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三年专题08 平面解析几何（解答题）
1．【2022 年全国甲卷】设抛物线C : y
2=2 px( p>0)的焦点为F，点D ( p,0)，过F 的直线交C 于M，N
两点．当直线MD 垂直于x 轴时，|MF|=3．
(1)求C 的方程；
(2)设直线MD , ND与C 的另一个交点分别为A，B，记直线MN , AB的倾斜角分别为α , β．当α −β取得最
大值时，求直线AB 的方程．
2．【2022 年全国乙卷】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0,−2),B(
3
2 ,−1)
两点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点P(1,−2)的直线交E 于M，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T，点H 满足⃑
MT =⃑TH．证明：直线HN 过定点．
3．【2022 年新高考1 卷】已知点A(2,1)在双曲线C : x
2
a
2 −
y
2
a
2−1
=1(a>1)上，直线l 交C 于P，Q 两点，
直线AP , AQ的斜率之和为0．
(1)求l 的斜率；
(2)若tan ∠PAQ =2√2，求△PAQ的面积．
4．【2022 年新高考2 卷】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为
y =±√3 x．
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，点P(x1, y1),Q(x2, y2)在C 上，且x1> x2>0, y1>0．
过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M 在AB上；②PQ∥AB；③| MA |=| MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
5．【2021 年甲卷文科】抛物线C 的顶点为坐标原点O．焦点在x 轴上，直线l：
交C 于P，Q 两点，
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且
．已知点
，且
与l 相切．
（1）求C，
的方程；
（2）设
是C 上的三个点，直线
，
均与
相切．判断直线
与
的位置关系，并
说明理由．
6．【2021 年乙卷文科】已知抛物线
的焦点F 到准线的距离为2．
（1）求C 的方程;
（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足
，求直线
斜率的最大值.
7．【2021 年乙卷理科】已知抛物线
的焦点为
，且
与圆
上点的距
离的最小值为
．
（1）求
；
（2）若点
在
上，
是
的两条切线，
是切点，求
面积的最大值．
8．【2021 年新高考1 卷】在平面直角坐标系
中，已知点
、
，
点
的轨迹为
.
（1）求
的方程；
（2）设点
在直线
上，过
的两条直线分别交
于
、
两点和
，
两点，且
，
求直线
的斜率与直线
的斜率之和.
9．【2021 年新高考2 卷】已知椭圆C 的方程为
，右焦点为
，且离心率为
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设M，N 是椭圆C 上的两点，直线
与曲线
相切．证明：M，N，F 三点共线的
充要条件是
．
10．【2020 年新课标1 卷理科】已知A、B 分别为椭圆E：
（a>1）的左、右顶点，G 为E 的上
顶点，
，P 为直线x=6 上的动点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另一交点为D．
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（1）求E 的方程；
（2）证明：直线CD 过定点.
11．【2020 年新课标2 卷理科】已知椭圆C1：
(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C2的焦点重合，C1
的中心与C2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C1于A，B 两点，交C2于C，D 两点，且|CD|=
|AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M 是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
12．【2020 年新课标2 卷文科】已知椭圆C1：
(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C2的焦点重合，C1
的中心与C2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C1于A，B 两点，交C2于C，D 两点，且|CD|=
|
AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
13．【2020 年新课标3 卷理科】已知椭圆
的离心率为
，
，
分别为
的左、
右顶点．
（1）求
的方程；
（2）若点
在
上，点
在直线
上，且
，
，求
的面积．
14．【2020 年新高考1 卷（山东卷）】已知椭圆C：
的离心率为
，且过点
．
（1）求
的方程：
（2）点
，
在
上，且
，
，
为垂足．证明：存在定点
，使得
为定值．
15．【2020 年新高考2 卷（海南卷）】已知椭圆C：
过点M（2，3）,点A 为其左顶点，
且AM 的斜率为
，
（1）求C 的方程；
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（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.
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