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2023 届高考数学冲刺必刷押题密 03 卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求，选对得5分，选错得0分．
1．已知复数 ， 与 共轭， ， 且 ，则
的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应
空之孔.”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太
阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，O为竹空底面圆心，则
太阳角∠AOB的正切值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知非空集合 ， 其中 ，若满足 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ，若 ，则△ABC的形状
是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形5．如图， 是平行四边形 所在平面内的一点，且满足 ，
则 （ ）
A．2 B． C． D．1
6．已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上一点，圆 与线段 相交于
点 ，且被直线 截得的弦长为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．若 ，（ ）试比较 的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知三棱锥 ， 为 中点， ，侧面 底面 ，则过点 的平面
截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知 为圆 上的两点， 为直线 上一动点，则（ ）
A．直线 与圆 相离
B．当 为两定点时，满足 的点 有2个C．当 时， 的最大值是
D．当 为圆 的两条切线时，直线 过定点
10．定义运算 ．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．角B的最大值为 D．若 ，则 为钝角三角形
11．已知 ， 分别为双曲线C： （ ， ）的左、右焦点， 的一条渐近线 的方程为 ，
且 到 的距离为 ，点 为 在第一象限上的点，点 的坐标为 ， 为 的平分线 则下列正确的
是（ ）
A．双曲线的方程为 B．
C． D．点 到 轴的距离为
12．已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B． 在区间 上单调递增C．将函数 图象上各点横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将所得图象向右平移 个单位长度，可得
函数 的图象
D．函数 的零点个数为7
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分。
13．已知函数 （ ）的图象关于 轴对称，且与直线 相切，写出满足上述条件的一个函
数 ______．
14．已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是
_______．
15．在平面直角坐标系 中，已知圆 ， ，直线 与圆 相切，与圆 相交于 ，
两点，分别以点 ， 为切点作圆 的切线 ， 设直线 ， 的交点为 ，则 的最大值为__________．
16．已知数列 的各项都是正数， 若数列 各项单调递增，则首项 的取值范围是
__________ 当 时，记 ，若 ，则整数 __________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．记 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， .
(1)求A；
(2)若 ，求 的面积的最大值.
18．记 为数列 的前 项和，已知 .(1)求 的通项公式；
(2)令 ，记数列 的前 项和为 ，试求 除以3的余数.
19．党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识对抗赛，组委会将参赛人员随机分为若干组，每组
均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委会随机从百年党史题库抽取 道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会
相等 比赛细则为：选手抢到试题且回答正确得 分，对方选手得 分 选手抢到试题但回答错误或没有回答得
分，对方选手得 分 道题目抢答完毕后得分多者获胜 已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题
甲回答正确的概率为 ，乙回答正确的概率为 ，两名选手每道试题回答是否正确相互独立．
(1)求乙同学得 分的概率
(2)记 为甲同学的累计得分，求 的分布列和数学期望．
20．如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形， ∥ ， ，
平面 平面 ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
21．已知椭圆 的上顶点为 ，过点 且与 轴垂直的直线被截得的线段长为 .
(1)求椭圆 的标准方程﹔
(2)设直线 交椭圆 于异于点 的 两点，以 为直径的圆经过点 线段 的中垂线 与 轴的交点为 ，求 的取值范围.
22．已知函数 ，其中 为实数， 为自然对数底数， ．
(1)已知函数 ， ，求实数 取值的集合
(2)已知函数 有两个不同极值点 、 ．
①求实数 的取值范围
②证明： ．
