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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题08 基本初等函数第四缉
1．【2017 年福建预赛】函数f (x)= ❑√2 x -7+ ❑√12- x + ❑√44 - x的最大值为
.
【答案】11
【解析】由柯西不等式可知：
(❑√2 x -7+ ❑√12- x + ❑√44 - x)
2=(❑√3⋅❑√
2 x -7
3
+ ❑√2⋅❑√
12- x
2
+ ❑√6⋅❑√
44 - x
6
)
2
⩽(3+2+6)( 2 x -7
3
+ 12- x
2
+ 44 -
6
当且仅当
❑√3
❑√
2 x -7
3
=
❑√2
❑√
12- x
2
=
❑√6
❑√
44 - x
6
,即
9
2 x -7 =
4
12- x =
36
44 - x , x =8时等号成立.
所以f (x)的最大值为11.
2．【2017 年江西预赛】函数y =- 4 x +3
❑√4 x
2+1
的最小值是
.
【答案】❑√5
【解析】提示：首先y >- 4 x +3
❑√4 x
2=- 4 x +|6 x|≥0又由( y + 4 x)
2=9(4 x
2+1),即
20 x
2-8 xy +(9- y
2)=0,
根据判别式Δ=64 y
2-80(9- y
2)≥0,即y
2≥5,
因y >0,则y ≥❑√5,此值在x = 1
❑√5
时取到.
3．【2017 年河南预赛】方程[
x
2]+[
x
3]+[
x
7]= x的最小的解为
.(其中,[x]表示不超过x的最大整
数).
【答案】-85
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【解析】提示:设x = 42 p+q( p、q为整数,0≤q≤41).
将x代入原方程得p=[
q
2]+[
q
3]+[
q
7]-q.
对于每个不同的q确定了唯一的有序数对( p,q),从而x也互不相同.
又p=[
q
2]+[
q
3]+[
q
7]-q≥q -1
2
+ q -2
3
+ q -6
7
-q =- q+85
42
≥-3.
当且仅当q = 41时,p=-3.此时x =-85.
故最小的解为-85.
4．【2017 年湖北预赛】设函数f (x)= x
3+a x
2+bx +c (x∈R),其中a,b,c为互不相同的非零整数,且
f (a)=a
3,f (b)=b
3,则a+b+c =
.
【答案】18
【解析】提示：设g(x)= f (x)- x
3=a x
2+bx +c .由题意得g(a)= g(b)=0,
故g(x)=a(x -a)(x -b),所以b=-a(a+b),c =a
2b.
所以b=- a
2
a+1 =1-a-
1
a+1 .因为b为整数,所以a+1=±1.
又a≠0,则a=-2,b= 4 ,c =16,
故a+b+c =18.
5．【2017 年湖北预赛】设函数f (x)=(
1
2)
x
+(
2
3)
x
+(
5
6)
x
, x∈[0,+ ∞),则该函数图象上整点的个数为
.
【答案】453
【解析】提示:易知函数f (x)在[0,+ ∞)上单调递减,且f (0)=3,f (1)=2,f (3)=1.
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当x>3时,有0<f (x)<f (3)=1,
所以,函数y = f (x)( x∈[0,+∞)的图象上整点的个数为3.
6．【2017 年四川预赛】已知函数f (x)=
25
x
25
x+5
,则∑
k =1
2016
f(
k
2017)=
.
【答案】1008
【解析】提示:因为0< x1, x2<1, x1+ x2=1时,都有f (x1)+ f (x2)=1,所以原式=1008.
7．【2017 年陕西预赛】设函数f (x)=
ax
2 x +3
,若f [f (x)]= x恒成立,则实数a的值为
.
【答案】-3
【解析】提示：依题意,
a⋅
ax
2 x +3
2⋅
ax
2 x +3 +3
= x,即(2a+6) x
2+9 x =a
2 x恒成立,所以{
2a+6=0,
9=a
2,
解得a=-3.
8．【2017 年陕西预赛】设方程xy =6(x + y)的全部正整数解为(x1, y1),(x2, y2),⋯,(xn, yn),则
∑
k =1
n
(xk + yk)=
.
