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专题四
三角函数与解三角形
第十讲三角函数的图象与性质
答案部分
2019
年
1.
2019
9
（
北京）函数
f x
( )
sin
=
2 2x的最小正周期是 ________.
2.（2019 全国Ⅲ理12）设函数
( )
f x =sin（
5
x
+
）(＞0)，已知
( )
f x 在
0,2有且仅
有5 个零点，下述四个结论：
①
( )
f x 在（0,2）有且仅有3 个极大值点
②
( )
f x 在（0,2）有且仅有2 个极小值点
③
( )
f x 在（0,10
）单调递增
④的取值范围是[
12 29
5 10
，
)
其中所有正确结论的编号是
A． ①④ B． ②③ C． ①②③
D． ①③④
3.
2019
7
（
天津理
）已知函数
( )
sin(
)(
0,
0,|
|
)
f x
A
x
A
=
+
是奇函数，将
( )
y
f x
=
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的
倍（纵坐标不变），所得图像对应的函
2
数为
( )
g x .若
( )
g x 的最小正周期为2π ，且
π
2
4
g
=
，则
3π
8
f
=
A. 2
−
B.
2
−
C.
2
D.2
2010-2018
年
1
A
．【解析】解法一
( )
cos
sin
2 cos(
)
4
=
−
=
+ π
f x
x
x
x
，且函数
cos
=
y
x在区间
[0, ]
上单调递减，则由0
4
+
≤
≤
x
，得
3
4
4
−
≤≤
x
．
因为
( )
f x 在
[
, ]
−a a 上是减函数，所以
4
3
4
−
−
≥
≤
a
a
，解得
4
≤
a
，
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解法二 因为
( )
cos
sin
=
−
f x
x
x ，所以
( )
sin
cos
= −
−
f
x
x
x，
则由题意，知
( )
sin
cos
0
= −
−
≤
f
x
x
x
在
[
, ]
−a a 上恒成立，
即
sin
cos
0
+
≥
x
x
，即
2 sin(
)
0
4
+
≥
x
，在
[
, ]
−a a 上恒成立，结合函数
2 sin(
)
4
=
+
y
x
的图象可知有
0
4
4
−+
+
≥
≤
a
a
，解得
4
≤
a
，所以0
4
≤
a
，
所以a 的最大值是4
，故选
．
A
2
A
．【解析】把函数
sin(2
)
5
y
x
=
+
的图象向右平移10
个单位长度得函数
( )
sin[2(
)
]
sin 2
10
5
g x
x
x
=
−
+
=
的图象，
由
2
2
2
2
2
k
x
k
−
+
+
≤
≤
( k Z)得
4
4
k
x
k
−
+
+
≤≤
( k Z )
，
令
1
k = ，得3
5
4
4
x
≤≤
，
即函数
( )
sin 2
g x
x
=
的一个单调递增区间为3
5
[
,
]
4
4
，故选
．
A
3
C
．【解析】由题意可得
2
2
| cos
sin
2|
|
sin
cos
2|
1
1
m
m
d
m
m
−
−
−
+
=
=
+
+
2
2
2
2
2
2
1
|
1(
sin
cos )
2 |
|
1sin(
)
2 |
1
1
1
1
m
m
m
m
m
m
m
+
−
+
+
−
+
+
+
=
=
+
+
（其中
2
cos
1
m
m
=
+
，
2
1
sin
1
m
=
+
），∵
1
sin(
)
1
−
−
≤
≤,
∴
2
2
2
2
| 2
1 |
2
1
1
1
m
m
d
m
m
−
+
+
+
+
+
≤
≤
，
2
2
2
2
1
2
1
1
1
m
m
m
+
+
= +
+
+
，
∴当
0
m =
时，d
取得最大值，故选
．
3
C
4
D
．【解析】把
2
C 的解析式运用诱导公式变为余弦，
2
C ：
2
2
sin(2
)
cos[
(2
)]
cos[ (2
)]
cos(2
)
3
2
3
6
6
y
x
x
x
x
=
+
=
−
+
=
−
+
=
+
则由
1
C 图象横坐标缩短为原来的1
2
，再把得到的曲线向左平移12
个单位长度，得到曲
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线
2
C
．选D
5
D
．【解析】∵
( )
cos(
)
3
f x
x
=
+
的周期为2k， k Z
，所以
正确；
A
∵
8
(
)
cos3
1
3
f
=
= −
，所以
正确；
B
设
4
( )
(
)
cos(
)
3
g x
f x
x
=
+
=
+
，而
3
(
)
cos
0
6
2
g
=
=
，
正确；选
．
C
D
6
A
．【解析】由题意
5π
8
x =
取最大值，
11π
8
x =
与x相交，设
( )
f x 周期为T ，
所以
11
5
3
8
8
4
4
T
−
=
=
或3
4
T ，所以
3
T
=
或T
=
，
又
( )
f x 的最小正周期大于2π ，所以
3
T
=
，所以
2
2
3
T
=
=
，排除
、；
C
D
由
5π
(
)
2
8
f
=
，即
2
5
2sin(
)
2
3
8
+
=
，10
2
24
2
k
+
=
+
，
即
2
12
k
=
+
，令
0
k =
，
12
=
．选
．
A
7
A
．【解析】因为点
(
, )
4
P
t
在函数
sin(2
)
3
y
x
=
−
的图象上，所以
sin(2
)
4
3
t
=
−
=
1
sin 6
2
=
，又
1
(
, )
4
2
