1
五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题09 三角函数
三角函数作为高考必考题，高考题型一般作为小题出现，偶尔也会出现解答题。小题部分一般是函数解析
式应用，求参数取值范围。
考点01 三角函数概念
考点02 三角函数恒等变形
考点03 三角函数图像及性质
考点04 三角函数综合应用
考点01 三角函数概念
1．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第2 题)若α 为第四象限角，则
( )
A．cos2α>0
B．cos2α<0
C．sin2α>0
D．sin2α<0
【答案】D
解析：方法一：由α 为第四象限角，可得
，
所以
此时
的终边落在第三、四象限及
轴的非正半轴上，所以
故选：D．
方法二：当
时，
，选项B 错误；
当
时，
，选项A 错误；
由
在第四象限可得：
，则
，选项C 错误，选项D 正
确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的
转化能力和计算求解能力．
2．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第9 题)已知
，且
，则
( )
2
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，得
，
即
，解得
或
(舍去)，
又
．
故选：A．
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求
解能力，属于基础题．
3．(2021 年高考全国甲卷理科·第9 题)若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：
，
，
，
，解得
，
，
．
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出
．
4．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第9 题)已知2tanθ–tan(θ+
)=7，则tanθ=
( )
A．–2
B．–1
C．1
D．2
【答案】D
解析：
，
，
令
，则
，整理得
，解得
，即
．
故选：D．
3
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题
二 填空
1．(2020 年浙江省高考数学试卷·第14 题)已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为
_______．
【答案】1
解析：设圆锥底面半径为
，母线长为，则
，解得
．
2．(2021 高考北京·第14 题)若点
关于
轴对称点为
，写出
的一
个取值为___．
【答案】
(满足
即可)
解析：
与
关于
轴对称，即
关于
轴对称，
，则
，当
时，可取
的一个值为
．
故答案为：
(满足
即可)．
3．(2023 年北京卷·第13 题)已知命题
若
为第一象限角，且
，则
．能说明p
为假命题的一组
的值为
__________，
_________．
【答案】①．
②．
解析：因为
在
上单调递增，若
，则
，
取
，
则
，即
，
令
，则
，
因为
，则
，
即
，则
．
不妨取
，即
满足题意．
4
故答案为：
．
4．(2020 年浙江省高考数学试卷·第13 题)已知
，则
________；
______．
【答案】(1)．
(2)．
解析：
，
，
5．(2014 高考数学陕西理科·第13 题)设
，向量
，若
∥
，则
_______．
【答案】
解析:
，
,因为
，所以
，
，即
．
考点02 三角函数恒等变形
1．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第8 题)已知
，则
( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：因为
，而
，因此
，
则
，
所以
．
故选：B
2．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第7 题)已知
锐角，
，则
( )．
A．
B．
C．
D．
5
【答案】D
解析:因为
，而
为锐角，
解得：
．
故选：D．
3．(2021 年高考浙江卷·第8 题)已知
是互不相同
锐角，则在
三个值
中，大于
的个数的最大值是
( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
解析:法1：由基本不等式有
，
同理
，
，
故
，故
不可能均大于
．
取
，
，
，则
，
故三式中大于
的个数的最大值为2，故选C．
法2：不妨设
，则
，
由排列不等式可得：
，
而
，
故
不可能均大于
．
取
，
，
，则
，
故三式中大于
的个数的最大值为2，故选C．
4．(2021 年新高考Ⅰ卷·第6 题)若
，则
( )
A
B．
C．
D．
6
【答案】C
解析:将式子进行齐次化处理得：
,故选C．
5．(2022 新高考全国II 卷·第6 题)若
，则
( )
A．
B．
C
D．
【答案】C
解析：由已知得：
,
即：
，
即：
所以
, 故选：C
6．(2019·上海·第16 题)已知
.
①存在
在第一象限，角
在第三象限；
②存在
在第二象限，角
在第四象限；
A. ①②均正确；B．①②均错误；C．①对，②错；D．①错，②对
【答案】D
【解析】(推荐)取特殊值检验法：例如：令
和
，求
看是否存在.(考试中，若
有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选D.