【答案】290
【解析】提示：原方程可化为(x -6)( y -6)=6
2=2
2⋅3
2,
为2
2⋅3
2的正约数有(1+2)(1+2)=9个,且∑
k =1
9
[(xk -6)+( yk -6)]=2∑
k =1
9
(xk -6)=2× 2
3-1
2-1 × 3
3-1
3-1 =182,
∑
k =1
9
(xk + yk)=182+2×9×6=290.
9．【2017 年甘肃预赛】已知函数f (x +1)为奇函数,函数f (x -1)为偶函数,且f (0)=2,则f (4)=
.
【答案】-2
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【解析】提示:因为f (x +1)为奇函数,所以f (x +1)=- f (- x +1),令x =-3得f (-2)=- f (4).
又因为f (x -1)为偶函数,所以f (x -1)= f (- x -1),
令x =1得f (0)= f (-2).
所以f (4)=- f (-2)=- f (0)=-2.
10．【2017 年贵州预赛】若函数f (x)= x
3-6 x
2+9 x在(3-a
2,a)内有最大值,则实数a的取值范围是
.
【答案】(❑√2,4 ]
【解析】提示：因为函数f (x)= x
3-6 x
2+9 x在x =1处取得极大值4,
又f (x)= 4⇒x =1或4,
所以{
3-a
2<1
1<a≤4 ⇒❑√2<a≤4.
11．【2017 年贵州预赛】已知函数f (x)满足:f (2- x)=2- f (x)(x∈R),函数y =
x
x -1
与y = f (x)的图象的
交点为(xi, yi)(i=1,2,⋯,n),则∑
i=1
n
(xi+ yi)=
.
【答案】2n
【解析】提示：因为f (2- x)=2- f (x)(x∈R),所以f (x)的图象关于点(1,1)对称,
又函数y =
x
x -1
的图象也关于点(1,1)对称,故函数y =
x
x -1
与y = f (x)的图象的交点(xi, yi)(i=1,2,⋯,n)
也关于点(1,1)对称,
所以∑
i=1
n
(xi+ yi)=∑
i=1
n
xi+∑
i=1
n
yi= n
2 ×2+ n
2 ×2=2n.
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12．【2017 年广东预赛】设f (x)是定义在R上的奇函数,f (1)=2,当x>0时,f (x)是增函数,且对任意的
x , y ∈R,都有f (x + y)= f (x)+ f ( y),则函数f (x)在[-3,-2]上的最大值是
.
【答案】- 4
【解析】提示：因为f (x)是奇函数,且在(0,+ ∞)上是增函数,
所以f (x)在(-∞,0)上也是增函数,则f (-3)⩽f ( x)⩽f (-2)，
又f (2)= f (1)+ f (1)= 4,所以f (-2)=- f (2)=- 4，
故函数f ( x)在[-3,-2]上的最大值为- 4.
13．【2017 年浙江预赛】已知log❑√7(5a-3)=log❑√a
2+15,则实数a=
.
【答案】2
【解析】提示：将原式化简为log7(5a-3)=loga
2+15，由于f (x)=log7(5 x -3)为x> 3
5
上的增函数,
g(x)=log5(x
2+1)为增函数,且f (2)= g(2)=1.因此可得实数a=2.
14．【2017 年浙江预赛】设S是(0, 5
8)
中所有有理数的集合,对简分数q
p ∈S ,( p,q)=1,定义函数
f(
q
p)= q+1
p
,则f (x)= 2
3
在S中根的个数为
.
【答案】5
【解析】
提示:由于f (x)= 2
3
,令q =2m-1, p=3m,m∈Z则有0< 2m-1
3m
< 5
8 , 1
2 <m<8.由此检验可得
方程的根的个数为5.
15．【2017 年浙江预赛】已知f (x)={
-2 x , x<0,
x
2-1, x ≥0,
方程f (x)+2
❑√1- x
2+|f (x)-2
❑√1- x
2|-2ax - 4 =0有
三个实根x1< x2< x3
.若x3- x2=2(x2- x1),则实数a=
.
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【答案】
❑√17-3
2
【解析】提示:设g(x)=2
❑√1- x
2,定义域为-1≤x ≤1,max(f (x), g(x))= 1
2 (f (x)+ g(x)+|f (x)- g(x)|).
方程可变形为max(f (x), g(x))=ax +2.