P
s
−
在函数
sin 2
y
x
=
的图象上，所以1
sin2(
)
2
4
s
=
−
，则
2(
)
2
4
6
s
k
−
=
+
或
5
2(
)
2
4
6
s
k
−
=
+
，k
Z
，得
6
s
k
= −
+
或
6
s
k
= −
−
，k
Z
．又
0
s
，故s 的最小值为6
，故选A．
8
B
．【解析】由题意得
( )
2sin(
)
2cos(
)
2sin(2
)
6
6
3
f x
x
x
x
=
+
+
=
+
，故该函数的
最小正周期
2
2
T
=
=
．故选
．
B
9
B
．【解析】因为
4
x
= −
为函数
( )
f x 的零点，
4
x
=
为
( )
y
f x
=
图像的对称轴，所以
2
2
4
kT
T
=
+
（k
Z
，T 为周期），得
2
2
1
T
k
=
+
（k
Z
）．又( )
f x 在
5
(
,
)
18 36
单
调，所以
11
,
6
2
T
k
厔
，又当
5
k =
时，
11,
4
=
= −
，
( )
f x 在
5
(
,
)
18 36
不单调；
当
4
k =
时，
9,
4
=
=
，
( )
f x 在
5
(
,
)
18 36
单调，满足题意，故
9
=
，即的最
大值为．
9
10．B【解析】函数
2sin2
y
x
=
的图像向左平移
12
个单位长度，得到的图像对应的函数表
达式为
π
2sin2
12
y
x
=
+
，令
π
π
2
+
π
12
2
x
k
+
=
，解得
(
)
π
π
2
6
k
x
k
=
+
Z ，所以所求对
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称轴的方程为
(
)
π
π
2
6
k
x
k
=
+
Z
，故选B．
11．【解析】
B
sin 4(
)
12
y
x
=
−
，只需将函数
sin 4
y
x
=
的图像向右平移12
个单位．
12．A 【解析】采用验证法，由
cos(2
)
sin 2
2
y
x
x
=
+
= -
，可知该函数的最小正周期为
且为奇函数，故选
．
A
13．D【解析】由图象可知
2
4
2
m
+
=
+
，
3
2
4
2
5ω
m
+
=
+
，m
Z
，
所以
,
2
,
4
m
m
Z
=
=
+
，
所以函数
( )
cos(
2
)
cos(
)
4
4
=
+
+
=
+
f x
x
m
x
的单调递减区间为，
2
2
4
k
x
k
+
+
，即
1
3
2
2
4
4
k
x
k
−
+
，k
Z
．
14．A【解析】∵
( )
sin(
)
f x
A
x
=
+
的最小正周期为，且
2
3
x
=
是经过函数
( )
f x 最
小值点的一条对称轴，∴
2
3
2
6
x
=
−
=
是经过函数
( )
f x 最大值的一条对称轴．
∵
12
| 2
|
6
6
−
−
=
，
5
12
| (
2)
|
6
6
−
−
−
=
，
| 0
|
6
6
−
=
，
∴
| 2
| | (
2)
| | 0
|
6
6
6
−
−
−
−
，
且
2
2
3
3
−
，
2
2
3
3
−
−
，
2
0
3
3
−
，
∴
(2)
(
2)
(0)
f
f
f
−
，即
(2)
( 2)
(0)
f
f
f
−
．
15．【解析】①
A
|
2
|
cos
x
y =
，最小正周期为；②
|
cos
|
x
y =
，最小正周期为；③
)
6
2
cos(
+
=
x
y
，最小正周期为；④
)
4
2
tan(
−
=
x
y
，最小正周期为2
．最小正
周期为的函数为①②③．
16．A【解析】因为
sin3
cos3
2 cos(3
)
2 cos3(
)
4
12
y
x
x
x
x
=
+
=
−
=
−
，所以将函
数
2cos3
y
x
=
的图象向右平移12
个单位后，可得到
2 cos(3
)
4
y
x
=
−
的图象，故
选
．
A
17．C【解析】
( )
2 sin(2
)
4
f x
x
=
+
，将函数
( )
f x 的图象向右平移个单位得
( )
2 sin(2
2 )
4
f x
x
=
+
−
，由该函数为偶函数可知2
,
4
2
k
k
Z
−
=
+
，
即
3
2
8
k
=
+
，所以的最小正值是为3
8
．
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18．D【解析】函数
sin
y
x
=
的图象向左平移
2
个单位，得到函数
( )
sin(
)
cos
2
f x
x
x
=
+
=
的图象，
( )
cos
f x
x
=
为偶函数，排除
；
A
( )
cos
f x
x
=
的周期为2
，排除
；
B
因为
( )
cos
0
2
2
f
=
=
，所以
( )
cos
f x
x
=
不关于直线
2
x
=
对称，排除
；故选
．
C
D
19．B【解析】将
3sin(2
)
3
y
x
=
+
的图象向有右移
2
个单位长度后得到
3sin[2(
)
]
2
3
y
x
=
−
+
，即
2
3sin(2
)
3
y
x
=
−
的图象，
令
2
2
2
2
2
3
2
k
x
k
−
+
−
+
≤
≤
，k
Z
，
化简可得
7
[
,
]
12
12
x
k
k
+
+
，k
Z
，
即函数
2
3sin(2
)
3
y
x
=
−
的单调递增区间为
7
[
,
]
12
12
k
k
+
+
，k
Z
，
令
0
k =
．可得
2
3sin(2
)
3
y
x
=
−
在区间
7
[
,
]
12 12
上单调递增，故选B．
20．C【解析】
5
1
sin(
)
sin(2 +
)
sin
cos
2
2
2
5
+
=
+
=
+
=
=
，选C.
