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2024 届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(17)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．直线 过抛物线 的焦点，且在 轴与 轴上的截距相同，则 的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由抛物线 的焦点为 ，
又由直线 在 轴与 轴的截距相同，可得直线方程为 ，
将点 代入 ，可得 ，所以直线 的长为 .
故选：A.
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ，得 ，所以
又因为 ，所以 .
故选：A．
3．平面向量 ，若 ，则 （ ）
A. 6 B. 5 C. D.
【答案】B
【解析】因 为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
因此 .
故选：B．
4．设 ， ， 表示平面，l表示直线，则下列说法中，错误的是（ ）.
A. 如果 ，那么 内一定存在直线平行于
B. 如果 ， ， ，那么
C. 如果 不垂直于 ，那么 内一定不存在直线垂直于
D. 如果 ， ，则
【答案】D
【解析】对于选项A：根据线面关系可知：对于 与 的位置关系是平行或相交，在 内均存在直线更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
平行于 ，故A正确；
对于选项B：构造正方体（如图），取 为平面 ， 为平面 ， 为平面 ，
直线l即为直线 ，故B正确；
对于选项C：可用反证法假设 ， ，与已知矛盾，故C正确；
对于选项D：如果 ， ， 与 的位置关系为：平行或相交.
故选：D.
5．已知 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D.
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 .
故选：C
6．已知双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延
长线经过另一个焦点．如图所示，一镜面的轴截面图是双曲线的一部分， 是它的一条对称轴，
是它的左焦点，光线从焦点 发出，经过镜面上点 ，反射光线为 ，若 ，
，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】以 所在直线为 轴建立如图所示平面直角坐标系，
设双曲线的右焦点为 ，依题意可知直线 过 ，
依题意， ， ，则 ，
所以三角形 是等腰直角三角形，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
设双曲线的方程为 ， ，由 ，
解得 （负根舍去），由于 ，
所以 ，
，两边除以 得 ，
解得 （负根舍去）.
故选：C
7．已知函数 ，若任意 在 上有零点，则 的取值范围
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，
令 ，因为任意 在 上有零点，
则 在 上有解，
又因为 在 内有解的最短区间长度为 ，
所以 ，解得 .
故选：C.
8．已知函数 ，若 ，且 ，恒有 ，则正实数t
的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不妨设 ，又 ，则 ，
所以 ，即 恒成立，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
故 单调递减，则 恒成立，
即 ．当 时， 成立，符合题意；
当 时，设 ，则 ，故 单调递增，
由 得 恒成立，即 成立．
设 ， ，
则 时， ，当 时， ，
即 在 单调递增，在 单调递减，
，所以 .
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数 ，设 ，当 取大于 的一组实数 、 、 、 、 时、
所得的 值依次为另一组实数 、 、 、 、 ，则（ ）
A. 两组数据的中位数相同 B. 两组数据的极差相同
C. 两组数据的方差相同 D. 两组数据的均值相同
【答案】BC
【解析】因为 ，则 ，则 ，
所以， ，不妨设 ，则 ，
对于A选项， 值的中位数为 ， 值的中位数为 ，且 ，A错；
对于B选项， 值的极差为 ， 值的极差为 ，
且 ，故两组数据的极差相同，B对；
对于C选项，记 ，
，
值的方差为 ，
值的方差为更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
，
故两组数据的方差相同，C对；
对于D选项，由C选项可知， ，D错.
故选：BC.
10．如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于A，B两点，且 ，过点A任作
一条直线与圆 相交于M，N两点，则（ ）
A. 圆C的方程为
B. 圆C与圆 的相交弦所在直线方程为
C.
D.
【答案】AC
【解析】由圆C与x轴相切于点T（1，0），可设圆C的方程为 ，
所以 ，所以圆C的方程为 ，故A正确；
圆C与圆O的方程相减得 ，此方程即为其相交弦所在直线方程，故B错误；
设 为圆O上任意一点，则 ，
所以 ，所以 ， ，
故C正确，D错误，
故选:AC．
11．已知定义在 上的函数 满足 ，当更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
，时， .下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 是奇函数 D. 在 上单调递增
【答案】ACD
【解析】令 ，可得 .
令 ，可得 .因为当 时， ，所以 .
令 ，可得 .
因为 ，所以当 时， .
又因为当 时， ，所以当 时， .
令 ，可得 ，①
所以 ，两式相加可得 .
令 ，可得 .②
①-②可得 ，
化简可得 ，所以 是奇函数，C正确.
由 ，可得：
，B错误.
由 可得 解得 ，A正确.
令 ，可得 .
令 ，则 .
因为当 时， ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增.
因为 为奇函数，所以 在 上单调递增，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．甲、乙、丙、丁共四名同学进行劳动技能比赛，决出第 1名到第4名的名次，已知甲不是第1更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
名，乙不是第4名，则这4个人名次排列的可能情况共有______种．
【答案】14
【解析】直接法：当乙是第1名时，甲、丙、丁共3名同学有 种排法；
当乙不是第1名时，先排乙、甲，再排丙，丁，4名同学共有 种排法，
所以这4个人名次排列共有14种．
间接法：这4个人名次排列的可能情况共有 种．
故答案为：14
13. 已 知 数 列 满 足 ， 则 数 列 的 通 项 公 式 为
__________．
【答案】
【解析】数列 中， ， ，显然 ，
则有 ，即 ，而 ，
因此数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，即 ．
故答案为：
14.已知球 的表面积为 ，三棱锥 的顶点都在该球面上，则三棱锥体积的最大值为
__________．
【答案】
【解析】根据题意，设球的半径为 ，则有 ，解得 ，
设底面 的外接圆的圆心为 ，
需要 的面积越大，先定住 点，
若要 的面积最大，则 得为等腰三角形，
且 在 的底边的高线上，如图所示，
设 到线段 的距离为 ，底面 的外接圆半径为 ，故 ，
， ，
令 ， ，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
故 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，此时 的面积最大，
此时 ，即 ，
所以 是正三角形时，圆的内接三角形面积最大，
设正三角形 的底面边长为 ， ，三棱锥的高为 ，
则 ，故 ，
所以三棱锥的体积： ，
令 ， ，
由 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故当 时， 取最大值，
即三棱锥的体积取得最大值为 ，
故答案为： .