由-2 x ≥2
❑√1- x
2得x ≤-
❑√2
2
,
从而有max(f (x), g(x))={
-2 x , x∈[-1,-
❑√2
2 ]
2
❑√1- x
2, x∈[-
❑√2
2 ,1]
，
于是-2 x =ax +2⇒x =-
2
a+2(-1⩽x⩽-
❑√2
2 )⇒0⩽a⩽2❑√2-2，
2
❑√1- x
2=ax +2⇒x =0, x =- 4 a
a
2+ 4
<0.
所以x3=0,
由于x3- x2=2( x2- x1),可得2 x1=3 x2
,
即4
a+2 = 12a
a
2+ 4
,有a=
❑√17 -3
2
.
16 ．【2017
年湖南预赛】已知函数f (x)满足f (m+n)= f (m)f (n),f (1)=3, 则
f
2(1)+ f (2)
f (1)
+ f
2(2)+ f (4)
f (3)
+ f
2(3)+ f (6)
f (5)
+ f
2(4)+ f (8)
f (7)
=
.
【答案】24
【解析】提示：符合f (m+n)= f (m)f (n),f (1)=3的函数原型为指数函数y =3
x, 由此得原式
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= 3
2+3
2
3
+ 3
4+3
4
3
3
+ 3
6+3
6
3
5
+ 3
8+3
8
3
7
=24.
17．【2017 年江苏预赛】若函数f (x)=(x
2-1)(x
2+ax +b)对于任意x∈R都满足f (x)= f (4 - x),则f (x)的
最小值是
.
【答案】-16
【解析】提示:f (1)= f (-1)=0,又f (x)= f (4 - x),所以f (3)= f (5)=0,
所以f (x)=(x
2-1)(x -3)(x -5)=(x
2- 4 x +3)(x
2- 4 x -5).
令t = x
2- 4 x + 4≥0,则f (x)=(t -1)(t -9)=(t -5)
2-16,
所以f (x)的最小值是-16.
18．【2017 年新疆预赛】设函数f (x)=a0+a1 x +a2 x
2+⋯+an x
n,其中a0,a1,a2,⋯,an
为非负整数.已知
f (1)= 4 ,f (5)=152,则f (6)=
.
【答案】254
【解析】提示：因为ai(i=0,1,2,⋯,n)均为非负整数,由f (5)=152得a0≡2( mod 5);
又由f (1)= 4知a0+a1+a2+⋯+an= 4.
因此a0=2,且对1⩽i⩽n,有ai⩽2.
同时,由5
4>152= f (5)知a4=a5=⋯=an=0.
故只需考虑如下方程组：{2+5a1+5
2a2+5
3a3=152
2+a1+a2+a3= 4
.
二式联立得a2+6a3=7.
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因为ai
为非负整数,故a2=a3=1,a1=0,从而f ( x)=2+ x
2+ x
3.
因此,f (6)=2+6
2+6
3=254.
19 ．【2017 年新疆预赛】已知函数f (x)是R上的减函数, 且是奇函数. 若m、n满足不等式组
{
f (m)+ f (n-2)≤0,
f (m-n-1)≤0,
则5m-n的取值范围是
.
【答案】[7,+∞)
【解析】提示：由于f (x)是奇函数且在x =0处有定义,所以有f (0)=0.
依题意,{f (m)+ f (n-2)⩽0
f (m-n-1)⩽0
⇒{f (m)⩽- f (n-2)= f (2-n)
f (m-n-1)⩽0= f (0)
，
由于f(x)是减函数，从而有{ m⩾2-n,
m-n-1⩾0⇒{m+n⩾2
m-n⩾1
.
设5m-n=a(m+n)+b(m-n)=(a+b)m+(a-b)n，
于是{ a+b=5
a-b=-1⇒{a=2
b=3
，
从而5m-n=2(m+n)+3(m-n)⩾2×2+3×1=7，
即5m-n的取值范围是[7 ,+ ∞).
20．【2017 年新疆预赛】已知x1=1, x2=2, x3=3是f (x)= x
4+a x
3+b x
2+cx +d的三个零点.则
f (0)+ f (4)=
.
【答案】24
【解析】提示：由于f (x)的最高次数为4,故f (x)有4 个零点(算重数).
注意到f (x)的四次项系数为1.
于是,可设f (x)为f (x)=(x -1)(x -2)(x -3)(x -k ).
