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§6.1 数列的概念
考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是
自变量为正整数的一类特殊函数．
知识梳理
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照确定的顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
通项公式
如果数列{an}的第n 项an与它的序号
n 之间的对应关系可以用
一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来
表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an}的
前n 项和
把数列{an}从第1 项起到第n 项止的各项之和，称为数列{an}的
前n 项和，记作Sn，即Sn＝a1＋
a 2＋
…
＋
a n
2.数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的
大小关系
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
递减数列
an＋1<an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R 的函数，其自变量是序
1
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号
n ，对应的函数值是数列的第
n 项
a n，记为an＝f(n)．
常用结论
1．已知数列{an}的前n 项和Sn，则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列的项与项数是同一个概念．( × )
(2)数列1,2,3 与3,2,1 是两个不同的数列．( √ )
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )
(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．( √ )
教材改编题
1．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，是{an}的项的是( )
A．21 B．33 C．152 D．153
答案 ABD
解析 由数列的通项公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153.
2．已知数列{an}的前n 项和为Sn，且Sn＝n2＋n，则a2的值是( )
A．2 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 由题意，S2＝22＋2＝6，S1＝1＋1＝2，所以a2＝S2－S1＝6－2＝4.
3．在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝________.
答案 34
解析 通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此x＝13
＋21＝34.
题型一 由an与Sn的关系求通项公式
例1 (1)已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，则a10等于( )
A．128 B．256 C．512 D．1 024
答案 B
解析 ∵Sn＋1＝2Sn－1，∴当n≥2 时，Sn＝2Sn－1－1，两式相减得an＋1＝2an.当n＝1 时，a1＋
a2＝2a1－1，又a1＝2，∴a2＝1.∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2.则a10＝a2×28
＝1×28＝256.
(2)已知数列{an}的前n 项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝________.
答案
解析 根据题意，数列{an}满足Sn＝2n＋2－3，
2
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当n≥2 时，有an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1，
当n＝1 时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，故an＝
思维升华 Sn与an的关系问题的求解思路
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
跟踪训练1 (1)已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n
B．an＝n2
C．an＝
D．an＝
答案 B
解析 ∵＋＋…＋＝，
∴＋＋…＋＝(n≥2)，
两式相减得＝－＝n(n≥2)，
∴an＝n2(n≥2)，①
又当n＝1 时，＝＝1，a1＝1，适合①式，
∴an＝n2，n∈N*.
(2)设Sn是数列{an}的前n 项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.
答案 －
解析 因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以由两式联立得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.因为Sn≠0，
所以－＝1，即－＝－1.又＝－1，所以数列是首项为－1，公差为－1 的等差数列．所以＝－
1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－.
题型二 由数列的递推关系求通项公式
命题点1 累加法
例2 设[x]表示不超过x 的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝
1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n(n≥2)．又a1＝1，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝
(n≥2)，
当n＝1 时，a1＝1 满足上式，
则＝＝2.
所以＋＋…＋
＝2×
＝2×
3
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＝.
所以＝＝1.
命题点2 累乘法
例3 在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
答案 an＝
解析 ∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得，
an＝a1···…·＝＝.
当n＝1 时，a1＝1，符合上式，∴an＝.
思维升华 (1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．
(2)形如＝f(n)的数列，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
跟踪训练2 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于( )
A．2＋ln n
B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n
D．1＋n＋ln n
答案 A
解析 因为an＋1－an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
…
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
把以上各式相加得an－a1＝ln n－ln 1，
则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2 也满足此式，
因此an＝2＋ln n(n∈N*)．
(2)已知数列a1，，…，，…是首项为1，公比为2 的等比数列，则log2an＝________.
答案
解析 由题意知，a1＝1，＝1×2n－1＝2n－1(n≥2)，
所以an＝××…××a1＝2n－1×2n－2×…×1＝
(n≥2)，当n＝1 时，a1＝1 适合此式，
所以log2an＝.
题型三 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4 设数列{an}的前n 项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列
{an}的通项公式an＝________.
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答案 n－6，n∈N*(答案不唯一)
解析 由∀n∈N*，an＋1>an可知数列{an}是递增数列，又Sn≥S6，故数列{an}从第7 项开始为
正．而a6≤0，因此不妨设数列是等差数列，公差为1，a6＝0，所以an＝n－6，n∈N*(答案
不唯一)．
命题点2 数列的周期性
例5 若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 024的值为( )
A．2 B．－3 C．－ D.
