十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—平面向量
目录
题型一：平面向量的概念及线性运算.......................................................1
题型二：平面向量的基本定理...................................................................2
题型三：平面向量的坐标运算...................................................................3
题型四：平面向量中的平行与垂直...........................................................4
题型五：平面向量的数量积与夹角问题...................................................4
题型六：平面向量的模长问题...................................................................9
题型七：平面向量的综合应用.................................................................10
题型一：平面向量的概念及线性运算
一、选择题
1．(2021 年高考浙江卷·第3 题)已知非零向量
，则“
”是“
”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
2．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第3 题)在
中，D 是AB 边上的中点，则
=
( )
A．
B．
C．
D．
3．(2022 新高考全国I 卷·第3 题)在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
( )
A．
B．
C．
D．
4．(2019·上海·第13 题)已知直线方程
的一个方向向量
可以是
( )
A.
B．
C．
D．
5．(2019·全国Ⅰ·理·第4 题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比
为
(
，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美
人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
．若某人满足上述两个黄金
分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
( )
A．165cm
B．175cm
C．185cm
D．190cm
二、填空题
1．(2020 北京高考·第13 题)已知正方形
的边长为
，点
满足
，则
_________；
_________．
2．(2014 高考数学北京理科·第10 题)已知向量 y=−1、⃗
n=(0,−1,1)满足|BC |=1 , ABF = (2 , 1), 且 α
(sinα=|cos⟨⃗n,⃗BC ⟩|), 则
|⃗n⋅⃗BC
|⃗n||⃗BC|
|=1
2
. = ．
3．(2015 高考数学新课标2 理科·第13 题)设向量
，
不平行，向量
与
平行，则实数
_________．
题型二：平面向量的基本定理
一、选择题
1．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第6 题)在
中,
为
边上的中线，
为
的中点，则
( )
A．
B．
C．
D．
2．(2014 高考数学福建理科·第8 题)在下列向量组中，可以把向量
表示出来的是
( )
A．
B．
C．
D．
3．(2015 高考数学新课标1 理科·第7 题)设D 为ABC 所在平面内一点
，则
( )
A．
B．
C．
D．
4．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12 题)在矩形ABCD 中，
1
AB ，
2
AD
，动点P 在以点C 为圆
心且与BD 相切的圆上，若AP
AB
AD
，则
的最大值为
( )
A．3
B．2 2
C．5
D．2
二、填空题
1．(2023 年天津卷·第14 题)在
中，
，
，点
为
的中点，点
为
的中点，
若设
，则
可用
表示为_________；若
，则
的最大值为
_________．
2 ．(2015 高考数学北京理科· 第13 题) 在
中，点
，
满足
，
．若
，则
；
．
3．(2017 年高考数学江苏文理科·第12 题)如图,在同一个平面内,向量OA
,OB
,OC
的模分别为1,1,
2 ,OA
与OC
的夹角为,且tan=7,OB
与OC
的夹角为45°．若OC
mOA
nOB
( ,
)
m nR , 则m
n
______．
题型三：平面向量的坐标运算
一、选择题
1．(2023 年北京卷·第3 题)已知向量
满足
，则
( )
A．
B．
C．0
D．1
2．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第3 题)已知向量
，若
，则
(
)
A．
B．
C．
D．
3．(2014 高考数学重庆理科·第4 题)已知向量⃗a=(k ,3),⃗b=(1,4),⃗c=(2,1)，且
,则实数
(
)
A．
B．
C．
D．
4．(2014 高考数学安徽理科·第10 题)在平面直角坐标系
中，已知向量
，
，
，
点
满
足
．
曲
线
，
区
域
，若
为两段分离的曲线，则
( )
A．
B．
C．
D．
5．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第3 题)已知向量
,
,则
( )
A．
B．
C．
D．
6．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第3 题)已知向量
，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
(第12 题)
O
B
C
A
二、填空题
1．(2021 年高考全国乙卷理科·第14 题)已知向量
，若
，则
__________．
2．(2020 江苏高考·第13 题)在
中，
在边
上，延长
到
，使
得
，若
