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小题限时卷 02（A 组+B 组+C 组）
（模式：8+3+3 满分：73分 限时：50分钟）
一、单选题
1．（2024·广东广州·模拟预测）若 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算化简求出复数 ，求得其共轭复数，利用复数的几何意义即可判断.
【详解】由 ，可得 ，
故 在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C.
2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数 ，则曲线 在 处的切线方程
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】导函数在 处的函数值即为斜率，点斜式即可写出直线方程.
【详解】因为 ，所以 ，故 ， ，所以曲线y=f (x)在
处的切线方程为 ，即 .
故选：D.
3．（24-25高三上·四川自贡·期中）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】定义域关于原点对称，且 ，可以判断函数为偶函数，对四个选项一一判断，得到答
案.
【详解】 的定义域为R，
且 ，
故 为偶函数，A正确；
B选项， 的定义域为R， ，，故 不为偶函数，B错误；
C选项， 的定义域为R，
，
故 是奇函数，C错误；
D选项， 的定义域为R，
且 ，
故 为奇函数，D错误.
故选：A
4．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）在等比数列 中，记其前 项和为 ，已知 ，则 的
值为（ ）
A．2 B．17 C．2或8 D．2或17
【答案】D
【分析】根据等比数列通项公式求得 或 ，再利用等比数的求和公式求解即可.
【详解】由等比数列的通项公式可得 ，
整理得 ，
解得 或 ．
当 时， ；
当 时， ．
所以 的值为2或17．
故选：D．
5．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针
菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度 与其来摘后时间 （天）满足的函数解析式为
.若采摘后 天，金针菇失去的新鲜度为 ；若采摘后 天，金针菇失去的新鲜度为
.现在金针菇失去的新鲜度为 ，则采摘后的天数为（ ）（结果保留一位小数， ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出 的值，再根据两个等式相除可求得结果.
【详解】由题可得 ，两式相除可得 ，
则 ， ，
∵ ，解得 ，
设 天后金针菇失去的新鲜度为 ，
则 ，又 ，
∴ ， ， ， ，
则 ，
故选：B.
6．（2024·江苏南通·一模）在正三棱台 中， ， ， 与平面ABC所成角为 ，
则该三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将棱台补全为棱锥，结合已知条件求出大小棱锥的高，利用 及棱锥体积公式求
棱台的体积.
【详解】由题设，将棱台补全为正棱锥 ，如下图，且 均为正三角形，
其中 为底面 中心，连接 ，则 面 ，而 面 ，即 ，
所以 与平面ABC所成角为 ，而 ，则 ，所以，
令 的高为 ，结合棱台的结构特征，知 ，
所以棱台体积 .
故选：C
7．（2024高三上·江苏盐城·期中）已知点 、 是椭圆 的左、右焦点，点M为椭
圆B上一点，点 关于 的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若 ，则椭圆B的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得 ，再结合题设得 ，进而求
出 ，再结合椭圆的定义以及余弦定理 即可求解.
【详解】由题意可知， ，
且 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 即 ，
又 ，所以 ，
所以由余弦定理 得 ，整理得 ，所以 即 .
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出 ，关
键2是利用 和 的关系求出 ，再在 中结合余弦定理即可求解.
8．（2024高三·全国·专题练习）已知对于 ，都有 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，可转化为 ，设 ，则 ，结合
函数单调性可知 ，分离参数，构造新函数 ，根据导数判断单调性可得最值，即
可得解.
【详解】由已知 ， ，
即 ，即 ，
设 ，函数 ，即 恒成立，
又函数 在 上单调递增，且 ，
即 ，
即 ， ，
设 ， ，
则 ，
令 ，解得 ，
当 时，ℎ ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，
当 时，ℎ ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
所以当 时，ℎ(x)取最小值为 ，
即 ，故选：C.
