第8讲求与几何体的切接（教师版）_02高考数学_新高考复习资料_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）

第 8 讲 球与几何体的切接问题
真题展示
2022 新高考一卷第 8 题
已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 ，
且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【思路分析】画出图形，由题意可知求出球的半径 ，设正四棱锥的底面边
长为 ，高为 ，由勾股定理可得 ，又 ，所以 ，
由 的取值范围求出 的取值范围，又因为 ，所以该正四棱锥体积
，利用导数即可求出 的取值范围．
【解析】【解法一】(统一为 h)：如图所示，正四棱锥 各顶点都在同一
球面上，连接 与 交于点 ，连接 ，则球心 在直线 上，连接 ，
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
在 中， ，即 ，
球 的体积为 ， 球 的半径 ，
在 中， ，即 ，
， ，
，又 ， ，
该正四棱锥体积 ，
，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
（4） ，
又 ， ，且 ，
，即该正四棱锥体积的取值范围是 ， ，
故选： ．
【解法二】(统一为l)：由球的体积为36π，得球的半径R=3.
设正四棱锥的底面边长为 a，高为 h，则 = − ， = + ，解得
h= ， =2 − ,于是正四棱锥的体积 V= h= (2 − )，设 x=
∈[9,27]，则 V= ,求导得 = ),由 >0 得 9≤x<24, 由 <0
得24<x≤27,故V在[924]上增，在[24,27]上减，当x=24时V取最大值 ，当x=9
时，V取最小值 ，V的取值范围是[ , ].
注：亦可以运用三元基本不等式+边界值求解。
知识要点整理
球与各种几何体切、接问题
近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。
首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是
这个多面体的内切球.
一、球与柱体的切接
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，
通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1、 球与正方体（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；
a r 2r a
数据关系：设正方体的棱长为 ，球的半径为 ，这时有 .
（2）正方体的棱切球，如图2. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；
a r 2r  2a
数据关系：设正方体的棱长为 ，球的半径为 ，这时有 .
2
（3）正方体的外接球，如图3. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；
a r 2r  3a
数据关系：设正方体的棱长为 ，球的半径为 ，这时有 .图3
ABCDABC D O E，F AA DD
1 1 1 1 1 1
例 1 棱长为1的正方体 的8个顶点都在球 的表面上， 分别是棱 ，
EF O
的中点，则直线 被球 截得的线段长为（ ）
2
2 1
A． B． C．
2
1
2 2
D．
AD 2
R  1  ,
AADD
2 2
1 1
思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面 截面所得圆面的半径 得知直
EF O
线 被球 截得的线段就是球的截面圆的直径.
2、球与长方体
R M MA,MB,MC MA2 MB2 MC2
例2 自半径为 的球面上一点 ，引球的三条两两垂直的弦 ，求 的值．结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线．
例 3（全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为
（ ）.
16 20 24 32
A. B. C. D.
思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，可得长方体
的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.
3、球与正棱柱
（1）结论1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
（2）结论2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．二、 球与锥体的切接
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态
进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1、正四面体与球的切接问题
（1） 正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球
心重合；
6
4R h a
a h R 3
数据关系：设正四面体的棱长为 ，高为 ；球的半径为 ，这时有 ；
例4 正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为______．【解析】 如图正四面体A－BCD的中心为O，即内切球球心，内切球半径R即为O到正四面体各面
的距离．∵AB＝a, ∴正四面体的高h＝a，又V ＝4V ，（）∴R＝h＝a.
A－BCD O－BCD
（2）正四面体的外接球，位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；
a h R 4R3h 6a
数据关系：设正四面体的棱长为 ，高为 ；球的半径为 ，这时有 ；（可用正四面体高
h减去内切球的半径得到）
例5 求棱长为1的正四面体外接球的半径。
设SO 是正四面体S－ABC的高，外接球的球心O在SO 上，设外接球半径为R，AO＝r，
1 1 1
则在△ABC中，用解直角三角形知识得r＝，
从而SO＝＝＝，
1
在Rt△AOO 中，由勾股定理得R2＝(－R)2＋()2，解得R＝.
1
结论：正四面体的高线与底面的交点是△ABC的中心且其高线通过球心，这是构造直角三
角形解题的依据．此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点此问题便迎刃而解，正
四面体外接球的半径是正四面体高的，内切球的半径是正四面体高的.
（3） 正四面体的棱切球，位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；
6
4R  3h 2a,h a.
a h R 3
数据关系：设正四面体的棱长为 ，高为 ；球的半径为 ，这时有
例6例7设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之
比．
思路分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之
间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．（4）为什么正四面体外接球和内切球心是同一个点？
2.其它棱锥与球的切接问题
（1）球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，
根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R．这样求球的半径可转化为球球心到三
棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
（2）球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求
解.
