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2026 届高三二轮复习“8+3+3”小题部分章节融合强化训练(3)
一、小题知识归纳
单选1：交集与指数不等式融合 单选2：复数的运算与复数的几何意义融合
单选3：平面垂直以及平面向量数量积的运算性质 单选4：充分必要条件与二倍角公式融合
单选5：圆柱与椭圆的融合 单选6：排列组合
单选7：直线与圆的位置关系 单选8：新定义与导数的融合
多选9：统计、概率与排列数的融合
多选10：三角函数图像与性质与导数几何意义融合
多选11：空间向量与立体几何的综合 填空12：三角恒等变换
填空13：古典概型 填空14：轨迹方程
二、
小题强化训练
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】先解指数不等式求出集合
，然后根据集合的交运算即可求解.
【解析】由
得
，所以
，
又
，所以
.
故选：B.
2．若复数
满足
，则
在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【分析】求出
，根据复数的几何意义即可求出答案.
【解析】由
得
，
所以复数
在复平面内对应的点为
，
所以
在复平面内所对应的点位于第一象限.
故选：A.
3．设平面向量
满足
，
，
，则
（ ）
A. 3
B. 2
C.
D. 1
【答案】C
【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【解析】
，
所以
.
故选：C
4．设
，则“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合二倍角公式即可得解.
【解析】当
，
，
，
所以可以推出
，
当
，
，即
，
当
，得
；当
，得
，
推不出
.
故选：A.
5．用一个与圆柱底面成
角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】结合图形分析椭圆的长半轴和短半轴与圆柱底面圆半径的关系，求出
得到离心率.
【解析】设圆柱的底面半径为
，则底面圆的直径为
，
椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向，长度等于底面圆的半径，即
，
长半轴垂直于截面与底面交线的方向，由二面角的几何关系可得
，
所以
，
所以该椭圆的离心率
，
故选：D.
6．甲、乙、丙3 人去食堂用餐，每个人从
这5 种菜中任意选用2 种，则
菜有2 人
选用、
菜有1 人选用的情形共有（ ）
A. 54
B. 81
C. 135
D. 162
【答案】C
【分析】先选出选择
菜的两人，再分两人中有1 人选用了B 菜和都没有选择B 菜两种情况讨论
求解即可.
【解析】
菜有2 人选用有
种，比如甲、乙选用了
菜，
①甲、乙之中有1 人选用了B 菜，有
种，比如甲用了B 菜，则乙从
中任意选用1 种，
有
种，丙从C，D，E 中任意选用2 种，有
种，故共有
②丙选用了B 菜，丙再从
中任意选用1 种，有
种，甲、乙再从
中各任
意选用1 种，有
种，故共有
由①②可知所有情形是
.
故选：C
7．若圆
上有且仅有2 个点到直线
（
）的距离为1，则
的取值
范围（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径再结合直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离
与
半径的关系可知
，然后解不等式可得
的取值范围.
【解析】由题意可得：圆心为
，半径
，且直线
过定点
，
因为圆上有且仅有2 个点到直线
的距离为1，
则圆心到直线的距离
满足
，
，结合
，解得
，
故选： D.
8．已知点
，
，定义
为
的“镜像距离”．若
点
在曲线
上，则
的最小值为（ ）
A. 1
B.
C. 2
D.
【答案】D
【分析】依题意求出
的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的
距离，利用导数求出最值即可求得结果.
【解析】由函数
可得
，即
，
所以
的反函数为
，
由点
在曲线
上，可知点
在其
反函数上，
所以
相当于
上的点
到曲线
上点
的距离，
即
，
利用反函数性质可得
与
关于
对称，
的最小值相当于点
到直线
的距离最小值的2 倍，
点
到直线
的距离
，由于
恒在
下方，
所以
，
，求导得：
，令
得
，又
在
上单调递增，
所以可得
对
恒成立，
对
恒成立，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，
所以
.
故选：D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列选项正确的是（ ）
A. 对A，B，C 三类个体按3:1:2 的比例进行分层抽样，已知从
类个体中抽取了9 个，则样本容
量为30
B. 若随机变量
，则
C.
恒成立
D. 一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6 的第80 百分位数为4.5
【答案】BD
【分析】A 选项，根据
类个体中抽取的个数和比例得到样本容量；B 选项，由正态分布的对称性
可得B 正确；C 选项，举出反例可得C 错误；D 选项，利用百分位数的计算公式得到D 正确.
【解析】A 选项，从
类个体中抽取了9 个，则样本容量为
,A 错误；
B 选项，由正态分布的对称性可知
，B 正确；
C 选项，当
时，
，C 错误；
D 选项，
，故从小到大，选取第8 个数和第9 个数的平均数作为第80 百分位数，
故1，2，2，2，3，3，3，4，5，6
第80 百分位数为
，D 正确.