二、多选题
9．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知圆 与圆 ，下列说
法正确的是（ ）
A．过点 作圆 的切线有且只有一条
B．圆 和圆 共有4条公切线
C．若M，N分别为两圆上的点，则M，N两点间的最大距离为
D．若E，F为圆 上的两个动点，且 ，则线段 的中点的轨迹方程为
【答案】ACD
【分析】A选项，利用点圆位置关系即可判断；B选项，将两圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半
径，判断两圆位置关系即可判断；C选项，数形结合得到 ；D选项，由垂
径定理得到 ，从而得到线段 的中点的轨迹方程.
【详解】对于A，对于圆 ，有 ，
所以点 在圆 上，则点 作圆 的切线有且只有一条，故A正确；
对于B，圆 化为标准方程得 ，
则圆 的圆心为 ，半径为2，
圆 的方程化为 ，
则圆 的圆心为圆心 ，半径为3，
因此 ，
因为 ，所以 ，
所以两圆相交，则圆 和圆 共有2条公切线，故B错误；
对于C，根据圆的图象可知 ，故C正确；
对于D，不妨设 中点为 ，则 ，圆 的半径为3，
由垂径定理可知 ，即 ，设点 的坐标为 ，又点 的坐标为(0,1)，
所以 的轨迹方程为 ，故D正确.
故选：ACD.
10．（2024高三上·安徽阜阳·期中）设 ， 为正数，且 且 ，则
（ ）
A． 的最小值是2 B． 的最大值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式判断A；利用基本不等式建立不等式，换元后解不等式判断BC；根据条件转化
为求 的最大值，换元后利用二次函数最值得解判断D.
【详解】由 ，
所以 ，所以 ，
对A， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故A正确；
对B，由
可得 ，
当且仅当 时取等号，令 ，则 ，解得 ，
即 ，
当且仅当 时取等号，故B错误；
对C，由 ，
令 ，则 ，
解得 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，故C正确；
对D，由 可得 ，
所以 ，
令 ，由B知 ，
则由 可知当 时， ，
故当 时， 有最大值 ，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：通过对已知条件 恰当变形后，利用基本不等式，换元法解不等式是
解题的关键所在，对变形化简能力要求很高.
11．（24-25高三上·河南·期中）已知函数 ， ， 是 的两个零点，且
，则（ ）
A． B． 为 的极小值点
C． 的极大值为4 D．满足 的解集是
【答案】BCD
【分析】根据 ， 是 的两个零点可得 ， ，进而结合 即可求得 的
值，进而判断A；结合导数分析函数的单调性，可判断BC；结合函数 的图象可判断D.【详解】因为 ， 是 的两个零点，
则 ，即 ， ，
则 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，则 ，即 .
对于A， ，故A错误；
对于B，由 ，
令f′(x)>0，得 或 ；令f′(x)<0，得 ，
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
则 为 的极小值点，故B正确；
对于C，当 时，函数 取得极大值 ，故C正确；
对于D，由于 ，画出函数 的图象，如图，
满足 的解集是 ，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（24-25高三上·江西宜春·期中） 的展开式中 的系数为 ．
【答案】
【分析】分 取1， 取 和 取 ， 取 两种情况讨论即可.【详解】当 取1， 取 ， 的系数为 ；
当 取 ， 取 时，得 的系数为： .
所以 的系数为： .
故答案为：
13．（2024·吉林·三模）已知 为数列 的前 项和，满足 ，则 ；
.
【答案】
【分析】由题设中的递推关系可得 ，就 的奇偶性后分类讨论后可求 、
.
【详解】因为 ，故 ，
故 ，
当 为偶数时， ，故 ，
当 为奇数时， ，故 即 ，故 ，
而 .
故答案为： .
14．（23-24高三上·北京密云·阶段练习）已知函数 在区间 上有且仅有3个
对称中心，给出下列四个结论：
① 的值可能是3； ② 的最小正周期可能是 ；
③ 在区间 上单调递减； ④ 图象的对称轴可能是 .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【分析】由题意，结合角的范围可得 ，求出 的范围可判断①，利用三角函数的周期公
式可判断②，利用三角函数的性质可判断③④.
