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2024 届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(16)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 ，
，
则 .
故选：C.
2．某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 ，
， ， .若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ）
A. 40 B. 45 C. 50 D. 60
【答案】C
【解析】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率为 ，
由于低于60分的人数是15，则该班的学生人数是 ，
故选：C
3．已知直线 与曲线 在点 处的切线垂直，则直线 的斜率为（ ）
A. -1 B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】由函数 ，可得 ，
则 ，所以直线 的斜率为 .
故选：C．
4．若数列 的前 项和 ，则数列 的前 项和 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为数列 的前 项和 ，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
所以当 时， ，两式相减，得
，
当 时， 也符合该式，所以 ，
，
所以数列 是首项为12，公差为12的等差数列，
所以 .
故选：C．
5．如图， 为圆锥 底面圆的一条直径，点 为线段 的中点，现沿 将圆锥 的侧面展
开，所得的平面图形中 为直角三角形，若 ，则圆锥 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，作出展开图，可得 为锐角，故 ，
由 ，可得 ，即 为等边三角形，所以 ，
则圆锥的侧面积为 ，底面积 ，
所以圆锥 的表面积为 .
故选：B．
6．2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅
游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”
的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择
一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景
点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是（ ）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
A. 54 B. 21 C. 18 D. 36
【答案】D
【解析】若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为： 的选法总数为： ，
若甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为： 的选法总数为： ，
所以不同的选法总数为: .
故选：D．
7．已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
所以 ，
，
所以
，
故选：A
8．若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令 ， ， ，
， ，
则 ，
令 ， ，当 时， ，所以 在 时单调递
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所以当 时， ，
所以 在 时单调递减，所以 ，所以 ；
当 时， ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
综上， .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．用“五点法”作函数 （ ， ， ）在一个周期内的图象
时，列表计算了部分数据，下列有关函数 描述正确的是（ ）
0
x a b c
1 3 1 d 1
A. 函数 的最小正周期是
B. 函数 的图象关于点 对称
C. 函数 的图象关于直线 对称
D. 函数 与 表示同一函数
【答案】ACD
【解析】根据表格可知 ，且 ，则 ，
由正弦函数的周期性可知 的最小正周期为 ，故A正确；更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，
显然 此时取得最小值，所以 的图象不关于点 对称，故B错误；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，此时 取得最大值，
所以 的图象关于直线 对称，故C正确；
由诱导公式可知 ，故D正确.
故选：ACD
10．已知 为复数，设 ， ， 在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】设 ， ，
， ，
， ，
对于A， ，故选项A正确；
对于B， ， ，故选项B正确；
对于C， ，
当 时， ，故选项C错误；
对于D， ，
可以为零，也可以不为零，所以 不一定平行于 ，故选项D错误.
故选:AB.
11．定义在 上的函数 同时满足① ；②当 时，
，则（ ）
A.
B. 为偶函数
C. 存在 ，使得更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
D. 对任意
【答案】ACD
【解析】对于A， ，令 ，则 ，即
，又 ， ，即 ，
可知 ，即 ，得 即 ，故A正确；
对于B，由选项A可得 ，又令 得 ，解得 ，
，
所以函数 不是偶函数，故B错误；
对于C，因为 ，当 时，
，又 满足上式，
， ，令 ，则 ，
所以存在 ，使得 ，故C正确；
对于D，令 ，
则
，即 ，即 是以1为周期的周期函数，因为当
， ，
则 ，
当且仅当 且 与 异号时等号成立，但 ，故 与2同号，
故等号不成立，故
结合周期性可知对任意 ，均有 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量 ， 为单位向量，且满足 ，则向量 在向量 方向的投影向
量为________
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【解析】因为 ，所以 ，即 ，
又 ， 为单位向量，则 ， ，
所以向量 在向量 方向的投影向量为 .
故答案为：
13.若正四面体 的顶点都在一个表面积为 的球面上，过点 且与 平行的平面 分别与
棱 交于点 ，则空间四边形 的四条边长之和的最小值为__________.
【答案】 ##
【解析】如图，将正四面体放置到正方体中，易知正四面体外接球即正方体的外接球，
设正四面体 的棱长为 ，所以正方体的边长为 ，
易知正方体的外接球直径为体对角线 的长，又 ，所以正四面体的半径
，
依题有 ，得到 ，即正四面体 的棱长为 ，
因为 面 ，面 面 ， 面 ，所以 ，
设
因为 ，则 ， ，
在 中，因为 ，所以 ，
在 中， ， ，则
，
所以空间四边形 的四条边长之和
，
又 ，当 时， ，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
故答案为： .
14.已知 是双曲线 上任意一点，若 到 的两条渐近线的距离之积为 ，则
上的点到焦点距离的最小值为__________．
【答案】
【解析】所求的双曲线方程为 ，则渐近线方程为 ，
设点 ，则 ，
点 到 的两条浙近线的距离之积为 ，
解得： ，故双曲线 方程为： ，
故 ，故双曲线 上的点到焦点距离的最小值为 ．
故答案为： ．