21．B【解析】将函数y=sin(2 x +
)的图像沿
轴向左平移
x
8
个单位，得到函数
sin[2(
)
]
sin(2
)
8
4
y
x
x
=
+
+
=
+
+
，因为此时函数为偶函数，
所以
,
4
2
k
k
Z
+
=
+
，即
,
4
k
k
Z
=
+
，所以选B.
22．B【解析】把
)
2
3
,0
(
P
代入
)
2
2
)(
2
sin(
)
(
−
+
=
x
x
f
，解得
3
=
，
所以
)
2
3
2
sin(
)
(
−
+
=
x
x
g
，把
)
2
3
,0
(
P
代入得，
k
=
或
6
−
= k
，
观察选项，故选B
23．A【解析】由题设知，
= 5
4
4
−
，∴=1，∴4
+
=
2
k
+
（k
Z
），
∴=
4
k
+
（k
Z
），∵0
，∴=
4
，故选A.
24．C【解析】
cos2
y
x
=
向左平移1
2
→
1
cos2(
)
cos(2
1)
2
y
x
x
=
+
=
+
．
25．A【解析】
cos2
1
cos
1
cos(
1) 1
cos(
1)
y
x
y
x
y
x
y
x
=
+
=
+
=
+
+
=
+
，故选
A．
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26．A【解析】
7
3
0
9,
,
sin(
)
1,
3
6
3
6
2
6
3
x
x
x
−
−
−
−
max
min
2,
3.
y
y
=
= −
故选．
8
27．D【解析】函数向右平移
4
得到函数
)
4
sin(
)
4
(
sin
)
4
(
)
(
−
=
−
=
−
=
x
x
x
f
x
g
，
因为此时函数过点
)
0,
4
3
(
，所以
0
)
4
4
3
(
sin
=
−
，即
,
2
)
4
4
3
(
k
=
=
−
所
以
Z
k
k
=
,
2
，所以
的最小值为，选
．
2
D
28．A【解析】函数
)
4
sin(
)
(
+
=
x
x
f
的图像可看作是由函数
( )
sin
f x
x
=
的图像先向左
平移
4
个单位得
( )
sin(
)
4
f x
x
=
+
的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的
1
倍，纵坐标不变得到的，而函数
( )
sin(
)
4
f x
x
=
+
的减区间是
5
[
,
]
4
4
，所以要使
函数
)
4
sin(
)
(
+
=
x
x
f
在
)
,
2
(
上是减函数，需满足
1
4
2
5
1
4
≤
≥
，
解得1
5
2
4
≤
≤
．
29．B【解析】由于
( )
sin
f x
x
=
的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知，
3
为函数
( )
f x 的四分之一周期，故2
4
3
=
，解得
3
2
=
．
30．D【解析】∵
( )
sin(2
)
cos(2
)
4
4
f x
x
x
=
+
+
+
=
2 sin(2
)
2 cos2
2
x
x
+
=
，
所以
2cos2
y
x
=
在
(0,
)
2
单调递减，对称轴为2x
k
=
，即
(
)
2
k
x
k
Z
=
．
31．C【解析】因为当x
R
时，
( )
|
(
) |
6
f x
f
≤
恒成立，所以
(
)
sin(
)
1
6
3
f
=
+
= ，
可得
2
6
k
=
+
或
5
2
6
k
=
−
，k
Z
，
因为
(
)
sin(
)
sin
( )
sin(2
)
sin
2
f
f
=
+
= −
=
+
=
故
sin
0
，所以
5
2
6
k
=
−
，所以
5
( )
sin(2
)
6
f x
x
=
−
，
由
5
2
2
2
2
6
2
k
x
k
−
+
−
+
≤
≤
（k
Z
），
得
2
6
3
k
x
k
+
+
≤≤
（k
Z
），
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故( )