【详解】函数 ，
， ，函数 在区间 上有且仅有3个对称中心，
则 ，
，即 的取值范围是 ，
而 ，故①正确；
周期 ，由 ，
得 ， ，
的最小正周期可能是 ，故②正确；
， ，
， ，
又 ，
在区间 上单调递减，故③正确；
当 ，即 ，
又 ，
，
当 时， ，
当 时， ，故④不正确.
故答案为：①②③.
（模式：4+2+1 满分：37分 限时：25分钟）
一、单选题1．（2024·山东·模拟预测）设 是空间中的一个平面， 是两两不重合的三条直线，则下列命题中，
真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ， 则
C．若 ，则
D．若 ， ，则
【答案】D
【分析】利用线面垂直判定定理可判断A；结合线面垂直与线线垂直的性质分析可判断B；由线面垂直性
质可判断C、D.
【详解】对于A，由 ， ，只有直线 与 相交时，可得 ，故A错误；
对于B，由 ，知 或 ，故B错误；
对于C，由 ，则 ，故C错误；
对于D，由 ，可得 ，又因为 ，所以 ，故D正确．
故选：D.
2．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知过抛物线 的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，
若 ，AB的中点到 轴的距离为 ，则p的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用焦点弦的几何性质推理计算得解.
【详解】抛物线 的焦点 ，准线 ，准线交 轴于点 ，
由对称性，不妨令点 在第一象限，过 分别作 ，垂足分别为 ，
过 作 于 ，交 于 ，令 ， ，
，由 ，得 ，即 ，则 ，
线段 中点 ，过 作 于 ，则 ，
由AB的中点到 轴的距离为 ，得 ，因此 ，所以 .
故选：B3．（2024·山东·模拟预测）若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧
面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 在底面的投影为 ，确定球心位置，求 ，由此可求侧棱和侧面三角形的高，再求侧
面积.
【详解】如下图，设 在底面的投影为 ，易知正四棱锥 的外接球球心在 上，
由题设，球体半径 ，则 ，
所以 ， ， ，
中边 上的高为 ，故正四棱锥的侧面积为 .
故选：C
4．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知 在 上单调递增，若 为偶函数， ，
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 为偶函数得到 关于 对称，即有 ，构造函数 ，利用导数判断函数 的单调性，可判断 和 的大小，将 两边同时取对数可判断 和 的大
小，最后根据 在 上单调递增比较大小即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
所以 关于 对称，所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在(1,+∞)上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，
当x>1时，由 得， ，则 ，
由上可得 ，又 在(1,+∞)上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：A．
二、多选题
5．（2024·四川成都·模拟预测）随机事件A， 满足 ，则下列说法正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据条件概率公式，以及和事件概率公式，即可判断选项.
【详解】A. ，所以 ，
，
所以 ，故A错误；B. ，故B错误；
C. ，故C正确；
D. ， ，
所以 ， ，故D正确.
故选：CD
6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数 的图象如图所示，则下列说法中
正确的是（ ）
A．
B．函数 的图象关于点 对称
C．将 向左平移 个单位长度，得到函数
D．若方程 在 上有 个不相等的实数根，则 的取值范围是
【答案】AC
【分析】由图象经过点 列方程求 ，判断A，结合余弦函数性质验证B，根据函数图象变换法则，
结合诱导公式判断C，令 ，可得 在 上有 个不相等的实数根，结合正弦函数性
质判断D.
【详解】观察可得函数 的图象过点 ，
所以 ，
所以 ， ，所以 ， ，又 ，
所以 ，A正确；
所以 ，
因为 时， ，
所以点 不是函数 的图象的对称中心，B错误；
函数 向左平移 个单位长度，可得函数 的图象，
又 ，所以C正确；
因为 ，
由 可得， ，
令 ，由已知可得 在 上有 个不相等的实数根，
因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 时， ， 时， ，
时， ，
所以 ，D错误.