(
为常数)，则
的长度是________．
3．设向量
与
的夹角为
，
，
，则
．
4．(2015 高考数学江苏文理·第6 题)已知向量
，
, 若
(
), 则
的值为_______．
5．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第13 题)设向量
，
，且
，则
．
题型四：平面向量中的平行与垂直
一、选择题
1．(2018 年高考数学北京（理）·第6 题) 设
，
均为单位向量，则“
”是“
的(
)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2016 高考数学山东理科·第8 题) 已知非零向量
满足
，
．若
，则实数的值为
( )
A．4
B．
C．
D．–
二、填空题
1．(2014 高考数学湖北理科·第11 题)设向量
，
，若
，则实数
．
2．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13 题)已知向量
，
，
，若
，
则
．
3．(2021 年高考全国甲卷理科·第14 题) 已知向量
．若
，则
________．
题型五：平面向量的数量积与夹角问题
一、选择题
1．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第6 题) 已知向量a，b 满足
，
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
2．(2022 年高考全国乙卷数学（理）·第3 题) 已知向量
满足
，则
(
)
A．
B．
C．1
D．2
3．(2019·全国Ⅱ·理·第3 题) 已知
，
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
4．(2018 年高考数学天津（理）·第8 题) 如图，在平面四边形
中，
，
，
，
，若点
为边
上的动点，则
的最小值为
( )
A．
B．
C．
D．3
A
B
C
D
E
5．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第4 题) 已知向量
，
满足
，
，则
(
)
A．4
B．3
C．2
D．0
6．(2014 高考数学天津理科·第8 题) 已知菱形
的边长为2,
,点
分别在边
上,
,
．若
,
,则
( )
A．
B．
C．
D．
7．(2014 高考数学上海理科·第16 题) 如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，
是一条侧棱，
是上底面上其余的八个点，则
的不同值的个数为
( )．
A．1
B．2
C．4
D．8
8．(2014 高考数学课标2 理科·第3 题) 设向量a,b 满足|a+b|= 10 ，|a-b|= 6 ，则ab=
( )
A．1
B．2
C．3
D．5
9．(2015 高考数学四川理科·第7 题) 设四边形
为平行四边形，
∘C ，
∘C ．若点
满
足∘C ，θ
，则cosθ
( )
A．20
B．15
C．9
D．6
10．(2015 高考数学陕西理科·第7 题) 对任意向量
，下列关系式中不恒成立的是
( )
A．
B．
C．
D．
11．(2015 高考数学山东理科·第4 题) 已知菱形
的边长为
，
,则
(
)
A．
B．
C．
D．
12．(2015 高考数学福建理科·第9 题) 已知
，若
点是
所在平面内一
点，且
，则
的最大值等于
( )
A．13
B．15
C．19
D．21
13．(2015 高考数学安徽理科·第8 题)
是边长为
的等边三角形，已知向量
，
满足
，
，则下列结论正确的是
( )
A．
B．
C．
D．
14．(2017 年高考数学浙江文理科·第10 题) 如图,已知平面四边形ABCD , AB
BC
,
2
AB
BC
AD
,
3
CD
, AC 与BD 交于点O ．记
1I
OA OB
,
2I
OB OC
,
3I
OC OD
,则
( )
A．
1
2
3
I
I
I
B．
1
3
2
I
I
I
C．
3
1
2
I
I
I
D．
2
1
3
I
I
I
15．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第12 题) 已知ABC
是边长为2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一
点，则
(
)
PA
PB
PC
的最小值是
( )
A．2
B．
3
2
C．
4
3
D．1
16．(2016 高考数学天津理科·第7 题) 已知
是边长为1 的等边三角形，点
分别是边
的中点，连接
并延长到点
，使得
，则
的值为
( )
A．
B．
C．
D．
17．(2019·全国Ⅰ·理·第7 题) 已知非零向量
，
满足
，且
，则
与
的夹角为
(
)
A．
B．
C．
D．
18．(2023 年全国甲卷理科·第4 题) 已知向量
满足
，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
19．(2014 高考数学四川理科·第7 题) 平面向量
，且
与
的夹角
等于
与
的夹角，则
( )
A．-2
B．-1
C．1
D．2
20．(2023 年全国乙卷理科·第12 题) 已知
的半径为1，直线PA 与
相切于点A．直线PB 与
交
于B．C 两点，D 为BC 的中点，若
，则
的最大值为
( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
1．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第13 题) 已知单位向量
,
的夹角为45°，
与
垂直，则
k=__________．
2．(2020 年浙江省高考数学试卷·第17 题) 设
，
为单位向量，满足
，
，
，设
，
的夹角为
，则
的最小值为_______．
3．(2022 年高考全国甲卷数学（理）·第13 题) 设向量
，
的夹角的余弦值为
，且
，
，则
_________．
30．(2021 高考北京·第13 题) 已知向量
在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边
长为1，则
________；
________．
5．(2019·天津·理·第14 题) 在四边形
中，
，点
在
