2024 年高考数学全真模拟卷03（新高考专用）
（考试时间：120 分钟；满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．（5 分）（2023·全国·模拟预测）已知全集U =R，集合A =¿，B = {0,1,2,3}，则(∁U A)∩B =（ ）
A．[-1,2]
B．{-1,0,1,2}
C．{0,1,2}
D．{-1,0,1,2,3}
2．（5 分）（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）若复数z =(2-ai)(i+1)的共轭复数z在复平面内
对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(2,+ ∞)
B．(-∞,-2)
C．(-2,2)
D．(0,2)
3．（5 分）（2023·陕西榆林·校考模拟预测）在△ABC中，点D满足⃗BD =2⃗DC，点E满足⃗
CE = 1
2⃗CD + 1
2⃗CA，若⃗AC = x⃗BE + y⃗BC，则x + y =（ ）
A．- 1
5
B．- 1
4
C．- 1
3
D．- 1
2
4．（5 分）（2023·四川南充·统考模拟预测）下列函数是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是（ ）
A．f (x)=- x
2
B．f (x)= x
1
2
C．f (x)=|x|
D．f (x)=2
x
5．（5 分）（2023·全国·模拟预测）某校有甲、乙等5 名同学到4 个社区参加志愿服务活动，要求每名同
学只能去1 个社区，每个社区至少安排1 名同学，则甲、乙2 人被分配到同1 个社区的概率为（ ）
A．3
10
B．1
10
C．2
5
D．3
5
6．（5 分）（2023·广东·校联考二模）已知F是双曲线E: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左焦点，O为坐标原点，
过点F且斜率为√7
3
的直线与E的右支交于点M，⃗MN =3⃗NF，MF ⊥ON，则E的离心率为（ ）
A．3
B．2
C．√3
D．√2
7．（5 分）（2023·广西·模拟预测）已知sin(a+π
3 )= 3
5，α ∈(0,π
2 )，则sin(α +π
12)=（ ）
A．- √2
10
B．- 7√2
10
C．√2
10
D．7√2
10
8．（5 分）（2023·全国·模拟预测）已知a=e
2
ln3
，b=e
e-1，c =e
3
2ln2
，则有（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<a<c
D．b<c<a
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.
9．（5 分）（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）甲、乙、丙、丁四名教师分配到A，B，C三
个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人.设事件M：“甲分配到A学校”；事件N：
“乙分配到B学校”，则（ ）
A．事件M与N互斥
B．P(M )= 1
3
C．事件M与N相互独立
D．P¿
10．（5 分）（2023·云南·怒江校联考一模）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底
面边长为2，则下列结论正确的是（ ）
A．正四棱锥的体积为16
3
B．正四棱锥的侧面积为16
C．外接球的表面积为81π
4
D．外接球的体积为243π
16
11．（5 分）（2023·全国·模拟预测）抛物线C的焦点F (0,-1)，点M在直线y =1上，直线MA , MB为抛
物线C的切线，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则下列选项正确的是（ ）
A．抛物线C : x
2=-2 y
B．直线AB恒过定点
C．x1⋅x2=- 4
D．当⃗AB =3⃗FB时，直线AB的斜率为± √2
4
12．（5 分）（2023·安徽·校联考模拟预测）若函数f ( x)=ae
x+be
- x+cx，既有极大值点又有极小值点，
则（ ）
A．ac<0
B．bc<0
C．a(b+c)<0
D．c
2+ 4 ab>0
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）（2023·上海闵行·统考一模）已知(x -1)
4=a0+a1 x +a2 x
2+a3 x
3+a4 x
4，则a2= ．
14．（5 分）（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）若直线y =kx是曲线y =a ln x的切线，也是曲线
y =e
x的切线，则a= ．
15．（5 分）（2023·全国·模拟预测）设数列{an}的前n 项和为Sn
，且Sn+1+ Sn=n
2．若an+1>an
对n∈N
*恒
成立，则a1的取值范围为 ．
16．（5 分）（2023·全国·模拟预测）设点P 是圆O: x
2+ y
2=1上的动点，过点P 作圆
C : x
2+ y
2-6 x -8 y +21=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB 面积的最大值为 .
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）（2023·河南开封·统考一模）记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知A =π
3
，
且
b+c
sin B+sinC =2.
(1)求a；
(2)若△ABC的面积为√3
2
，求△ABC的周长.
18．（12 分）（2023·四川南充·统考一模）已知数列{an}是首项为2 的等比数列,且a4
是6a2
和a3
的等差中
项．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的公比q>0,设数列{bn}满足bn=
1
log2an⋅log2an+1
,求{bn}的前2023 项和T 2023．
19．（12 分）（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）某地区教育局数学教研室为了了解本区高三学生一周用
于数学学习时间的分布情况，做了全区8000 名高三学生的问卷调查，现抽取其中部分问卷进行分析（问卷
中满时长为12 小时），将调查所得学习时间分成(0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]6 组，并绘
制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ,σ
2)，则P(μ-σ <ξ ≤μ+σ )≈0.6827，
P(μ-2σ <ξ ≤μ+2σ )≈0.9545，P(μ-3σ <ξ ≤μ+3σ )≈0.9973．
(1)求a 的值；
(2)以样本估计总体，该地区高三学生数学学习时间ξ近似服从正态分布N (6.52,1.48
2)，试估计该地区高
三学生数学学习时间在(8,9.48]内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在[6,8)，[8,10)内的学生随机抽取8 人，并从这8 人中再随机
抽取3 人作进一步分析，设3 人中学习时间在[8,10)内的人数为变量X，求X 的期望．
20．（12 分）（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，在几何体ABCDE中，CA =CB ,CD⊥平面
ABC ,BE∥CD ,BE =2CD.
(1)求证：平面ADE⊥平面ABE；
(2)若CA = AB ,BE =3, AB = 4，在棱AC上是否存在一点F，使得EF与平面ACD所成角的正弦值为2√7
7
？
若存在，请求出AF
AC
的值；若不存在，请说明理由.
21．（12 分）（2023·全国·模拟预测）如图，已知F1, F2
分别为椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦
点，P 为椭圆C 上一点，若|⃗P F1+⃗P F2|=|⃗P F1-⃗P F2|= 4，S△P F1 F2=2.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若点P 坐标为(√3,1)，设不过点P 的直线l与椭圆C 交于A，B 两点，A 关于原点的对称点为A
'，记直线
l，PB，P A
'的斜率分别为k，k1，k2，若k1⋅k2= 1
3
，求证：直线l的斜率k 为定值.
22．（12 分）（2023·广东东莞·东莞市东华高级中学校考一模）设a，b为函数f (x)= x⋅e
x-m（m<0）的
两个零点．
(1)若当x<0时，不等式x⋅e
x> 1
x
恒成立，求实数m的取值范围；
(2)证明：e
a+e
b<1．