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从而可以得到f (0)+ f (4)=(-1)×(-2)×(-3)×(0-k )+3×2×1×(4 -k )=6 k +6×4 -6k =24.
21．【2017 年新疆预赛】已知a>1,则loga16+2log4a的最小值为
.
【答案】4
【解析】提示：首先,由对数的运算得loga16+2log4a= 4loga2+log2a=
4
log2a +log2a，
由于a>1,故log2a>0.
从而,由均值不等式得
4
log2a +log2a≥2❑√
4
log2a ×log2a= 4,
其中当且仅当a= 4时等号成立.
22．【2017 年新疆预赛】已知A从甲地到乙地用了整数个小时,且A每小时走的公里数与他从甲地到乙地所
用的时间相同.B从甲地到乙地每小时走2 公里,且每走4 公里休息1 小时,共用了11 小时.则甲、乙两地距离
为
公里.
【答案】16
【解析】提示:设A从甲地到乙地用了x小时,B在路上共休息了a小时.
由A 、B所走路程相等列方程：x
2=2(11-a).解得a=11- x
2
2 .
由于B休息了a小时,说明B走了a个4 公里还没走到,且最多再走4 公里后就能走到.
于是,{
4 a< x
2
4 a+ 4⩾x
2⇒44
3 < x
2⩽16.从而x = 4，
即A 用了4 小时，甲、乙两地相距16 公里.
23．【2017 年内蒙古预赛】已知函数f (x)=
❑√x
2+1- 2
5 ax,其中a>0,在区间[0,+∞)上是单调函数,则a的取
值范围为
.
【答案】[
5
2 ,+∞)
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【解析】提示：因为f (x)=
❑√x
2+1- 2
5 ax =(1- 4
25 a
2)x
2+1
❑√x
2+1+ 2
5 ax
(a>0)在[0,+∞)上单调递减,所以
(1- 4
25 a
2)≤0,解得a≥5
2
.
所以a的取值范围为[
5
2 ,+ ∞)
.
24．【2016 年山东预赛】方程x =|x -|x -6||的解为x = ________.
【答案】2，6
【解析】
若x ≥6，则方程的解为x =6.
若x<6，方程变为x =|2 x -6|.
（1）当3 ≤ x < 6 时，方程无解；
（2）当x < 3 时，方程有解x = 2.
故原方程的解为x = 2，6．
25．【2016 年山东预赛】方程(lg x)
lg(lg x)=10000的整数解x = ________.
【答案】10
100
【解析】
令a=lg x.则
a
lga=10
4⇒(lga)(lga)=lg10
4= 4
⇒lga=±2⇒lg(lg x)=±2.
若lg(lg x)=2，则
lg x =10
2⇒x =10
100；
若lg(lg x)=-2，则
lg x =10
-2⇒x =10
1
100（舍去）.
从而，方程的整数解为x =10
100.
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26．【2016 年山东预赛】设α 、β分别满足方程α
2-3α
2+5α - 4 =0，β
3-3 β
2+5 β -2=0.则α + β =
________.
【答案】2
【解析】
整理得
(α -1)
3+2(α -1)-1=0，
(1- β)
3+2(1- β)-1=0，即α -1、1- β为方程x
2+2 x -1=0的解.
而x
3+2 x -1=0只有一个解，则α -1=1- β ⇒α + β =2.
27．【2016 年安徽预赛】若关于x 的方程x
2=ae
x有三个不同实根，则实数a 的取值范围是________.
【答案】(0,4 e
-2)
【解析】
设f (x)= x
2e
- x.则
f ' (x)=(2 x - x
2)e
- x.
当x ≤0时，f (x)单调递减，f (0)=0；
当0≤x ≤2时，f (x)单调递增，f (2)= 4 e
-2；
当x ≥2时，f (x)单调递减；
当x→+ ∞时，f (x)→0.
因此，f (x)=a有三个不同实根当且仅当0<a<4 e
-2.
28．【2016 年新疆预赛】若函数f (x)是周期为3的奇函数,当x∈[0,1)时,f (x)=3
x-1,则f(lo g1
3
54)=
______.
【答案】-1
【解析】
注意到,lo g 1
3
54 =lo g 1
3
27+lo g 1
3
2=-3-lo g32,且f (x)周期为3.