故选：BD
10．已知函数
的图像关于
对称，则（ ）
A. 直线
是
的对称轴
B.
在
上有两个极值点
C.
在
上单调递减
D. 直线
是
的切线
【答案】ABD
【分析】利用图像关于
对称，求得
，进而求得解析式，利用余弦函数的单调性判断A；
结合极值点的概念利用余弦函数性质判断B；利用余弦函数的对称性判断C；利用导数的几何意义
求解切线方程判断D.
【解析】因为函数
的图像关于
对称，
所以
即
，又
，所以
，
所以
，
因为
，所以直线
是
的对称轴，故A 正确；
因为
，所以
，所以
有两个极值点，故B 正确；
令
，又
，所以
，所以
不单调，故C 错误；
因为
，令
，即
，
所以
或
，
解得
或
，又
所以
时的切线方程为
，即
，
所以直线
是
的切线，故D 正确.
故选：ABD.
11．在直角梯形
中，
，
，
，将
沿
翻折，形成一个二面角
.则（ ）
A. 在翻折的过程中，存在某个位置，使得
B. 若二面角
的大小为
，则异面直线
与
所成角的余弦值为
C. 在翻折的过程中，存在某个位置，使得三棱锥
外接球的体积为
D. 若二面角
的大小为
，点
为线段
上的动点，则
最小值为
【答案】BCD
【分析】对于A 项，应用空间向量研究
即可判断；对于B 项，结合二面角大小，应用空
间向量求
，进而可求出异面直线
与
所成角的余弦值；对于C 项，研究外
接球半径的取值范围，进而可判断C 项的正误；对于D 项，可建立空间直角坐标系，应用坐标运
算求
的最小值即可.
【解析】对于A 项，因为在直角梯形
中，
，
，
，所以可得
，
.
设
的中点为
，连接
（如图1），
因为
且
，
所以
且
，
又因为
,
所以
，
其中
，所以
，
所以在翻折的过程中，
不会垂直，故A 错误；
对于B 项，因为
，
，所以
.
因为
，
所
以
，
所以
，
又因为异面直线
与
所成角在
，所以异面直线
与
所成角的余弦值为
，故B
正确；
对于C 项，取
的中点
，连接
（如图1），
设直线过点
且垂直于平面
，
因为点
是直角三角形
的斜边
的中点，再结合球的截面性质，
所以外接球的球心在直线上.
设直线
过点
且垂直于平面
，同理可知外接球的球心也在直线
上.
同时可证直线，直线
均
平面
内.
作截面
（如图2），其中
为二面角
的平面角，
设
，外接球的球心为
,
则外接球的半径为
，
且
（当
，即二面角
为直角时取最小值），
所以三棱锥
外接球的体积最小为
，
所以在翻折的过程中，三棱锥
外接球的体积可以为
，故C 正确；
对于D 项，可建立空间直角坐标系（如图3 所示），
则
,
设点
且
，
所以
，
所以
，
所以
所以当
时，
取最小值
，故D 正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．已知
，则
________
【答案】
【分析】通过换元将已知角与目标角关联，利用诱导公式把
转化为
，再用二倍
角公式代入已知值计算.
【解析】令
，则
，且
；
代入目标表达式：
；
利用诱导公式
，得：
；
用二倍角公式
，代入
，则
.
故答案为：
13.一个盒中有标号为1，2，3，4，5 的5 张标签，随机地依次选取两张标签，记事件
“两张
标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记
；若标签的选取是有放回的，
记
，则
______．
【答案】
##
【分析】根据不放回和放回的不同方式特点，结合古典概型运算公式进行求解即可.
【解析】当标签的选取是不放回的，共有
方式，
其中事件A 有
共4 种方式，
所以
；
当标签的选取是放回的，共有
方式，
其中事件A 有
，5 种方式，
所以
,
所以
.
故答案为：
14.
四边形ABCD 中，已知
，
，
，
，若C，D 两点
关于y 轴对称，则
________．
【答案】
【分析】设
，依题意可得
，即
，整理即
可得到
的顶点C 的轨迹方程，由
，设
，求出
的轨迹方程，再将D
的轨迹方程沿y 轴翻折得到
，与双曲线求交点坐标，即可得解；
【解析】解：设
，
，由
得
，
当点C 在x 轴上方时，
，故有
当点C 在x 轴下方时，
，故有
两者都有
，所以
则
，化简得
的顶点C 的轨迹方程为
由
，设
，得点D 的轨迹方程为
，把圆
沿y 轴翻折得到
，
与
联立消元
，得到
解得
或
（舍去），所以
故答案为：
