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小题限时卷 01（A 组+B 组+C 组）
（模式：8+3+3 满分：73分 限时：50分钟）
一、单选题
1．（2024·海南海口·模拟预测）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出集合 ，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由 ，则 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
故选：C
2．（2024·山西吕梁·二模）已知椭圆 ，则“ ”是“椭圆 的离心率为 ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据椭圆离心率定义，对参数 的取值进行分类讨论即可判断出结论.
【详解】由 可得椭圆 ，此时离心率为 ，
此时充分性成立；
若椭圆 的离心率为 ，当 时，可得离心率为 ，解得 ，
即必要性不成立；
综上可知，“ ”是“椭圆 的离心率为 ”的充分不必要条件.
故选：B.
3．（2024·吉林长春·模拟预测）设 是等差数列 的前 项和，且 ，则 （ ）
A．17 B．34 C．51 D．68【答案】C
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前 项和公式求解即可.
【详解】等差数列 中， ，则 ，解得 ，
所以 .
故选：C
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数 的图象如图所示， 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义域和奇偶性求解.
【详解】选项 和 的定义域为全体实数，由图象可知函数的定义域不是全体实数，则排除选项 和 ；
由图象可知函数关于 对称，则该函数为偶函数，
选项 和 的定义域为 ，
，则选项 为偶函数，
，则选项 为奇函数，
故选： .
5．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是 ，空气的温
度是 ，则 后物体的温度 满足公式 （其中 是一个随着物体与空气的接触状
况而定的正常数）.某天小明同学将温度是 的牛奶放在 空气中，冷却 后牛奶的温度是 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．牛奶的温度降至 还需D．牛奶的温度降至 还需
【答案】D
【分析】运用代入法，结合对数的运算逐一判断即可.
【详解】由 ，得 ，
即 ，故 ，A、B错误；
又由 ， ，得 ，
故牛奶的温度从 降至 需 ，
从 降至 还需 .
故选：D
6．（2024·山东·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，可求得 ，进而求得 ，可求值.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，故 ，
且 ，
又 ，所以 ，
所以 ．
故选：D．
7．（2024·河南新乡·一模）“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商
家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为 分米，
下底长为 分米，梯形的腰长为 分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为
（ ）A． 立方分米 B． 立方分米 C．7立方分米 D． 立方分米
【答案】D
【分析】设 为底面 的中心，连接 ，先求出 ，再利用勾股定理求出 ，即可求出棱台
的高，再根据台体的体积公式即可得解.
【详解】如图，在正三棱台 中， ，
将棱台补全为正三棱锥 ，
设 为底面 的中心，连接 ，则 平面 ，
而 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
，
所以 ，
则正三棱台 的高 ，
该正三棱台的上底面面积 ，
下底面面积 ，
所以该正三棱台储物凳的储物容积
.
故选：D.8．（2024·吉林白山·模拟预测）已知函数 则方程 的实数
个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】作出函数的部分图象，利用整体法求出 或 ，再根据图象观察交点个数即可.
【详解】函数 的部分图象如图所示.
由方程 ，解得 或 .
当 时，有5个实根，当 时，有6个实根，
故方程 的实根个数为11.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·湖北·模拟预测）下列命题中正确的是（ ）
A．若样本数据 ， ， ， 的样本方差为3，则数据 ， ， ， 的方差为7
B．经验回归方程为 时，变量x和y负相关
C．对于随机事件A与B， ， ，若 ，则事件A与B相互独立
D．若 ，则 取最大值时
【答案】BC
【分析】根据方差的性质可判断A；根据变量x，y的线性回归方程的系数 ，可判断B；利用条件概
率及独立事件的定义可判断C；根据二项分布概率公式可判断D.
【详解】对于A，数据 ， ，…， 的方差为 ，所以A错误；对于B，回归方程的直线斜率为负数，所以变量x与y呈负的线性相关关系，所以B正确；
对于C，由 ，得 ，所以事件A与事件B独立，所以C正确；
对于D，由 ，即 ，
解得 或 ，所以D错误．
故选：BC．
10．（2024·山东·模拟预测）函数 的图象，如图所示，则
（ ）
A． 的最小正周期为
B．函数 是奇函数
C． 的图象关于点 对称
D．若 在 上有且仅有三个零点，则
【答案】BCD
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数 ，结合给定图象求出 ，再逐项
判断即可.
【详解】依题意， ，
由 ，得 ，
解得 ，而 ，则 ，
所以 ，则 的最小正周期为 ，故A错误；是奇函数，故B正确；
，
令 ，得 ，
所以 的对称中心为 ，
当 时，函数 的对称中心为 ，故C正确；
，当 时， ，
因为函数 在 上有且仅有三个零点，
所以 ，解得 ，故D正确．
故选：BCD．
11．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知定义在 上且不恒为 的函数 对任意 ，有
，且 的图象是一条连续不断的曲线，则（ ）
A． 的图象存在对称轴 B． 的图象有且仅有一个对称中心
C． 是单调函数 D． 为一次函数且表达式不唯一
【答案】AC
【分析】先证明若 时，必有 ，再通过赋值证明
，设 ，由恒等式求 ，由此可得结论.
