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2024 届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(12)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．小李同学参加了高三以来进行的 6次数学测试，6次成绩依次为： 90分、100分、120分、115
分、130分、125分.则这组成绩数据的上四分位数为（ ）
A. 120 B. 122.5 C. 125 D. 130
【答案】C
【解析】将6次成绩分数从小到大排列依次为： ，
由于 ，故这组成绩数据的上四分位数为第5个数125，
故选：C
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，
所以以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
3．已知数列 满足 ，若 ，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ， ，
所以 ， ， ，
所以数列 的周期为3.
所以 .
故选:D.
4．设 是两条异面直线，下列命题中正确 是的（ ）
A. 过 且与 平行的平面有且只有一个
B. 过 且与 垂直的平面有且只有一个
C. 过空间一点 与 均相交的直线有且只有一条
D. 过空间一点 与 均平行的平面有且只有一个
【答案】A更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
【解析】
对于A，过 上一点 作 的平行直线 ，则 与 确定一平面 ，由 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，故A正确；
对于B，设过 的平面为 ，若 平面 ，则 ，故若 与 不垂直，则不存在过 的平面
与 垂直，故B错误；
对于C，当点 与 确定一个平面 ，且与 平行时，如图，则过空间一点 与 均相交的直线不
存在，故C错误；
对于D，当点 与 中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，故D错误.
故选：A.
5．2023 年11月30日，重庆市轨道交通新开通 6 个站点，包括5号线中段忠恕沱、红岩村、歇台子
3个站点和10号线南湖、万寿路、兰花路3个站点，为广大市民的出行提供了更多便利.某同学从中随
机选择4个站点实地考察周边情况，则在红岩村被选中的条件下，10号线不少于2个站点的概率为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在红岩村被选中的条件下，还需从其它5个站点中选择3个，共有 种选法，
其中10号线不少于2个站点的选法有 种，
故在红岩村被选中的条件下，10号线不少于2个站点的概率为 ，
故选：B
6．公元 年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个
原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如
在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平
行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被
称为“祖暅原理”. 打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用 打印技术
打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为 的水平截面的面积 可以近似用函数
， 拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（ ）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
圆锥 的高和底面半径为 ，平行于圆锥 底面的截面角圆锥 的母线 于点 ，
设截面圆圆心为点 ，且 ，则 ，
易知 ，则 ，即 ，可得 ，
所以，截面圆圆 的半径为 ，圆 的面积为 ，
又因为 ，
根据祖暅原理知，该“睡美人城堡”的体积与一个底面圆半径为 ，
高为 的圆锥的体积近似相等，
所以该“睡美人城堡”的体积约为 ，
故选：D.
7．设 为抛物线 的焦点， 为 上一点且在第一象限， 在点 处的切线交 轴于
，交 轴于 ，若 ，则直线 的斜率为（ ）
A. －2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
易知 ，设 ，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
则 在点 处的切线方程为 ，
所以 ，显然N为 中点，
由抛物线定义可知 ，
即 为以F为顶点的等腰三角形，所以 ，即 ，
所以直线 的斜率为 .
故选：D
8．在直角梯形 ， ， ， ， ， ， 分别为 ，
的中点，点 在以A为圆心， 为半径的圆弧 上变动（如图所示），若 ，
其中 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】结合题意建立直角坐标，如图所示：
.
则 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，故 ，即 .
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数中最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】由题意，
A项， ，故A正确；
B项，在 中， ，所以 ，当且仅当
时，等号成立，故B正确；
C项， ， ，故 ，当且仅当 即
时等号成立，C错误；
D项， ， ，只有当 时才有 ，当且仅当
即 时等号成立，故D错误.
故选：AB
10．已知点 在圆 上，点 ， ，则（ ）
A. 存在点 ，使得 B.
C. 存在点 ，使得 D.
【答案】ABD更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
【解析】圆 即 ，圆心 ，半径 ，又 ，
所以 ，因为点 在圆 上，所以 ，
所以存在点 ，使得 ，故A对．
因为 ，所以点 在圆外，又 ，点 在圆内，
所以当 与圆 相切时， 取最大值，
此时 ，所以 ，故B对．
对于D，设 ，若
，
又点 在圆 上， 一定成立，故D对，C错.
故选：ABD．
11．在正方体 中， ， 为 的中点， 是正方形 内部一点（不
含边界），则下列说法正确的是（ ）
A. 平面 平面
B. 平面 内存在一条直线与直线 成 角
C. 若 到 边距离为 ，且 ，则点 的轨迹为抛物线的一部分
D. 以 的边 所在直线为旋转轴将 旋转一周，则在旋转过程中， 到平面 的
距离的取值范围是
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【解析】A.如图， 连结 ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
且 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，同理 ，且 ，且 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，
所以平面 平面 ，故A正确；
B.将正方体中，分离出四棱锥 ，取 的中点 ，连结 ，
因为 平面 ， ， ，
即 ，
则 与平面 所成角的最小值是 ， ，
所以 ，
因为线面角是线与平面内的线所成的最小角，所以平面 内不存在一条直线与直线 成
角，故B错误；
C.如图，取 的中点 ，连结 ， 平面 ，作 于点 ，则
因为 ，则 ，即点 到点 的距离和点 到 的距离相等，即可点
形成的轨迹是抛物线，故C正确；更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
D.连结 交 于点 ，取 的中点 ，连结 ，
则点 的运动轨迹是平面 内以 为圆心， 为半径的圆，
易知 ，由 ，知 ， ，且 平面 ，
所以 平面 , 平面 ，
所以平面 平面 ，
，
如图， 与圆的交点分别为 ，
当点 位于点 时，点 到平面 的距离分别取得最大值和最小值，
且距离的最大值为 ,
距离的最小值为 ,
所以点 到平面 的距离的取值范围是 ，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知双曲线 的一条渐近线为 ,则该双曲线的离心率为__________.
【答案】2更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
【解析】由题意得 ，易知双曲线 ，即 的渐近线方程为
得
所以该双曲线的离心率
故答案为： .
13.已知函数 ，若 的最小值为 ，则
________．
【答案】
【解析】 ， ， 或
，
．
故答案为: .
14.已知函数 （ ， ）且 ），若 恒成立，则 的最小值为
______.
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，
当 时，可得 在 上单调递增， ，不合题意；
当 时， ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 有极小值，也是最小值，
又因为 且 ，所以 ，
则 ，得 ，所以 ，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君
设 ， ，令 ，得 ，
当 ， ，
当 ， ，
所以 在区间 单调递减， 单调递增，
所以 ，即 的最小值为 .
故答案为： .