线段
的延长线上，且
，则
．
6．(2018 年高考数学上海·第8 题) 在平面直角坐标系中，已知点
、
，
、
是
轴上的
两个动点，且
，则
的最小值为 ．
7．(2014 高考数学课标1 理科·第15 题) 已知A,B,C 是圆O 上的三点,若
1 (
)
2
AO
AB
AC
,则AB
与AC
的夹角为______．
8．(2014 高考数学江苏·第12 题) 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB =8 ，AD =5 ，
，⃗
AP⋅⃗BP =2，则⃗AB⋅⃗AD 的值是 ．
9 ．(2015
高考数学天津理科· 第
14
题)
在等腰梯形
ABCD 中, 已知
/ /
,
2,
1,
60
AB
DC AB
BC
ABC
, 动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且,
1
,
,
9
BE
BC DF
DC
则AE AF
的最小值为 ．
10．(2015 高考数学上海理科·第14 题) 在锐角
中，
，
为
边上的一点，
与
面积分别为2 和4，过
作
于
，
于
，则
．
11．(2015 高考数学湖北理科·第11 题) 已知向量
，
，则
．
12．(2017 年高考数学天津理科·第13 题) 在
ABC
△
中,
60
A
∠
,
3
AB
,
2
AC
．若
2
BD
DC
,
(
)
AE
AC
AB
R
,且
4
AD AE
,则的值为___________．
P
C
D
B
A
13．(2017 年高考数学江苏文理科·第13 题) 在平面直角坐标系xOy 中,
( 12,0), (0,6),
A
B
点P 在圆
2
2
50
O
x
y
：
上,若
20,
PA PB
≤
则点P 的横坐标的取值范围是______．
14．(2016 高考数学浙江理科·第15 题) 已知向量
，
．若对任意单位向量
，均有
，则
的最大值是 ．
15．(2016 高考数学上海理科·第12 题) 在平面直角坐标系中，已知
，
是曲线
上一个动点，则
的取值范围是 ．
16．(2016 高考数学江苏文理科·第13 题) 如图，在
中，
是
的中点，
是
上两个三等
分点，
，
，则
的值是 ．
F
E
D
C
B
A
17．(2019·上海·第3 题) 已知向量
，
，则
与
的夹角为________.
18．(2019·全国Ⅲ·理·第13 题) 已知
，
为单位向量，且
，若
，则
___________．
19．(2014 高考数学江西理科·第15 题) 已知单位向量
1e
与
2e
的夹角为,且
1
cos
3
,向量
1
2
3
2
a
e
e
与
1
2
3
b
e
e
的夹角为,则cos =_______
20．(2021 年高考浙江卷·第17 题) 已知平面向量
满足
．记向
量
在
方向上的投影分别为x，y，
在
方向上的投影为z，则
的最小值为___________．
21．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第15 题) 已知向量
，
，
，
_______．
题型六：平面向量的模长问题
一、选择题
23．(2014 高考数学大纲理科·第4 题) 若向量
满足：
则
(
)
A．2
B．
C．1
D．
2．(2015 高考数学湖南理科·第8 题) 已知点
，
，
在圆
上运动，且
，若点
的
坐标为
，则
的最大值为
( )
A．6
B．7
C．8
D．9
B．
分析：由题意得，AC 为圆的直径，故可设A(m,n)，C(−m,−n)，B( x , y)，
∴
，∴
的最大值为圆
上的动点到
点(6,0)距离的最大值，从而易得当{x=−1¿¿¿¿时
的最大值为7 ，故选B．
3．(2018 年高考数学浙江卷·第9 题) 已知
是平面向量，
是单位向量，若非零向量
与
的夹角为
，向量
满足
，则
的最小值是
( )
A．
B．
C．2
D．
二、填空题
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第13 题) 已知向量
，
满足
，
，则
______．
2 ．(2019· 浙江· 第17 题) 已知正方形
的边长为
当每个
取遍
时，
，的最小值是 ，最大值是 ．
3．(2014 高考数学湖南理科·第16 题) 在平面直角坐标系中,
为原点,
,动点
满足
,则
的最大值是________．
4．(2017 年高考数学浙江文理科·第15 题) 已知向量a ,b 满足
1,
2
a
b
,则
a + b
a
b 的最小值是
_____,最大值是____．
5．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第13 题) 已知向量a ,b 的夹角为60,
2
a
,
1
b
,则
2
a
b
__________．
6．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第14 题)设
为单位向量，且
，则
______________．
题型七：平面向量的综合应用
一、多选题
1．(2021 年新高考Ⅰ卷·第10 题)已知
为坐标原点，点
，
，
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
二、选择题
1．(2014 高考数学浙江理科·第8 题) 记f (x)=x
3+3|x−a|(a∈R).，f ( x )
，设[−1,1]为平
面向量，则
( )
A．M ( a ) , m( a )
B．M ( a )−m( a )
C．b ∈R ,
D．[ f ( x )+b ]2≤4
三、填空题
1．(2019·江苏·第12 题)如图，在
中，
是
的中点，
在边
上，
，
与
交于
，
若
，则
的值是______.
2．(2014 高考数学安徽理科·第15 题)已知两个不相等的非零向量
，两组向量
,
,
,
,
和
,
,
,
,
均由2 个
和3 个
排列而成．记
，
表示
所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是___________(写出所有正确命题的编号)．
①S 有5 个不同的值
②若
，则
与
无关
③若
，则
与
无关
④若
，则
⑤若
，
，则
与
的夹角为
3．(2015 高考数学浙江理科·第15 题)已知
是空间单位向量，
，若空间向量
满足
，且对于任意
，
，则
，
，
．