【详解】取两个实数 ， ，且 ，
用 替换 ， 替换 ，有 ，①
用 替换 ， 替换 ，有 ，②
假设 ，① ②可得 ，
故 ，这与假设矛盾，
所以 时， ，故若 时，必有 ，
用 替换 ， 替换 ，则原式等价于 ，
用 替换 ， 替换 ，则原式等价于 ，
则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
两式相减则可得 ，
即 ，
设 ， ，
则 ，代入原条件且令 解得 ，
故 ，解得 ，
即 ， 存在唯一表达式，D错误；
因为 ，所以函数 是单调函数，C正确；
由表达式可知 存在无数条对称轴，且有无数个对称中心，A正确，B错误．
故选：AC．
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于先通过合理赋值先证明若 时，必有 ，再通过
赋值确定该函数为一次函数.
三、填空题
12．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数 且 且的所有零点的和等于
.
【答案】0
【分析】利用函数与方程的思想分别画出函数 和函数 的图象，利用奇函数性质即可得出结
果.
【详解】由 可得 ，
易知函数 和函数 都为奇函数，
在同一坐标系下作出两函数在 内的图象，如下图所示：所以两函数图象交点都关于原点成中心对称，
因此函数 且 的所有零点的和等于0.
故答案为：0
13．（2024·山东·模拟预测）一条直线与函数 和 的图象分别相切于点 和点 ，
则 的值为 ．
【答案】
【分析】分别求得函数 和 在点P(x ,y )和点Q(x ,y )处的切线方程，由条件可得 的关
1 1 2 2
系，可得 ，计算可求值.
【详解】因为 ，所以 ，
则 在点P(x ,y )处的切线方程为 ，即 ；
1 1
在点Q(x ,y )处的切线方程为： ，即 ，
2 2
由已知 ，得 ，解得 ，
所以 ，因此 ．
故答案为： ．
【点睛】关键点点睛：关键在于求得两曲线的切线方程得到 的关系 ，从而计算可
求值.
14．（2024·河南新乡·一模）如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小
正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有 种．【答案】401
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理，结合组合计数问题列式计算得解.
【详解】如图，当路线经过点 时，从 到 有1种，从 到 有 种；
当路线经过点 时，从 到 有 种，从 到 有 种；
当路线经过点 时，从 到 有 种，从 到 有 种；
当路线经过点 时，从 到 有 种，从 到 有 种；
当路线经过点 时，从 到 有 种，从 到 有1种，
所以不同的走法共有 （种）.
故答案为：401
【点睛】方法点睛：解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)，分类时标
准应统一，避免出现重复或遗漏.
（模式：4+2+1 满分：37分 限时：25分钟）
一、单选题
1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数 为偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合偶函数的定义利用对数的运算性质即可求解.
【详解】因为函数 为偶函数，所以 ，即 ，
，即 ，
即 ，即 ，
化简得 ，解得 .
故选：C.
2．（24-25高三上·山西大同·开学考试）某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四
位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（
）
A．32个 B．28个 C．27个 D．24个
【答案】B
【分析】根据题意，“幸运数”的后三位数字的和为6，故可以分成七类进行计数，利用分类加法计数原
理即得.
【详解】依题意，首位数字为2的“幸运数”中其它三位数字的组合有以下七类：
①“006”组合，有 种，②“015”组合，有 种，③“024”组合，有 种，
④“033”组合，有 种，⑤“114”组合，有 种，⑥“123”组合，有 种，
⑦“222”组合，有1种.
由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有 个.
故选：B.
3．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，边长为 的等边 ，动点 在以 为直径的半圆上.若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧 的方程为： ，设 ，根据向量的坐
标运算法则算出 关于 的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可．
【详解】由题意可以 所在直线为x轴， 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
结合已知得 ，B(−2,0)， ，
半圆弧 的方程为： ，
设 ，则 ， ， ，
由 得： ，
解得： ，
所以 ，
因为 在 上，所以 ，
又 ，
则可设 ， ， ，
将 ， 代入 整理得：
，
由 得 ，
所以 ， ，故 的取值范围是 .
故选：D.
4．（2024·河南新乡·一模）将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，再
将所得图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 在区间 上恰有5个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的变换求出函数 ，再求出相位所在区间，结合零点情况列出不等式求解即得.
【详解】依题意， ，当 时， ，
由 在区间 上恰有5个零点，得 ，解得 .