f x 的单调递增区间是
2
[
,
]
6
3
k
k
+
+
（k
Z
）．
32．B【解析】半周期为3
8
8
4
−
=
，即最小正周期为
2
，
所以
2
=
．由题意可知，图象过定点3 (
,0)
8
，
所以
3
0
tan(2
)
8
A
=
+
，即3
4
k
+
=
(
)
k
Z
所以
3
(
)
4
k
k
Z
=
−
，又|
|
2
，所以
4
=
，
又图象过定点(0,1) ，所以
1
A =
．综上可知
( )
tan(2
)
4
f x
x
=
+
，
故有
(
)
tan(2
)
tan
3
24
24
4
3
f
=
+
=
=
．
33．2
3
【解析】由于对任意的实数都有
π
( )
( )
4
f x
f
≤
成立，故当
4
x
=
时，函数
( )
f x 有最
大值，故
(
)
1
4
f =
，
2
4
6
k
−
=
( k Z )，∴
2
8
3
k
=
+
( k Z )
，
又
0
，∴
min
2
3
=
．
34．3【解析】由题意知，
cos(3
)
0
6
x
+
=
，所以3
6
2
x
k
+
=
+
， k Z ，
所以
9
3
k
x
=
+
， k Z ，当
0
k =
时，
9
x
=
；当
1
k =
时，
4
9
x
=
；
当
2
k =
时，
7
9
x
=
，均满足题意，所以函数
( )
f x 在
[0, ]
的零点个数为．
3
35．
π
6
−
【解析】由函数
sin(2
)(
)
2
2
y
x
=
+
−
的图象关于直线
3
x
=
对称，
得
2
sin(
)
1
3
+
= ，因为2
2
−
，所以
2
7
6
3
6
+
，
则2
3
2
+
=
，
6
= −
．
36．3
【解析】函数
sin
3cos
2sin(
)
3
y
x
x
x
=
−
=
−
的图像可由函数
sin
y
x
=
+
3 cos
2sin(
)
3
x
x
=
+
的图像至少向右平移2
3
个单位长度得到．
37．、
]
8
7
,
8
3
[
k
k
+
+
(
Z
k
)【解析】
2
3
)
4
2
sin(
2
2
)
(
+
−
=
x
x
f
，故最小正周
期为，单调递减区间为
]
8
7
,
8
3
[
k
k
+
+
(
Z
k
)
．
38．【解析】
2
3
sin2
cos
2
y
x
x
=
+
=
3
1
1
1
sin2
cos2
sin(2
)
2
2
2
6
2
y
x
x
x
=
+
+
=
+
+
，
关注微信公众号：加油高三
所以其最小正周期为2
2
=
．
39．
6
【解析】由题意交点为
1
(
, )
3 2
，所以
2
1
sin(
)
3
2
+
=
，又0
≤
，解得
6
=
．
40．2
2
【解析】把函数
sin
y
x
=
图象向左平移
6
个单位长度得到
sin(
)
y
x
=
+
的图象，
再把函数
sin(
)
6
y
x
=
+
图象上每一点的横坐标伸长为原来的
倍，纵坐标不变，得到
2
函数
1
( )
sin(
)
2
6
f x
x
=
+
的图象，所以
=
6
f
1
2
sin(
)
sin
2
6
6
4
2
+
=
=
．
41．3
8
【解析】
(
)
sin[2(
)
]
sin(2
2 )
4
4
f x
x
x
−
=
−
+
=
+
−
∴
2
(
)
4
2
k
k
Z
−
=
+
，∴
(
)
8
2
k
k
Z
= −
−
，当
1
k = −时
min
3
8
=
．
42．
2 5
5
−
【解析】∵
( )
f x =
sin
2cos
x
x
−
=
5
2 5
5(
sin
cos )
5
5
x
x
−
令cos=
5
5
，
2 5
sin
5
= −
，则
( )
f x =
5(sin cos
sin
cos )
x
x
+
=
5sin(
)
x
+
，
当x
+
= 2
,
2
k
k
z
+
，即x =2
,
2
k
k
z
+
−
时，( )
f x 取最大值，
此时=2
,
2
k
k
z
+
−
，∴cos=
cos(2
)
2
k
+
−
=sin=
2 5
5
−
.