(一般方法)
设
则
；
以
为主元则可写成：
其判别式
；
设函数
，并设
，则
7
即
单调递减；
而
，故
的零点在
上，设为
；
则当
时，
，当
时，
；
故存在
使得
而对方程
，根据韦达定理，
存在
时，而
使得对应的
存在，而此时
，故此时
必为负数，即
在Ⅱ
或Ⅳ象限；
也同样存在
，使得对应的
存在，此时
，故此时必存在一个
值为负数，另一个
为正数，即
在Ⅱ、Ⅳ象限或Ⅰ、Ⅲ象限均可，故选D．
【点评】本题主要考三角恒等变换、不等式综合.
7．(2019·全国Ⅱ·理·第10 题)已知
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，∴
.
,∴
，
，
∴
，又
2
2
sin
cos
1
，∴
，
，又sin
0
，∴
，故选B．
【点评】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．本题为三
角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是
关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切
记不能凭感觉．
二 填空
1．(2022 年浙江省高考数学试题·第13 题)若
，则
__________，
_________．
8
【答案】 ①．
②．
解析:
，∴
，即
，
即
，令
，
，
则
，∴
，即
，
∴
，
则
．
故答案为：
；
．
2．(2020 江苏高考·第8 题)已知
，则
的值是____．
【答案】
【解析】
,故答案为：
3．(2019·江苏·第13 题)已知
，则
的值是 .
【答案】
【解析】法1：
，解得，
或
.
所以
＝
＝
＝
.
9
法2：令
，则
，即
，
解得
，所以
.
考点03 三角函数图像及性质
1．(2023 年全国乙卷理科·第6 题)已知函数
在区间
单调递增，直线
和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：因为
在区间
单调递增，
所以
，且
，则
，
，
当
时，
取得最小值，则
，
，
则
，
，不妨取
，则
，
则
，
故选：D．
2．(2023 年全国甲卷理科·第10 题)函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单
位长度得到，则
的图象与直线
的交点个数为
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
10
解析：因为
向左平移
个单位所得函数为
，所以
，
而
显然过
与
两点，
作出
与
的部分大致图像如下，
考虑
，即
处
与
的大小关系，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
所以由图可知，
与
的交点个数为
．
故选：C．
3．(2021 年新高考Ⅰ卷·第4 题)下列区间中，函数
单调递增的区间是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析:因为函数
的单调递增区间为
，
对于函数
，由
，
11
解得
，
取
，可得函数
的一个单调递增区间为
，
则
，
，A 选项满足条件，B 不满足条件；
取
，可得函数
的一个单调递增区间为
，
且
，
，CD 选项均不满足条件,故选A．
4．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第9 题)已知曲线
1 :
cos
C
y
x
,
2
2π
:
sin 2
3
C
y
x
,则下面结论正
确的是
( )
A．把
1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
π
6 个单位长度,得到
曲线
2
C
B．把
1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
π
12 个单位长度,得到
曲线
2
C
C．把
1
C 上各点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
π
6 个单位长度,得到
曲线
2
C
D．把
1
C 上各点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
π
12 个单位长度,得
到曲线
2
C
【答案】 D
【解析】因为
1
2
,
C C 函数名不同, 所以先将
2
C 利用诱导公式转化成与
1
C 相同的函数名, 则
2
2π
2π
π
π
:
sin 2
cos 2
cos 2
3
3
2
6
C
y
x
x
x
,则由
1
C 上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍变为
sin 2
y
x
,再将曲线向左平移
π
12 个单位得到
2
C ,故选D．
5．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第7 题)设函数
在
的图像大致如下图，则f(x)的
最小正周期为
( )
12
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点
，
将它代入函数
可得：
又
是函数
图象与
轴负半轴的第一个交点，
所以
，解得：
所以函数
的最小正周期为
故选：C
6．(2022 高考北京卷·第5 题)已知函数
，则
( )
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递增
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
【答案】C 解析:因为
．
对于A 选项，当
时，
，则
在
上单调递增，A 错；
对于B 选项，当
时，
，则
在
上不单调，B 错；
对于C 选项，当
时，
，则
在
上单调递减，C 对；
13
对于D 选项，当
时，
，则
在
上不单调，D 错．故选,C．
7．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第12 题)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
,因为当
所以
,即
,所以
；设
，
，所以
在
单调递增，则
,所以
，
所以
,所以
，故选：A