于是,f(lo g 1
3
54)= f (-lo g32)
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又由f (x)为奇函数且lo g32∈[0,1),知
f(lo g 1
3
54)= f (-lo g32)=- f (1o g32)=-(3
log32-1)=-1.
29．【2016 年全国】设正实数u、v、w 均不等于1.若logu vw + logv w =5,logvu+ logw v =3，则logwu的
值为________.
【答案】4
5
【解析】
令loguv =a,logv w =b.则:
logvu= 1
a ,logw v = 1
b ,loguvw = loguv +(loguv)(logv w)=a+ab.
故a+ab+b=5, 1
a + 1
b =3⇒ab= 5
4
.
从而，logwu=(logw v)(logvu)= 1
ab = 4
5
.
30 ．【2016 年上海预赛】若x∈(-1,1) 时，f (x)= x
2-ax +a
2
恒为正值，则实数a 的取值范围是
____________。
【答案】(0，2]
【解析】
注意到，二次函数y = x
2-ax + a
2
的图像为抛物线，其对称轴为x = a
2
.
当-1＜a
2 ＜1，即-2＜a＜2 时，题设⇔f(
a
2)= a
2 - a
2
4 ＞0⇔0＜a＜2；
当a≥2 时，f（x）在区间（-1，1）上为减函数，题设⇔f (1)=1- a
2 ≥0⇔a=2；
当a≤-2 时，f（x）在区间（-1，1）上为增函数，题设⇔f (-1)=1+ 3a
2 ≥0，这与a≤-2 矛盾.
综上,a 的取值范围的(0，2].
31．【2016 年上海预赛】不等式lo g 1
12
(x
2+2 x -3)> x
2+2 x -16的解集为___________。
【答案】(-5,-3)∪(1,3).
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【解析】
设t = x
2+2 x -3.则原不等式变为log 1
12
t ＞t -13.记f (t )= log 1
12
t -t.故f(t)在区间(o，+∞)上为减函数，且
f(12)=-1-12=-13.因而，原不等式可写成
f (t )＞f (12)⇔0＜t ＜12
⇔0＜x
2+2 x -3＜12
⇔-5＜x＜-3 或1＜x＜3.
32．【2016 年浙江预赛】设函数
是定义在
上的奇函数，若对任意实数
都有
，且
当
时，
，则
____________.
【答案】
.
【解析】
试题分析：∵函数
是定义在
上的奇函数，
∴
；
又∵对任意实数
都有
，
∴
，
∴函数
是周期为4 的周期函数；
∵当
时，
，
∴
，
∵
，
∴
.
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故答案为：
.
考点：函数的奇偶性和周期性.
33．【2016 年浙江预赛】设a∈R，方程||x -a|-a|=2恰有三个不同的根。则a=__________。
【答案】2
【解析】
原方程可变形为|x -a|=a±2.要使方程恰有三个不同的根，则a=2.此时，方程恰有三个不同的根
x1=2，x2=6，x3=-2.从而，a=2.
34．【2016 年上海预赛】已知函数f (x)=a x
2+bx +c（a≠0，a、b、c均为常数），函数f 1(x)的图像
与函数f (x)的图像关于y轴对称，函数f 2(x)的图像与函数f 1(x)的图像关于直线y =1对称．则函数f 2(x)的
解析式为__________．
【答案】f 2(x)=-a x
2+bx +2-c
【解析】
设点P(x , y)在函数f 2(x)的图像上．
则P 关于直线y =1的对称点P
' (x ,2- y)在函数f 1(x)的图像上．
进而，P
'关于y 轴的对称点P
″ (- x ,2- y)在函数f (x)的图像上．
则2- y =a x
2-bx +c，即y =-a x
2+bx +2-c．
故f 2(x)=-a x
2+bx +2-c．
35．【2016 年江苏预赛】若不全相等的三个实数a、b、c 满足a
3+b
3+c
3=3abc，则a+b+c =__________．
【答案】0
【解析】
注意到，a
3+b
3+c
3-3ab=(a+b+c)(a
2+b
2+c
2-ab-bc -ca)
= 1
2
(a+b+c)((a-b)
2+(b-c)
2+(c -a)
2)=0．
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因为a、b、c 不全相等，
所以，(a-b)
2+(b-c)
2+(c -a)
2≠0．故a+b+c =0．
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