结论1：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．
结论2：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体
或长方体的途径与方法．
途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方
体．
途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．
途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．
途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．
2 6
例8 正三棱锥的高为1，底面边长为 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
思路分析：此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系，由等体积法可得：
2 3
R  62
V V V V V 2 33
PABC OPAB OPAC OPBC OABC
，得到 ．3
例9（福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 .
思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作
为填空题，我们更想使用较为便捷的方法.三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上
构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这是解决几何体
与球切接问题常用的方法．
SABC O ABC
例10【2012年新课标高考卷】已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为1的
SC O SC 2
正三角形， 是球 的直径，且 ；则此棱锥的体积为（ ）
2 3 2 2
6 6 3 2
A. B. C. D.
ABC O ABC
思路分析： 的外接圆是球面的一个小圆，由已知可得其半径，从而得到点 到面 的距离.由
SC O  S ABC
为球 的直径 点 到面 的距离即可求得棱锥的体积.
练习：3、由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．
4、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多
面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
三、 球与球相切问题
对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的
位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.
例11 已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则
此球的半径为 .
思路分析：结合图形，分析四个球的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB中点BF  21 EF  2 3
为E、CD中点为F，连结EF.在△ABF中可得 ，在△EBF中可得 .
由于对称性可得第五个球的球心O在EF上，连结OA、OD.设第五个球的半径为r，根据OE+OF=EF建立r的
方程.
例12把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与
前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．思路分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体
的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．
四、球与几何体的各条棱相切问题
球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通
2
r a
4
过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半： .
例13 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与
8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ）
3
A．l0 cm B．10 cm
2
C．10 cm D．30cm
思路分析：根据题意球心O在图中AP上，过O作BP的垂线ON垂足为N，ON=R，OM=R，由各个棱都
10 2 BPA Rt
为20，得到AM=10，BP=20,BM=10，AB= ,设 ，在 BPM中，由
BP2  BM2 PM2 PM 10 3 Rt PM2  AM2  AP2 PA10 2 Rt
,得 .在 PAM中, 由 ,得 .在 ABPAB 10 2 2 ON R R 2
sin   sin  
BP 20 2 Rt OP OP OP 2 OP 2R
中得, ，在 ONP中得, ,从而 ， .
Rt OM2  AO2  AM2 R2 (10 2 2R)2 100
在 OAM中, 由 ,建立方程 即可得解.
五、 球与旋转体切接问题首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．
例14 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元
素的关系．
例15 在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的
半径为多少时，两球体积之和最小．
思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也
应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图中，观察R与r和棱长间的
关系即可．综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通
过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的
几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点
的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的
几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相
结合，题目的难易不一，在复习中切忌好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不
断充实题目的类型，升华解题的境界.三年真题
1．已知正四面体 的表面积为 ，其四个面的中心分别为 ，设四面体 的表面积为 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，正四面体 四个面的中心分别为 、 、 、 ，
四面体 也是正四面体．
连接 并延长与 交于点 ，
连接 并延长与 交于点 ．
、 分别为面的中心，
． ．
又 ， ．
面积比是相似比的平方， 两四面体的面积比为； ．
故选： ．
2．已知正四棱柱ABCD- A B C D 中 ，AB=2，CC = E为CC 的中点，则直线AC 与平面BED的距离为
1 1 1 1 1 1 1
A．2 B． C． D．1
【答案】D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．
平面 ，
到平面 的距离等于 到平面 的距离，由题计算得
，在 中， ，
边上的高 ，所以 ，所以 ，利
用等体积法 ，得: ,解得:
考点：利用等体积法求距离
3．如图，在长方体ABCD-A B C D 中，AB=BC=2，AA =1，则AC 与平面A B C D 所成角的正弦值为
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
分析：由题意连接A C ，则∠AC A 为所求的角，在△AC A 计算．
1 1 1 1 1 1
解：连接A C ，在长方体ABCD-A B C D 中，
1 1 1 1 1 1
∴A A⊥平面A B C D ，则∠AC A 为AC 与平面A B C D 所成角．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
在△AC A 中，sin∠AC A = = = ．
1 1 1 1
故选D．4．如图，在正方体ABCD−A B C D 中，E、F分别为BC、BB 的中点，则下列直线中与直线EF相交的是
1 1 1 1 1
（ ）.