43．5
6
【解析】
函数
cos(2
)
y
x
=
+
，向右平移
2
个单位，得到
sin(2
)
3
y
x
=
+
，
即
sin(2
)
3
y
x
=
+
向左平移2
个单位得到函数
cos(2
)
y
x
=
+
，
sin(2
)
3
y
x
=
+
向左平移
2
个单位，
得
sin[2(
)
]
sin(2
)
2
3
3
y
x
x
=
+
+
=
+
+
sin(2
)
cos(
2
)
3
2
3
x
x
= −
+
=
+
+
5
cos(2
)
6
x
=
+
，即
5
6
=
．
44．
2
a
【解析】
( )
3sin3
cos3
2sin(3
)
f x
x
x
x
=
+
=
+
得
|
( ) | 2
f x
故
2
a
．
45．π【解析】
2
=
=
2
T
．
关注微信公众号：加油高三
46．
6
2
【解析】由图可知：
2
A =
，
7
4
12
3
4
T
=
−
=
，所以T
=
，
2
2
T
=
=
，又
函数图象经过点 (
,0)
3
，所以2
3
+
=
，则
3
=
，故
( )
2 sin(2
)
3
f x
x
=
+
，
所以
6
(0)
2 sin 3
2
f
=
=
．
47．①③【解析】
2
2
( )
sin2
cos2
sin(2
)
f x
a
x
b
x
a
b
x
=
+
=
+
+
（其中tan
b
a
=
），
因此对一切x
R
，
( )
|
(
) |
6
f x
f
≤
恒成立，所以
sin(
)
1
3
+
= ，
可得
(
)
6
k
k
Z
=
+
，故
2
2
( )
sin(2
)
6
f x
a
b
x
=
+
+
．
而
2
2
11
11
(
)
sin(2
)
0
12
12
6
f
a
b
=
+
+
=
，所以①正确；
2
2
2
2
7
47
17
|
(
) | |
sin
| |
sin
|
12
30
30
f
a
b
a
b
=
+
=
+
，
2
2
17
|
(
) | |
sin
|
5
30
f
a
b
=
+
，
所以
7
|
(
) | |
(
) |
10
5
f
f
=
，故②错；③明显正确；④错误：
由函数
2
2
( )
sin(2
)
6
f x
a
b
x
=
+
+
和
2
2
( )
sin(2
)
6
f x
a
b
x
= −
+
+
的图象（图略）
可知，不存在经过点
( , )
a b 的直线与函数
( )
f x 的图象不相交，故⑤错误．
48．2
3
【解析】线段
1
2
PP 的长即为sin x 的值，且其中的x 满足
6cos
5tan
x
x
=
，解得
sin x = 2
3
．线段
1
2
PP 的长为2
3
．
49．
3
[
,3]
2
−
【解析】由题意知，
2
=
，因为
[0,
]
2
x
，所以
5
2
[
,
]
6
6
6
x
−
−
，由
三角函数图象知：( )
f x 的最小值为
3
3sin(
)=
6
2
−
−
，最大值为
3sin
=3
2
，所以( )
f x
的取值范围是
3
[
,3]
2
−
．
50．【解析】(1)若( )
f x 为偶函数，则对任意R
x
，均有
( )
(
)
=
−
f x
f
x ；
即
2
2
sin 2
2cos
sin 2(
)
2cos (
)
+
=
−
+
−
a
x
x
a
x
x ，
化简得方程
sin 2
0
=
a
x
对任意R
x
成立，故
0
=
a
；
(2)
2
( )
sin(2
)
2cos (
)
1
3
1
4
4
4
=
+
=
+ =
+
f
a
a
，所以
3
=
a
，
故
2
( )
3sin2
2cos
=
+
f x
x
x ．
关注微信公众号：加油高三
则方程
( )
1
2
= −
f x
，即
2
3sin 2
2cos
1
2
+
= −
x
x
，
所以
2
3sin 2
2cos
1
2
+
−= −
x
x
，化简即为
2sin(2
)
2
6
+
= −
x
，
即
2
sin(2
)
6
2
+
= −
x
，解得
11
24
= −
+
x
k
或
5
24
= −
+
x
k
，, Z
k k
若求该方程在
[
, ]
−
上有解，则
13 35
[
,
]
24 24
−
k
，
19 29
[
,
]
24 24
−
k
，
即
0
=
k
或；
1
0
=
k
或，
1
对应的x 的值分别为：
11
24
−
、13
24
、
5
24
−
、19
24
．
51．【解析】（）因为
1
(cos ,sin )
x
x
=
a
，
(3,
3)
=
−
b
，∥
a
b，
所以
3 cos
3sin
x
x
−
=
．
若
cos
0
x =
，则
sin
0
x =
，与
2
2
sin
cos
1
x
x
+
=
矛盾，故
cos
0
x
．
于是
3
tan
3
x = −
．
又
[0, ]
x
，所以
5
6
x
=
．
（2）
π
(cos ,sin ) (3,
3)
3cos
3sin
2 3cos(
( )
)
6
f x
x
x
x
x
x
=
=
−
=
−
=
+
a b
.
因为
[0, ]
x
，所以
π
π
π
7
[
,
]
6
6
6
x +
，
从而
π
3
1
cos(
)
6
2
x
−
+
.
于是，当
π
π
6
6
x +
=
，即
0
x =
时，( )
f x 取到最大值3；
当
π
6
x +
= ，即
5π
6
x =
时，
( )
f x 取到最小值2 3
−
.
52．【解析】（Ⅰ）因为
( )
sin(
)
sin(
)
6
2
f x
x
x
=
−
+
−
，
所以
3
1
( )
sin
cos
cos
2
2
f x
x
x
x
=
−
−
3
3
sin
cos
2
2
x
x
=
−
关注微信公众号：加油高三
1
3
3( sin
cos
)
2
2
x
x
=
−
3(sin
)
3
x
=
−
由题设知
( )
0
6
f =
，
所以6
3
k
−
=
，k
Z
．
故
6
2
k
=
+
，k
Z
，又0
3
，
所以
2
=
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
( )
3sin(2
)
3
f x
x
=
−
所以
( )
3 sin(
)
3sin(
)
4
3
12
g x
x
x
=
+
−
=
−
．
因为
3
[
,
]
4
4
x
−
，
所以
2
[
,
]
12
3
3
x
−
−
，
当
12
3
x
−
= −
，
即
4
x
= −
时，( )
g x 取得最小值
3
2
−
．
53．【解析】(
)
Ⅰ
( )
f x 的定义域为
{ |
,
}
2
x x
k
k
Z
+
．
( )
4 tan cos cos(
)
3
3
f x
x
x
x
=
−
−
4sin cos(
)
3
3
x
x
=
−
−
1
3
4sin ( cos
sin )
3
2
2
x
x
x
=
+
−
2
2sin
cos
2 3sin
3
x
x
x
=
+
−
sin2
3(1 cos2 )
3
x
x
=
+
−
−
sin2
3cos2
x
x
=
−
2sin(2
)
3
x
=
−
所以
( )
f x 的最小正周期
2
2
T
=
=
．
( )
令
2
,
3
z
x
=
−
函数
2sin
y
z
=
的单调递增区间是
2
,
2
,
.