答案 D
解析 由题意知，a1＝2，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，a6＝＝－3，…，因此数
列{an}是周期为4 的周期数列，所以a2 024＝a505×4＋4＝a4＝.
命题点3 数列的最值
例6 已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为( )
A．1，－ B．0，－ C.，－ D．1，－
答案 A
解析 因为n∈N*，所以当1≤n≤3 时，an＝<0，且单调递减；当n≥4 时，an＝>0，且单调
递减，所以最小项为a3＝＝－，最大项为a4＝＝1.
思维升华 (1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
跟踪训练3 (1)观察数列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11
项是( )
A．1 111 B．11 C．ln 11 D．sin 11
答案 C
解析 由数列得出规律，按照1，ln 2，sin 3，…，是按正整数的顺序排列，且以3 为循环，
由11÷3＝3 余2，所以该数列的第11 项为ln 11.
(2)已知数列{an}的通项an＝，n∈N*，则数列{an}前20 项中的最大项与最小项分别为
________．
答案 3，－1
解析 an＝＝＝1＋，当n≥11 时，>0，且单调递减；当1≤n≤10 时，<0，且单调递减．因
此数列{an}前20 项中的最大项与最小项分别为第11 项，第10 项．a11＝3，a10＝－1.
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课时精练
1．已知an＝，那么数列{an}是( )
A．递减数列
B．递增数列
C．常数列
D．摆动数列
答案 B
解析 an＝1－，将an看作关于n 的函数，n∈N*，易知数列{an}是递增数列．
2．已知数列{an}的前n 项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，且a1＝2，那么a7等于( )
A．128 B．16 C．32 D．64
答案 D
解析 因为数列{an}的前n 项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，a1＝2，
所以Sn＋1＝2Sn，即＝2，所以数列{Sn}是以2 为公比，以2 为首项的等比数列，所以Sn＝
2×2n－1＝2n.所以当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.所以a7＝26＝64.
3．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意，得－＝n，则当n≥2 时，－＝n－1，－＝n－2，…，－＝1，所以－＝1＋2
＋…＋(n－1)＝(n≥2)，所以＝＋1＝，即an＝(n≥2)，当n＝1 时，a1＝1 适合此式，所以an
＝.
4．设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n 项之积为Pn，则P2 024等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 C
解析 a1＝2，an＋1＝1－，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，…，所以数列{an}是周期为3 的
周期数列．且P3＝－1,2 024＝3×674＋2，所以P2 024＝(－1)674×a1a2＝1.
5．大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中
国传统文化中的太极衍生原理．其前11 项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60，则大衍数列
的第41 项为( )
A．760 B．800 C．840 D．924
答案 C
解析 由题意得，大衍数列的奇数项依次为，，，…，易知大衍数列的第41 项为＝840.
6．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·n，则下列说法正确的是( )
A．数列{an}的最小项是a1
B．数列{an}的最大项是a4
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C．数列{an}的最大项是a5
D．当n≥5 时，数列{an}递减
答案 BCD
解析 假设第n 项为{an}的最大项，则即所以又n∈N*，所以n＝4 或n＝5，故数列{an}中a4
与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5 时，数列{an}递减．
7．Sn为数列{an}的前n 项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________.
答案 an＝
解析 由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1 时，a1＝S1＝3；当n≥2 时，an＝Sn－
Sn－1＝2n，显然当n＝1 时，不满足上式．所以数列{an}的通项公式为an＝
8．若数列{an}的前n 项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列
{nan}中数值最小的项是第________项．
答案 2n－11 3
解析 ∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；
当n＝1 时，a1＝S1＝－9 也适合上式．∴an＝2n－11(n∈N*)．
记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，
∴当n＝3 时，f(n)取最小值．∴数列{nan}中数值最小的项是第3 项．
9．在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1 这两个条件中任选一个补充在下面的横线
上，并解答．
若数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝1，且数列{an}满足________．
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解 (1)选择①：a2－2a1＝1×2，则a2＝4.
2a3－3a2＝2×3，则a3＝9.
选择②：a2＝S2－S1＝2×22－1－1＝6.
a3＝S3－S2＝2×32－1－2×22＋1＝10.
(2)选择①：由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，
得－＝1，
所以＝－＋－＋…＋－a1＋a1＝n－1＋1＝n，
所以an＝n2.