A．直线AA B．直线A B
1 1 1
C．直线A D D．直线B C
1 1 1 1
【答案】D
【详解】试题分析：
只有 与 在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与 都是异面直线，故选D．
5．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为 ，
则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点 ，
设圆锥 和圆锥 的高之比为 ，即 ，
设球的半径为 ，则 ，可得 ，所以， ，所以， ， ，
，则 ，所以， ，
又因为 ，所以， ，
所以， ， ，
因此，这两个圆锥的体积之和为 .
故选：B.
6．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高 ，
下底面面积 ，上底面面积 ，
所以该棱台的体积 .
故选：D.
7．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨
道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是
一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能
直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
8．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为
这个时段的降雨量（单位： ）．24h降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过
程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】B
【详解】由题意，一个半径为 的圆面内的降雨充满一个底面半径为 ，
高为 的圆锥，
所以积水厚度 ，属于中雨.
故选：B.
9．在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成的角为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平移直线 至 ，将直线 与 所成的角转化为 与 所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接 ，因为 ∥ ，
所以 或其补角为直线 与 所成的角，
因为 平面 ，所以 ，又 ， ，
所以 平面 ，所以 ，
设正方体棱长为2，则 ，
，所以 .
故选：D
10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为
和 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】解：设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，
则 ，
所以 ，
又 ，
则 ，
所以 ，
所以甲圆锥的高 ，
乙圆锥的高 ，
所以 .
故选：C.
11．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积
最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为 ，
则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为 ，则 ，
当且仅当 即 时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则 ，
所以该四棱锥的高 ，
(当且仅当 ，即 时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高 .
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则 ，
所以该四棱锥的高 ， ，令 ， ，设 ，则
，， ，单调递增， ， ，单调递减，
所以当 时， 最大，此时 ．
故选：C.
三年模拟
1．已知正四面体 的棱长为6，设集合 ，点 平面 ，则 表示的区域的面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】过点 作 平面 于点 ，
则 ，
因为 ，则 ，
则 表示的区域为以 为圆心，2为半径的圆及其内部，
面积为 ，
故选：C.
2．已知直线l与平面 相交，则下列命题中，正确的个数为（ ）
①平面 内的所有直线均与直线l异面；
②平面 内存在与直线l垂直的直线；③平面 内不存在直线与直线l平行；
④平面 内所有直线均与直线l相交.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】在长方体 中，取平面 为平面 ，直线 为直线 ，
则直线l与平面 相交，满足条件，
对于命题①，因为直线 平面 ，直线 与直线 相交，所以命题①错误，
对于命题④，因为直线 平面 ，直线 与直线 不相交，所以命题④错误，
对于命题②，若直线l与平面 垂直，则任取直线 ，都有 ，即平面 内存在与直线l垂直的直线；
若直线l与平面 不垂直，如图， ，在直线 上任取异于点 的点 ，过点 作 平面 ，垂
足为 ，连接 ，在平面 过点 作直线 ，因为 平面 ， ，所以 ，又
， ， 平面 ，所以 平面 ，直线 平面 ，所以直线
，故平面 内存在与直线l垂直的直线；命题②正确，
对于命题③，如图 ，假设平面 内存在直线 与直线l平行；因为 ， ， ，所以 ，与 矛盾，所以平面 内不存在直线与直线l平行；命题③
正确，
故选：B.
3．如图，长方体 中， ， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，则
三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：在长方体 中，连接 ， ，
三棱锥 的外接球即为三棱柱 的外接球，
在 中，取 中点 ，连接 ，则 为边 的垂直平分线，所以 的外心在 上，设为点 ，连接 ．
同理可得 的外心 ，连接 ，则三棱柱外接球的球心为 的中点，设为点 ．
由图可得， ，又 ， ，解得 ，
所以 ，所以 .
故选：B．
4．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是
用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 是边长为2
的正方形，且 均为正三角形， ，则该木楔子的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，分别过点A，B作 的垂线，垂足分别为G，H，连接 ，
易得 .
取 的中点O，连接 ，易得 ，
∴ .
∴多面体的体积
，
故选：A.5．在三棱柱 中， 底面 ， ，点 是棱 上的点， ，
若截面 分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】取 中点 ，连接 ，
由题意知： 为等边三角形，则 为等边三角形， ，
平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， ，
平面 ， 平面 ，
不妨设 ，则 ， ， ，， ，
， ，
，即截面 分棱柱的两部分的体积比为 .
故选：D.
6．已知边长为 的菱形 中， ，沿对角线 把 折起，使二面角 为直二
面角，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，三棱锥 中， ，平面 平面 ，
取BD中点E，连接CE，AE，则 ，而平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ， 平面 ，因此平面 平面 ，同理平面 平面 ，
令点 分别为正 ，正 的中心，在平面 内分别过点 作 的垂线，它们交于
点O，连OC，
因此 平面 ， 平面 ，而 分别为三棱锥 的外接球被平面 ，平面
所截得的小圆圆心，
则 是三棱锥 的外接球的球心，而 ， ，显然四边形 为正方形， ，则球半径 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积 .