故选：B
二、多选题
5．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）在复平面内，复数 对应的向量分别为 、 ，则下列说法不
正确的是（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】举例即可判断ACD；根据复数的几何意义即可判断B.
【详解】设 ，则 ，
对于A，当 时， ，
则 ，故A错误；
对于B， ，
，所以 ，故B正确；
对于C，当 时， ， ，
满足 ，但 ，故C错误；
对于D，当 时， ，
而 ，故D错误.
故选：ACD.
6．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）1675年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了一
种特殊的曲线 -- 卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹.已知在平面
直角坐标系xOy中，M（ - 3，0），N（3，0），动点P满足|PM|·|PN| = 12，其轨迹为一条连续的封闭曲
线C.则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于y轴对称 B．曲线C与x轴交点为
C．△PMN面积的最大值为6 D．|OP|的取值范围是
【答案】ACD
【分析】求得动点 的轨迹方程，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】设 ，
依题意 ，
即 ，
，
整理得 ①，
点 都满足①，所以曲线 关于 轴对称，A选项正确.
由①令 ，得 ，
即 ，解得 ，所以B选项错误.
由①有解得 ，
化简得 ，所以 ，此时方程有正根，
所以三角形 面积的最大值为 ，C选项正确.
由①整理得 ，
即 ，所以 ，由 得 ，
，
， ，
，所以 ，D选项正确.
故选：ACD
【点睛】求解关于动点轨迹方程的题目，步骤是：先设动点的坐标为 ，然后根据动点满足的条件列
方程，化简方程后可求得动点的轨迹方程，再根据轨迹方程来研究对应曲线的性质.
三、填空题
7．（2024·湖北·一模）已知三棱锥 的四个顶点都在球体 的表面上，若 ，且
，则球体 的表面积为 .
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ，由已知可证 ，可得 ，进而可得
，可得 平面 ，从而可得三棱锥 的外接球球心 在直线 上，设
，可得 ，从而可求球体 的表面积.
【详解】如图所示：取 的中点 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 是 的外心，
所以三棱锥 的外接球球心 在直线 上，
设 ，则 ，所以 ，解得 ，所以外接球的半径为 ，
所以球体 的表面积为 .
故答案为： .
（模式：1+1+1 满分：16分 限时：15分钟）
一、单选题
1．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 为奇函数，且 的图象
关于直线 对称，若 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据奇函数性质、对称性求得 、 、 ，进而有
，再确定 的周期，利用周期性求函数值的和.
【详解】由 为奇函数，知 的图象关于点 对称，则 ，
由 ，得 ．
由 的图象关于直线 对称，则 的图象关于直线 对称，
所以 ， ，
综上， ，
由上 ， ，得 ，
所以 ，则4为 的一个周期，
所以 .
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据函数的奇偶性、对称性求函数值，并确定周期为关键.
二、多选题
2．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在三棱锥 中， 两两垂直， 为 上一点，
， 分别在直线 上， ，则：（ ）.A．
B．
C．若平面 且 到 距离相等，则直线 与 的夹角正弦值为
D． 的最小值为
【答案】AD
【分析】建系标点，设 ，根据向量垂直可得 .对于A：根据向量垂直的坐标表示分析判断；
对于B：利用坐标运算求模长即可；对于C：举反例说明即可；对于D：分析可知当
时， 取到最小值，结合向量的坐标运算求解.
【详解】如图，以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
设 ，则 ，
因为 ，则 ，解得 .
对于选项A：因为 ，且 ，可得 ，
则 ，所以 ，故A正确；
对于选项B：因为 ，所以 ，故B错误；
对于选项C：因为 ，
例如平面 过 的中点 ，且与平面 平行，
则 到平面 的均为距离 ，符合题意，此时平面 的法向量 ，
可得 ，
此时直线 与 的夹角正弦值为 ，故C错误；
对于选项D：设 ，
则 ， ，
若 取到最小值，则 ，
可得 ，解得 ，
则 ， ，
所以 的最小值为 ，故D正确；
故选：AD.
三、填空题
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）对任意的 ，不等式 恒成立，则
实数 .
【答案】【分析】由对数有意义可得： ，将不等式 等价转化为
在 上恒成立，构造函数
，由函数 在 上单调递增，故 时
，则 ，当 时，
，则 ，再根据二次函数的图象和性质即可求出实数 的值，最后取
交集即可求解.
【详解】由题意可知： 且 成立，则 ，
因为对任意的 ，不等式 恒成立，
也即 在 上恒成立，
记 ，则 在 上单调递增，
当 时， ，即 恒成立，则 ，所以
，解得： ；
当 时，不等式显然成立；
当 时， ，即 在 恒成立，
则 ，因为 在 上单调递减，所以 时，
，解得： ，
因为对任意的 ，不等式 恒成立，
则综上可知：实数 的值为 .
故答案为： .