故选：AC.
三、填空题
7．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有2个红球，4个白球，
两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致．现从两袋中各随机取出一个球，若2个球同色，则将
取出的2个球全部放入甲袋中，若2个球不同色，则将取出的2个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响，
按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有4个小球的概率是 ．
【答案】
【分析】两次取球后，乙袋中恰有4个球，则两次取球均为同色，分类计算两次均取到同色球的概率即可
得结论.
【详解】若两次取球后，乙袋中恰有4个球，则两次取球均为同色；若第一次取球均取到红球，其概率为 ，
第一次取球后甲袋中有4个红球和2个白球，乙袋有1个红球和4个白球，
第二次取到同色球概率为 ；
此时乙袋中恰有4个小球的概率是 ；
若第一次取球均取到白球，其概率为 ，
第一次取球后甲袋中有3个红球和3个白球，乙袋有2个红球和3个白球，
第二次取到同色球概率为 ；
此时乙袋中恰有4个小球的概率是 ；
所以乙袋中恰有4个小球的概率是 .
故答案为： .
（模式：1+1+1 满分：16分 限时：15分钟）
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，若 ， 都是奇函数，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用奇函数的性质得到 ，然后通过求导得到 ，
再结合 为奇函数得到f′(x)的周期，根据 为奇函数和 得到f′(1)，最后
利用周期性计算即可.
【详解】由 为奇函数可得 ，
两边分别求导可得 ，
即 ，故 ，所以 ，
又 为奇函数，所以 ，可得 ，故 ，从而 ，
故 是f′(x)的一个周期，
在 中，分别令 和 可得： ， ，
所以 ．
由 为奇函数可得 ，
故 ，所以 ．
故选：A.
【点睛】方法点睛：周期性的相关结论：
① ，则周期 ；
② ，则周期 ；
③ ，则周期 .
二、多选题
2．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 ，则下列说
法正确的是（ ）
A． 的第2项小于1 B．
C． 为等比数列 D． 中存在大于100的数
【答案】AD
【分析】根据 ， ， 时，即可判断AB；利用反证法即可判断C；假设对任意的 ，
，证明假设矛盾即可判断D.
【详解】对于A，由题意，当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，故A正确；
对于B，当 时， ，解得 ，
，所以B错误；
对于C，假设数列 为等比数列，
则 ， ，矛盾，故C错误；对于D，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以数列 是递增数列，所以 ，
假设对任意的 ， ，则 ，
取 ，则 ，矛盾，
所以 中存在大于100的数，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题在推断选项C，D的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行
推导．
三、填空题
3．（2024·四川眉山·一模）已知函数 ，若关于 的方程 有 个不同的实数根，
则 的取值范围是
【答案】
【分析】根据题目先得到 的奇偶性和单调性，从而令 ，若 仅有一个实数根 ，则
，此时只有两个根，不符合题意，若 有两个实数根 ，由对称知， ，故
和 均有两个解，根据判别式即可得到 且 ，然后结合函数单调性
和奇偶性求得结果.
【详解】由题知， 的定义域为 ，
且 ，
所以 为偶函数，
当 时， 恒成立，
所以 在 上单调递增，
由对称性可知 在 上单调递减，
所以 ，
令 ，
若 仅有一个实数根 ，则 ，
此时 ，解得 或 ，有两个根，不符合，舍去；
若 有两个实数根 ，由对称知， ，需要满足 和 均有两个解，
即 和 均有两个解，
由 ， ，解得 ，
又 ，故 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路主要有：
（1）利用换元思想，设出内层函数；
（2）分别作出内层函数与外层函数的图像，分别探讨内外函数的零点个数或范围；
（3）内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