2
2
k
k
k
Z
−
+
+
关注微信公众号：加油高三
由
2
2
2
2
3
2
k
x
k
−
+
−
+
,得
5
,
.
12
12
k
x
k
k
Z
−
+
+
设
5
,
,
,
4 4
12
12
A
B
x
k
x
k
k
Z
= −
=
−
+
+
，
易知
,
12 4
A
B
= −
．
所以当
,
,
4 4
x
−
时,
( )
f x 在区间
,
12 4
−
上单调递增, 在区间
4
12
−
−
，
上单调递减．
54．【解析】（Ⅰ）因为
2
2
( )
sin
(1 cos )
2
2
f x
x
x
=
−
−
2
sin(
)
4
2
x
=
+
−
所以
( )
f x 的最小正周期为2 ．
（Ⅱ）因为
0
x
−
，所以
3
4
4
4
x
−
+
．
当
4
2
x
+
= −
，即
3
4
x
= −
时，
( )
f x 取得最小值．
所以
( )
f x 在区间
,0
−
上的最小值为
3
2
(
)
1
4
2
f
−
= −−
．
55．【解析】（）根据表中已知数据，解得
Ⅰ
π
5,
2,
6
A
=
=
= −
. 数据补全如下表：
x
+
0
π
2
π
3π
2
2π
x
π
12
π
3
7π
12
5π
6
13 π
12
sin(
)
A
x
+
0
5
0
5
−
0
且函数表达式为
π
( )
5sin(2
)
6
f x
x
=
−
．
（）由（
Ⅱ
Ⅰ）知
π
( )
5sin(2
)
6
f x
x
=
−
，得
π
( )
5sin(2
2
)
6
g x
x
=
+
−
．
因为
sin
y
x
=
的对称中心为
(
, 0)
π
k
， k Z ．
令
π
2
2
π
6
x
k
+
−
=
，解得
π
π
2
12
k
x
=
+
−
， k Z ．
由于函数
( )
y
g x
=
的图象关于点5π
(
, 0)
12
成中心对称，令
π
π
π
5
2
12
12
k
+
−
=
，
关注微信公众号：加油高三
解得
π
π
2
3
k
=
−
， k Z . 由
0
可知，当
1
k = 时，取得最小值π
6
．
56．【解析】解法一：（Ⅰ）
5
5
5
5
(
)
2cos
(sin
cos
)
4
4
4
4
f
=
+
2cos
( sin
cos
)
4
4
4
= −
−
−
2
=
（Ⅱ）因为
2
( )
2sin
cos
2cos
f x
x
x
x
=
+
sin2
cos2
1
x
x
=
+
+
2 sin(2
) 1
4
x
=
+
+
.
所以
2
2
T
=
=
.
由
2
2
2
,
2
4
2
k
x
k
k
Z
−
+
+
，
得
3
,
8
8
k
x
k
k
Z
−
+
，
所以
( )
f x 的单调递增区间为
3
[
,
],
8
8
k
k
k
Z
−
+
.
解法二：因为
2
( )
2sin
cos
2cos
f x
x
x
x
=
+
sin2
cos2
1
x
x
=
+
+
2 sin(2
) 1
4
x
=
+
+
（Ⅰ）
5
11
(
)
2 sin
1
2 sin
1
2
4
4
4
f
=
+ =
+ =
．
（Ⅱ）
2
2
T
=
=
．
由
2
2
2
,
2
4
2
k
x
k
k
Z
−
+
+
，
得
3
,
8
8
k
x
k
k
Z
−
+
，
所以
( )
f x 的单调递增区间为
3
[
,
],
8
8
k
k
k
Z
−
+
.
57．【解析】（）
Ⅰ
π
π
(8)
10
3cos
8
sin
8
12
12
f
=
−
−
(
)
(
)
2
2
π
π
10
3cos
sin
3
3
=
−
−
1
3
10
3
(
)
10
2
2
=
−
−
−
=
.
