B 正确；
C.由于波沿x轴负方向传播，由图乙可知，t =0.6 s时P质点位于波谷，所以P与原点的距离满足
Δx =nλ+ 3
4 λ(n=0,1,2…)，该简谐波的波长为
λ =
12
3+ 4 n m(n=0,1,2,3…)，则波长可能是4 m，或者小于4 m，故C 错误；
D.由v = λ
T 可知，该简谐波的波速v =
15
3+ 4 n m/ s(n=0,1,2,3…)，波速可能是1m/ s，故D 正确。
故选：BD。
12.(2026·河北省·单元测试)（多选）甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播，波速均为
2m/ s。t =0时刻二者在x =2m处相遇，波形图如图所示。关于平衡位置在x =2m处的质点P，下列说
法正确的是()
A.t =0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为0
B.t =0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为-2cm
C.t =1.0 s时，P向y轴正方向运动
D.t =1.0 s时，P向y轴负方向运动
【答案】BC
【解析】AB.在0.5 s内，甲、乙两列波传播的距离均为Δx = vΔt =2×0.5m=1m，根据波形平移法可知，
t =0.5 s时，x =1m处甲波的波谷刚好传到P处，x =3m处乙波的平衡位置振动刚好传到P处，根据叠加
原理可知，t =0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为-2cm，故A 错误，B 正确；
CD .在1.0 s内，甲、乙两列波传播的距离均为Δx ' = vΔt ' =2×1.0m=2m，根据波形平移法可知，
t =1.0 s时，x =0甲波的平衡位置振动刚好传到P处，x = 4 m处乙波的平衡位置振动刚好传到P处，且此
时两列波的振动都向y轴正方向运动，根据叠加原理可知，t =1.0 s时，P向y轴正方向运动，故C 正确
D 错误。
故选BC。
13.(2026·专项测试)一列沿x轴传播的简谐横波在t =0时刻的波形如图甲所示，M、N、P、Q是介质中
的四个质点，M点位于平衡位置、P点和Q点分别位于波谷和波峰，M、Q两质点平衡位置之间的距离
为9m，M点的振动情况如图乙所示。
(1)求该波的传播速度大小v；
(2)求Q的平衡位置坐标xQ．
【答案】(1)由图甲可知3
4 λ =9m
则λ =12m
由图乙知T =0.3 s
又v = λ
T = 12
0.3 m/ s= 40m/ s
(2)从t =0时刻开始，M点向上振动，波向右传播，对N点y =10sin( 20 π
3
t - π
6 )cm
当其第一次回到平衡位置，即y =0此时20 π
3
t0- π
6 =0
解得t0= 1
40 s
则有v
解得Δ xMN =1m
即xM =-1m
故Q的平衡位置坐标xQ=8m
三：拔高练
14.(2026·江苏省·期末考试)科研机构对地震波的特性展开研究，图甲为研究过程中简谐横波在t =0时刻
的波形图，M是此波上平衡位置处于x =60m处的一个质点，图乙为质点M的振动图像，求：
(1)该列波的传播速度的大小和方向;
(2)质点M在1s内通过的路程。
【答案】(1)根据图乙可知，0时刻，质点M沿y轴正方向运动，根据图甲，利用同侧法可知，该列波的
传播方向沿x轴负向传播
根据图甲可知，波长为60m，根据图乙可知，周期为1.6×10
-2s，则波传播速度为v = λ
T
v =3750m/ s
(2)t =1s=62.5T
s=62.5×4 A =50m
15.(2025·江苏省·模拟题)一列横波t =0时刻的波形如图甲所示，Q是x轴正方向上离原点5m处的质点(
图中未画出)，图乙表示介质中P质点此后一段时间内的振动图像，求：
(1)此横波的波速多大；
(2)假设t =0时刻此横波刚传到P点，从该时刻开始计时经过时间t =8 s，试确定质点Q所通过的路程大
小；
(3)试画出t =7 s时刻的波形图。
【答案】解：(1)根据题图乙可知t =0时刻P沿y轴负方向运动，则由图甲根据同侧法知波沿x轴正方向
传播
根据题图可知，横波的周期T = 4 s，波长λ =2m，则横波的波速为v = λ
T =0.5m/ s
(2)因为波是匀速传播，所以此横波从该时刻传到Q点经历的时间为t1= Δx
v =6 s
则t =8 s时，Q质点振动了2s，即半个周期，所以通过的路程s=2 A =8cm
(3)t =7 s=1 3
4 T，波从P点向x轴正方向传播了1 3
4 λ =3.5m，即波传播到了x =5.5m处。波形如图：
