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第17 讲 平面向量的线性运算基本定理及坐标运算
题型方法
题型一 向量的线性运算及共线定理的应用
题型二 平面向量基本定理的应用
题型三 向量的坐标运算
题型四 奔驰定理与三角形的“四心”
知识点01 向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有
的量叫做向量，向量的大小称为向量的
．
(2)零向量：长度为 的向量，记作 ．
(3)单位向量：长度等于 长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或
的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量
．
(5)相等向量：长度相等且方向
的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向
的向量．
知识点02 向量的线性运算
向量运算
法则(或几何意义)
运算律
题型梳理
知识清单
加法
交换律：a＋b＝ ；
结合律：(a＋b)＋c＝________
减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λa|＝ ，当λ>0 时，λa 的方
向与a 的方向
；
当λ<0 时，λa 的方向与a 的方向
；
当λ＝0 时，λa＝
λ(μa)＝ ；
(λ＋μ)a＝ ；
λ(a＋b)＝
知识点03 向量共线定理
向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
常用结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2＋A2A3＋
A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF＝(OA＋OB)．
3．若A，B，C 是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP＝(AB＋AC)．
4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
知识点04 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个
向量，那么对于这一平面内的任一向量a，
一对实数λ1，λ2，使a＝ .
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个
．
知识点05 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个
的向量，叫做把向量作正交分解．
知识点06 平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝ .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则
坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝ ，|AB|＝ .
知识点07 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔ .
【题型一】向量的线性运算及共线定理的应用
【例1】（2025·浙江嘉兴·三模）在
所在平面内，点
满足
，记
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若a 与b 不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)若OA＝λOB＋μOC(λ，μ 为常数)，则A，B，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
【举一反三】【变式1】（2024·河北·模拟预测）在平行四边形
中，
是
的中点，
与
交于点
，则
题型方法
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·陕西西安·一模）已知平面向量
，若
与
共线，则实数
．
【变式3】（2024·山西朔州·一模）已知
的内角
的对边分别为
，向量
，且
．
(1)求
；
(2)求
的最小值．
【题型二】平面向量基本定理的应用
【例2】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘
运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向
量的形式，再通过向量的运算来解决．
【举一反三】【变式1】（2025·天津河北·模拟预测）如图，在
中，D 是边AB 上一点，且
，点E 是
CD 的中点．设
，
，则
可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形
中，
，
，
，E 是
的中点，若
，则
.
【变式3】（2023·广东佛山·模拟预测）在
中，角
的对边为
，设
的面积为
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，过
的重心点
的直线与边
的交点分别为
，
，请计算
的值.
【题型三】向量的坐标运算
【例3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
解题技巧
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅
当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们
熟知的数量运算．
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b 的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
【举一反三】【变式1】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量
，
，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·湖北武汉·二模）已知点
为平面内不同的四点，若
，且
，则
【变式3】（2020·山东·模拟预测）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，向量
，
，
．
（1）求角
的大小；
（2）若
的面积为
，且
，求
的值．
【题型四】奔驰定理与三角形的“四心”
【例4】（2022·安徽·三模）平面上有
及其内一点O，构成如图所示图形，若将
，
，
的面
积分别记作
，
，
，则有关系式
．因图形和奔驰车的
很相似，常把上述结论称
为“奔驰定理”．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若满足
，则O 为
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【举一反三】【变式1】“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具
体内容是：已知
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
.若
为
的垂心，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理
与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若
，则M 为
的重心
B．若M 为
的内心，则
C．若
，
，M 为
的外心，则
D．若M 为
的垂心，
，则
【变式3】（2021·四川凉山·三模）如图，
为
内任意一点，角
，
，
的对边分别为
，
，.总有优美等
式
成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：
①若
是
的重心，则有
；
②若
成立，则
是
的内心；
③若
，则
；
④若
是
的外心，
，
，则
.
则正确的命题有 .
一、单选题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．8
B．4
C．2
D．
2．（2025·广东广州·三模）已知向量
不共线，
与
共线，则实数
的值为（ ）
A．
B．2
C．6
D．
3．（2025·辽宁·一模）已知
，点D 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知菱形
的边长为
分别是边
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河南·模拟预测）已知
，
，且对任意的
，
恒成立，则
的最小值为（ ）
好题必刷
A．
B．
C．3
D．
6．（22-23 高三上·江西·阶段练习）奔驰定理：已知点O 是
内的一点，若
的面积分别记为
，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图
形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是
的垂心，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）已知向量
.若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
8．（2024·辽宁·二模）
的重心为点
，点O，P 是
所在平面内两个不同的点，满足
，
则（ ）
A．
三点共线
B．
C．
D．点
在
的内部
9．（2024·福建厦门·三模）已知等边
的边长为4，点D，E 满足
，
，
与CD 交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
10．（2025·湖北武汉·一模）已知在梯形
中，
，若
为
边上靠近
的三等分点，且
，则
.
11．（2025·江苏·二模）已知平面向量
，
，若
，则实数
的值为 .
12．（2025·山东枣庄·二模）已知向量
，则
的值为 .
13．（2023·黑龙江·模拟预测）在平行四边形
中，
,
,
．
14．（2025·海南·模拟预测）已知
内角
的对边分别为
，
为
的中点，
为
的中点，延长
交
于点
，若
，
，则
的面积为 ．
15．（2024·湖南衡阳·一模）已知三角形
中，
，
是
上中线
的三等分点满足
，记
，则
.
四、解答题
16．（2021·江西鹰潭·模拟预测）若向量
的起点为同一点，证明这三个向量的终点在一条直线上.
17．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形
中,角
的对边分别为
,向量
,
,且
.
(1)求角
的大小;
(2)若
的面积为
,求
的取值范围.
18．（2023·福建福州·三模）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知
，
.
(1)求B；
(2)D 为AC 的中点，
,求
的面积.
19．（2023·四川南充·一模）在
中，设角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知向量
，
，且
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，
，求
的面积．
20．（2024·吉林长春·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
，且
，求.