8．(2022 年浙江省高考数学试题·第6 题)为了得到函数
的图象，只要把函数
图象上所有的点
( )
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】D 解析:因为
，所以把函数
图象上的
所有点向右平移
个单位长度即可得到函数
的图象．故选,D．
9．(2022 新高考全国I 卷·第6 题)记函数
的最小正周期为T．若
，且
的图象关于点
中心对称，则
( )
A．1
B．
C．
D．3
【答案】A 解析: 由函数的最小正周期T 满足
，得
，解得
，
14
又因为函数图象关于点
对称，所以
，且
，
所以
，所以
，
，
所以
． 故选：A
10．(2021 高考北京·第7 题)函数
是
( )
A．奇函数，且最大值为2
B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为
D．偶函数，且最大值为
【答案】D
解析：由题意，
，所以该函数为偶函数，
又
，
所以当
时，
取最大值
． 故选：D．
11．(2020 天津高考·第8 题)已知函数
．给出下列结论：
①
的最小正周期为
；
②
是
的最大值；
③把函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度，可得到函数
的图象．
其中所有正确结论的序号是
( )
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】B
【解析】因为
，所以周期
，故①正确；
，故②不正确；
将函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度，得到
的图象，
故③正确．故选：B．
12．(2019·天津·理·第7 题)已知函数
是奇函数，将
的
15
图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为
．若
的最
小正周期为
，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．2
【答案】答案：C
解析：
是奇函数，
，又因为
，
，因为
的最小正周期为
，且
，所以
，
，
，可得
，
，
．
13．(2019·全国Ⅱ·理·第9 题)下列函数中，以
为周期且在区间
单调递增的是( )
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
sin |
|
y
x
图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为
cos
cos
y
x
x
，周期为
2
，排除C，作出
cos2
y
x
图象，由图象知，其周期为2
，在区间
单调递增，A 正确；
作出
sin 2
y
x
的图象，由图象知，其周期为2
，在区间
单调递减，排除B，故选A.
16
【点评】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，
即可做出选择．利用二级结论：①函数
( )
y
f x
的周期是函数
( )
y
f x
周期的一半；②
sin
y
x
不是周期函数；③函数
，再利用降幂公式及三角函数公式法求三角
函数的周期，例如，
，所以周期
.
14．(2019·全国Ⅰ·理·第11 题)关于函数
有下述四个结论：
①
是偶函数②
在区间
单调递增
③
在
有4 个零点④
的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
( )
A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
【答案】答案：C
解析：作出函数
的图象如图所示，
由图可知，
是偶函数，①正确，
在区间
单调递减，②错误，
在
有3 个零点，③错误；
的最大值为2，④正确，故选C．
3π
5π
2
2π
3π
2
π
π
2
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
O
O
O
sin
y
x
sin
y
x
sinsin
y x x
二 填空
1．(2021 年高考全国甲卷理科·第16 题)已知函数
的部分图像如图所示，则满足条
件
的最小正整数x 为________．
17
【答案】2
解析：由图可知
，即
，所以
；
由五点法可得
，即
；
所以
．
因为
，
；
所以由
可得
或
；
因为
，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足
，即
，
解得
，令
，可得
，
可得
的最小正整数为2．
18
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足
，又
，符合题意，可
得
的最小正整数为2．
故答案为：2．
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解
，根据特殊点求
解
．
2．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第16 题)关于函数f(x)=
有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y 轴对称．
②f(x)的图像关于原点对称．
③f(x)的图像关于直线x=
对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
解析：对于命题①，
，
，则
，
所以，函数
的图象不关于
轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以，函数
的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，
，
19
，则
，
所以，函数
的图象关于直线
对称，命题③正确；
对于命题④，当
时，
，则
，
命题④错误．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中
等题．
3．(2020 江苏高考·第10 题)将函数
的图象向右平移
个单位长度，则平移后的图象中与
轴最近的对称轴的方程是____．
【答案】
【解析】
,
,
当
时
,故答案为：
4．(2020 北京高考·第14 题)若函数
的最大值为2，则常数
的一个取值为
________．
【答案】