故实验室上午
时的温度为
8
10 ℃．
（）因为
Ⅱ
3
1
π
π
π
π
( )
10
2(
cos
sin
) =10
2sin(
)
2
12
2
12
12
3
f t
t
t
t
=
−
+
−
+
，
又 0
24
t
，所以
π
π
π
π
7
3
12
3
3
t
+
，
π
π
1
sin(
)
1
12
3
t
−
+
．
当
2
t =
时，
π
π
sin(
)
1
12
3
t +
=
；当
14
t =
时，
π
π
sin(
)
1
12
3
t +
= −．
于是( )
f t 在[0,24)
上取得最大值
，取得最小值．
12
8
故实验室这一天最高温度为
℃，最低温度为
℃，最大温差为
℃
12
8
4
.
关注微信公众号：加油高三
58．【解析】解法一：Ⅰ
(
)因为0
,
2
2
sin
,
2
=
所以
2
cos
2
=
．
所以
2
2
2
1
1
( )
(
)
2
2
2
2
2
f
=
+
−
=
．
(
)
Ⅱ因为
2
1
1
1 cos2
1
( )
sin cos
cos
sin2
2
2
2
2
x
f x
x
x
x
x
+
=
+
−
=
+
−
1
1
2
sin 2
cos2
sin(2
)
2
2
2
4
x
x
x
=
+
=
+
,
所以
2
2
T
=
=
.由
2
2
2
,
,
2
4
2
k
x
k
k
Z
−
+
+
得
3
,
8
8
k
x
k
k
Z
−
+
.
所以
( )
f x 的单调递增区间为
3
[
,
],
8
8
k
k
k
Z
−
+
.
解法二：
2
1
1
1 cos2
1
( )
sin cos
cos
sin2
2
2
2
2
x
f x
x
x
x
x
+
=
+
−
=
+
−
1
1
2
sin 2
cos2
sin(2
)
2
2
2
4
x
x
x
=
+
=
+
（Ⅰ）因为0
,
2
2
sin
,
2
=
所以
4
=
从而
2
2
3
1
( )
sin(2
)
sin
2
4
2
4
2
f
=
+
=
=
（Ⅱ）
2
2
T
=
=
由
2
2
2
,
,
2
4
2
k
x
k
k
Z
−
+
+
得
3
,
8
8
k
x
k
k
Z
−
+
.
所以
( )
f x 的单调递增区间为
3
[
,
],
8
8
k
k
k
Z
−
+
.
59．【解析】：（）
I
( )
f x 的最小正周期为，
0
7
6
x
=
，
0
3
y =
.
（）因为
II
[
,
]
2
12
x
−
−
，所以
5
2
[
,0]
6
6
x
+
−
，于是
当2
0
6
x
+
=
，即
12
x
= −
时，
( )
f x
取得最大值；
0
当2
6
2
x
+
= −
，即
3
x
= −
时，
( )
f x 取得最小值3
−.
关注微信公众号：加油高三
60．【解析】（）由已知，有
Ⅰ
2
1
3
3
( )
cos
sin
cos
3 cos
2
2
4
f x
x
x
x
x
骣
÷
ç
÷
=
?
-
+
ç
÷
ç
÷
ç桫
2
1
3
3
sin
cos
cos
2
2
4
x
x
x
=
?
+
(
)
1
3
3
sin2
1
cos2
4
4
4
x
x
=
-
+
+
1
3
sin2
cos2
4
4
x
x
=
-
1
sin 2
2
3
x
p
骣
÷
ç
=
-
÷
ç
÷
ç桫
.
所以，
( )
f x 的最小正周期
2
2
T
p
p
=
=
.
（）因为
Ⅱ
( )
f x 在区间
, 4
12
p
p
轾
犏-
-
犏
臌
上是减函数，在区间
,
12 4
p p
轾
犏-犏
臌
上是增函数.
1
4
4
f
p
骣÷
ç
-
= -
÷
ç
÷
ç桫
，
1
12
2
f
p
骣
÷
ç
-
= -
÷
ç
÷
ç桫
，
1
4
4
f p
骣÷
ç
=
÷
ç ÷
ç桫
.
所以，函数
( )
f x 在闭区间
,
4 4
p p
轾
犏-犏
臌
上的最大值为1
4
，最小值为
1
2
-
.
61．【解析】：（）因
I
( )
f x 的图象上相邻两个最高点的距离为，所以
( )
f x 的最小正周期
T
=
，从而
2
2
T
=
=
.又因
( )
f x 的图象关于直线
3
=
x
对称，
所以
2
,
0, 1, 2,
,
3
2
k
k
+
=
+
=
因
2
2
−
得
0
k =
．
所以
2
2
3
6
=
−
= −
.
（）由（
II
I）得
3
3sin 2
2
2
6
4
f
=
−
=
，所以
1
sin
6
4
−
=
.
由
2
6
3
得0
,
6
2
−
所以
2
2
1
15
cos
1 sin
1
.