故选：A
7．在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，点 在正方体各棱及表面上运动且满足
，则点 轨迹所围成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分别取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，设 ，
在正方体 中， 且 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 且 ，
故四边形 为平行四边形，故 且 ，
因为 且 ， 且 ，故四边形 为平行四边形，
因为 ， ， ，故 ，
所以， ，则 ，
所以， ，故 ，
平面 ， 、 平面 ， ， ，
， 、 平面 ， 平面 ，若点 在 的边上运动时（不包括点 ），则 平面 ，故 ，
由勾股定理可得 ，易知四边形 为矩形，
故点 轨迹所围成图形的面积即为矩形 的面积，即为 .
故选：A.
8．已知在四棱锥 中， 底面 于点 ，且 ， 和 均是边长为2的等
边三角形，则底面 的面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，设 分别为 的中点，连接 ，
因为 底面 ， 面 ，
所以 ，
又因 和 均是边长为2的等边三角形，
所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
同理 ，
在 中， ，
则 ，
同理 ，
，
在 中，因为 为 的中点，且 ，
所以 为等腰直角三角形，且 ，同理 为等腰直角三角形，且 ，
设 ，则 ，
则 ，
故 ，
所以底面 的面积为 .
故选：A.
9．在正四棱锥 中， ，则该四棱锥内切球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】过点 作 平面 ，则 为正方形 的中心，连接 ，如图，
因为 ，所以 ，所以 ，
则四棱锥 的体积 ，四棱锥 的表面积 .
设四棱锥 内切球的半径为 ，内切球的球心为 ，
由 ，可得 ，即 ，
解得 ，故四棱锥 内切球的表面积是 .
故选：C
10．已知A，B，C均在球O的球面上运动，且满足 ，若三棱锥 体积的最大值为6，则
球O的体积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，当点C位于垂直于平面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，
设球O的半径为R，此时 ，
故 ，则球O的体积为 .
故选：C．
11．已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】设圆锥的内切球的半径为 ，则 ，所以 .又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆
锥的高为 ，圆锥的底面半径为 ， 则圆锥的体积 .
故选：C.
12．四面体ABCD的顶点都在半径为2的球面上，正三角形ABC的面积为 ，则四面体ABCD的体积最
大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设正三角形 的边长为 ， ，
所以 ，
由正弦定理 为 的外接圆的半径)
所以 ，
所以球心到平面 的距离 ，
则四面体体积最大为 .
故选：B
13．如图，在正四棱柱 中， ， ， 分别为 和 的中点，过 ， ，
三点的平面截正四棱柱得一多边形，则该多边形在平面 上的投影图形的面积为（ ）A． B．2 C． D．3
【答案】D
【详解】解：正四棱柱中， ， 与 必相交，记交点为 ，
连接 延长交 于 ，交 于 ，连接 并延长交 于 ，连接 ， ，
则四边形 为截面四边形，过 作 于 ，连接 ，
则截面 在平面 上的投影图形为 ，
截面 与正四棱柱的交线 ， ，∴截面 是平行四边形，可得 是平行四边
形，
， ，∴ 为 中点， ， 为 的中点，∴ ，得，平行四边形 底为1高为3，
故投影四边形 的面积为 ．
故选：D．
14．在正方体 中,动点 在棱 上,动点 在线段 上, 为底面 的中心,若
, ,则四面体 的体积（ ）
A．与 , 都有关 B．与 , 都无关
C．与 有关,与 无关 D．与 有关,与 无关
【答案】B
【详解】解:由题意连接 , , , , , ,如图所示,
平面 ,
到平面 的距离等于 到平面 的距离,
也等于 到平面 的距离,即为定值,
,到直线 的距离为两平行线 之间的距离,即为定值,
为定值,
的面积为定值,
,
四面体 的体积是与 , 无关的定值.
故选:B
15．如图，在正方体 中，点E，F分别是棱 ， 的中点，点G是棱 的中点，则
过线段AG且平行于平面 的截而图形为（ ）
A．等腰梯形 B．三角形 C．正方形 D．矩形
【答案】A
【详解】取BC中点H，连接AH，GH， ， .如下图所示：
由题意得 ， .又 平面 ， 平面 ，
平面 ，同理 平面 .又 ， 平面 ， 平面 平面 ，故过线段 且与平面 平行的截面为四边形 ，显然四边形 为等腰梯形.故选：
A