(
均可)
【解析】因为
，
所以
，解得
，故可取
．故答案为：
(
均可)．
5．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第15 题)记函数
的最小正周
期为T，若
，
为
的零点，则
的最小值为____________．
【答案】3
解析：因为
，(
，
)
所以最小正周期
，因为
，
20
又
，所以
，即
，
又
为
的零点，所以
，解得
，
因为
，所以当
时
；
故答案为：
6．(2019·北京·理·第9 题)函数f(x)=sin22x 的最小正周期是__________．
【答案】
．
【解析】函数
，周期为
．
考点04 三角函数综合应用
1．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第11 题)设函数
在区间
恰有三个极值点、两个
零点，则
的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意可得
，因为
，所以
，
要使函数在区间
恰有三个极值点、两个零点，又
，
图象如下所示：
则
，解得
，即
．
故选：C．
21
2．(2019·全国Ⅲ·理·第12 题)设函数
(
＞0)，已知
在
有且仅有5 个零点，
下述四个结论：
①
在
有且仅有3 个极大值点②
在
有且仅有2 个极小值点
③
在
单调递增④
的取值范围是
其中所有正确结论的编号是
( )
A．①④
B．②③
C．①②③
D．①③④
【答案】D
【解析】
在
有且仅有3 个极大值点，分别对应
，故①正确．
在
有2 个或3 个极小值点，分别对应
和
，
故②不正确．
因为当
时，
，由
在
有且仅有5 个零点．则
，解得
，故④正确．
由
，得
，
，所以
在
单调递增，
故③正确．
综上所述，本题选D．
【点评】本题为三角函数与零点结合问题，难度中等，可数形结合，分析得出答案，考查数形结合思
想．在本题中，极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错．
3．(2020 北京高考·第10 题)2020 年3 月14 日是全球首个国际圆周率日(
Day)．历史上，求圆周率
的方
法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数
充分大时，
计算单位圆的内接正
边形的周长和外切正
边形(各边均与圆相切的正
边形)的周长，将它们的
算术平均数作为
的近似值．按照阿尔·卡西的方法，
的近似值的表达式是
( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】单位圆内接正
边形的每条边所对应的圆周角为
，每条边长为
，
22
所以，单位圆的内接正
边形的周长为
，
单位圆的外切正
边形的每条边长为
，其周长为
，
，则
．
故选：A．
二 填空
1．(2022 年浙江省高考数学试题·第17 题)设点P 在单位圆的内接正八边形
的边
上，则
的取值范围是_______．
【答案】
解析:以圆心为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则
,
，设
,于是
，
因为
，所以
，故
的取值范围是
．
故答案为：
．
2．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第15 题)已知函数
在区间
有且仅有3 个零
点，则
的取值范围是________．
【答案】
23
解析：因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
故答案为：
．
3．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第16 题)已知函数
，如图A，B 是直线
与曲线
的两个交点，若
，则
______．
【答案】
解析：设
，由
可得
，
由
可知，
或
，
，由图可知，
，即
，
．
因为
，所以
，即
，
．
所以
，
所以
或
，
又因为
，所以
，
．
24
故答案为：
．
三 解答题
1 (2019·浙江·第18 题)设函数
，
．
(Ⅰ)已知
，函数
是偶函数，求
的值；
(Ⅱ)求函数
的值域．
【答案】【意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14
分。
【解析】(Ⅰ) 解法一：因为
是偶函数，所以，对任意实数
都有
，
即
，故
，所以
，又
，
因此，
或
．
解法二：根据诱导公式，
，
，因为
是偶函数，
，
所以
(Ⅱ)
．因此，函数的值域是
．
．
2．(2021 年高考浙江卷·第18 题)设函数
．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)求函数
在
上的最大值．
【答案】(1)
；(2)
．
解析:(1)由辅助角公式得
，
25
则
，
所以该函数的最小正周期
;
(2)由题意，
，
由
可得
，所以当
即
时，函数取最大值
．
3 (2023 年北京卷·第17 题)设函数
．
(1)若
，求
的值．
(2)已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件
中选择一个作为已知，使函数
存在，求
的值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
区间
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1)
．
(2)条件①不能使函数
存在；条件②或条件③可解得
，
．
解析：(1)因为
26
所以
，
因为
，所以
．
(2)因为
，
所以
，所以
的最大值为，最小值为
．
若选条件①：因为
的最大值为，最小值为
，所以
无解，故条件
①不能使函数
存在；
若选条件②：因为
在
上单调递增，且
，
所以
,所以
,
,
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
所以
，因为
，所以
．
所以
，
；
若选条件③：因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得最小值
，即
．
以下与条件②相同．
27
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