6
6
4
4
−
=
−
−
=
−
=
因此
3
cos
sin
sin
2
6
6
+
=
=
−
+
sin
cos
cos
sin
6
6
6
6
=
−
+
−
关注微信公众号：加油高三
=
1
3
15
1
3
15
4
2
4
2
8
+
+
=
．
62．【 解析】(1)
( )
f x ＝
3
3
2 −
sin2ωx－sin
cos
ωx
ωx
＝
3
1 cos2
1
3
sin2
2
2
2
x
x
−
−
−
＝
3
2
cos 2ωx－1
2
sin 2ωx＝
π
sin 2
3
x
−
−
．
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π
4
，
又
＞
ω
0，所以
2π
π
=4
2
4
．因此ω＝．
1
(2)
(1)
由
知
( )
f x ＝
π
sin 2
3
x
−
−
．
当π ≤ x≤3π
2
时，5π
3
≤
π
π
8
2
3
3
x −
．所以
3
π
sin 2
1
2
3
x
−
−
，
因此－1≤
( )
f x ≤
3
2
．
故
( )
f x 在区间
3π
π, 2
上的最大值和最小值分别为3
2
，－1．
63．【 解析】(1)
( )
f x ＝
2
−
sin 2 ·
x
π
π
cos
2cos 2
sin
4
4
x
−
＋3sin 2x－cos 2 x
＝2sin 2
2cos 2
x－
x＝
π
2 2sin 2
4
x
−
．
所以，
( )
f x
的最小正周期
＝
T
2π
2
＝．
π
(2)因为
( )
f x 在区间
3π
0, 8
上是增函数在区间
,
3π π
,
8
2
上是减函数．
又
，
f(0)＝－2
3π
2 2
8
f
=
，
π
2
2
f
=
，
故函数
( )
f x 在区间
π
0,2
上的最大值为2 2 ，最小值为－．
2
64．【解析】(1)
4
1
)
2
1
2
cos
2
3
2
(sin
2
1
)
3
sin
sin
3
cos
(cos
cos
)
(
+
+
=
+
=
x
x
x
x
x
x
f
关注微信公众号：加油高三
4
1
)
3
2
(
.
4
1
4
1
2
3
sin
2
1
)
3
2
(
4
1
)
6
2
sin(
2
1
−
==
−
=
+
=
+
+
=
f
f
x
所以
．
（）由（）知，
2
1
1
1
1
( )
sin(2
)
sin(2
)
0
(2
)
(2
,2
)
2
6
4
4
6
6
f x
x
x
x
k
k
=
+
+
+
+
−
.
),
12
,
12
7
(
.
),
12
,
12
7
(
Z
k
k
k
Z
k
k
k
x
−
−
−
−
所以不等式的解集是：
65．【解析】
2
2
1
1
1
( )
cos(2
)
sin
cos2
sin2
(1 cos2 )
2
4
2
2
2
f x
x
x
x
x
x
=
+
+
=
−
+
−
1
1sin 2
2
2
x
=
−
．
（）函数
I
( )
f x 的最小正周期
2
2
T
=
=
．
（Ⅱ）当
[0,
]
2
x
时，
1
1
( )
( )
sin 2
2
2
g x
f x
x
=
−
=
．
当
[
,0]
2
x
−
时,
(
)
[0,
]
2
2
x
+
,
1
1
( )
(
)
sin 2(
)
sin 2
2
2
2
2
g x
g x
x
x
=
+
=
+
= −
当
[
,
)
2
x
−
−
时，
(
)
[0,
)
2
x
+
,
1
1
( )
(
)
sin 2(
)
sin 2
2
2
g x
g x
x
x
=
+
=
+
=
得：函数( )
g x 在 [
,0]
−
上的解析式为
1
sin 2 (
0)
2
2
( )
1
sin 2 (
)
2
2
x
x
g x
x
x
−
−
=
−
．
66．【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期
11
5
2
2(
)
,
2
12
12
T
T
=
−
=
=
=
．
因为点5 (
,0)
12
在函数图像上，所以
5
5
sin(2
)
0,
sin(
)
0
12
6
A
+
=
+
=
即
．
又
5
5
4
5
0
,
,
=
2
6
6
3
6
+
+
从而
，即
=
6
．
又点
0,1
（
）在函数图像上，所以
sin
1,
2
6
A
A
=
=
，
故函数
( )
f x 的解析式为
( )
2sin(2
).
6
f x
x
=
+
（Ⅱ）
( )
2sin[2(
)
]
2sin[2(
)
]
12
6
12
6
g x
x
x
=
−
+
−
+
+
2sin 2
2sin(2
)
3
x
x
=
−
+
1
3
2sin2
2( sin2
cos2 )
2
2
x
x
x
=
−
+
sin 2
3 cos2
x
x
=
−
2sin(2
),
3
x
=
−
关注微信公众号：加油高三
由
2
2
2
,
2
3
2
k
x
k
−
−
+
得
5
,
.
12
12
k
x
k
k
z
−
+
( )
g x
的单调递增区间是
5
,
,
.
12
12
k
k
k
z
−
+
67．【解析】（Ⅰ）∵函数
( )
f x
的最大值是3，∴
1
3
A+ =
，即
2
A =
．
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2
，∴最小正周期T
=
，∴
2
=
．
故函数
( )
f x 的解析式为
( )
2sin(2
) 1
6
f x
x
=
−
+ ．
（Ⅱ）∵(
)
2
f
2sin(
) 1
2
6
=
−
+ =
，即
1
sin(
)
6
2
−
=
，
∵0
2
，∴
6
6
3
−
−
，∴
6
6
−
=
，故
3
=
．
