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第 8 讲 球与几何体的切接问题
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2022 新高考一卷第 8 题
已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 ，
且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【思路分析】画出图形，由题意可知求出球的半径 ，设正四棱锥的底面边
长为 ，高为 ，由勾股定理可得 ，又 ，所以 ，
由 的取值范围求出 的取值范围，又因为 ，所以该正四棱锥体积
，利用导数即可求出 的取值范围．
【解析】【解法一】(统一为 h)：如图所示，正四棱锥 各顶点都在同一
球面上，连接 与 交于点 ，连接 ，则球心 在直线 上，连接 ，
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
在 中， ，即 ，
球 的体积为 ， 球 的半径 ，
在 中， ，即 ，
， ，
，又 ， ，
该正四棱锥体积 ，
，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
（4） ，
又 ， ，且 ，
，即该正四棱锥体积的取值范围是 ， ，
故选： ．
【解法二】(统一为l)：由球的体积为36π，得球的半径R=3.
设正四棱锥的底面边长为 a，高为 h，则 = − ， = + ，解得
h= ， =2 − ,于是正四棱锥的体积 V= h= (2 − )，设 x=
∈[9,27]，则 V= ,求导得 = ),由 >0 得 9≤x<24, 由 <0
得24