选择②：当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；
当n＝1 时，a1＝S1＝1，不符合上式，
故{an}的通项公式为an＝
10．(2023·长沙模拟)已知数列{cn}满足c1＝，＝，n∈N*，Sn为该数列的前n 项和．
(1)求证：数列为递增数列；
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(2)求证：Sn<1.
证明 (1)因为c1＝，＝，
所以cn≠1，cn≠0，
两边分别取倒数可得1－＝－，
整理可得－＝2>0，
所以数列为递增数列．
(2)由＝可得＝，即＝cn＋，
所以cn＝－，
所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn
＝－＋－＋…＋－
＝－＝＋2，
又≥＝2，所以cn＋1∈，
所以<－1，即Sn<1.
11．在数列{an}中，a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100等于( )
A. B．－ C．100 D．－100
答案 D
解析 因为a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，所以nan＋1＋(n＋1)an＝0，所以＝－，所
以＝－，＝－，…，＝－.以上各式左右分别相乘，得＝－100，因为a1＝1，所以a100＝－
100.
12．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗
环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列
{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．则( )
A．b1<b5
B．b3<b8
C．b6<b2
D．b4<b7
答案 D
解析 方法一 当n 取奇数时，
由已知b1＝1＋，b3＝1＋，
因为>，所以b1>b3，
同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A 不正确；
当n 取偶数时，由已知b2＝1＋，
b4＝1＋，
因为>，所以b2<b4，
同理可得b4<b6，b6<b8，…，于是可得b2<b4<b6<b8<…，故C 不正确；
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因为>，所以b1>b2，
同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，
又b3>b7，所以b3>b8，故B 不正确；故选D.
方法二 (特殊值法)
不妨取αk＝1(k＝1,2，…)，则b1＝1＋＝2，
b2＝1＋＝1＋＝1＋＝，
b3＝1＋＝1＋＝1＋＝，
所以b4＝1＋＝1＋＝，
b5＝1＋＝1＋＝，
b6＝1＋＝1＋＝，
b7＝1＋＝1＋＝，
b8＝1＋＝1＋＝.
逐一判断选项可知选D.
13．已知数列{an}中，前n 项和为Sn，且Sn＝an，则的最大值为________．
答案 3
解析 ∵Sn＝an，∴当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，可化为＝＝1＋，由函数y＝在区间
(1，＋∞)上单调递减，可得当n＝2 时，取得最大值2.∴的最大值为3.
14．已知[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{an}中，an＝[lg
n]，记Sn为数列{an}的前n 项和，则a2 024＝________；S2 024＝________.
答案 3 4 965
解析 ∵an＝[lg n]，
∴当1≤n≤9 时，an＝[lg n]＝0；
当10≤n≤99 时，an＝[lg n]＝1；
当100≤n≤999 时，an＝[lg n]＝2；
当1 000≤n≤9 999 时，an＝[lg n]＝3.
∴a2 024＝[lg 2 024]＝3，S2 024＝9×0＋90×1＋900×2＋1 025×3＝4 965.
15．(2023·郑州模拟)已知数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n －1＋2n(n∈N*)，a2n ＋1＝a2n＋(－
1)n(n∈N*)，则数列{an}第2 024 项为( )
A．21 012－2
B．21 013－3
C．21 011－2
D．21 011－3
答案 B
解析 由a2n＋1＝a2n＋(－1)n得a2n－1＝a2n－2＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，又由a2n＝a2n－1＋2n得a2n
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＝a2n－2＋2n＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，
所以a4＝a2＋22＋(－1)，a6＝a4＋23＋(－1)2，a8＝a6＋24＋(－1)3，…，a2 024＝a2 022＋21 012＋
(－1)1 011，将上式相加得a2 024＝a2＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)1 011＋22＋23＋…＋21 012＝2＋－1
＝21 013－3.
16．在数列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，记bn＝，Tn为数列
{bn}的前n 项和，则T2 025＝________.
答案
解析 由n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，
得n2an－(Sn－Sn－1)＝n2an－1，
所以(n2－1)an＝n2an－1，
所以＝×.
令cn＝，则cn＝cn－1×，
所以＝.
由累乘法得＝，
又c1＝a1＝1，
所以cn＝，所以＝，
所以an＝，
所以bn＝＝＝2×，
所以T2 025＝2×＝2×＝.
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