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§8.3 圆的方程
考试要求 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方
程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．圆的定义和圆的方程
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C( a ，
b )
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F>0)
圆心C
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M 在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在圆上；
(3)|MC|<r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M 在圆内．
常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )
(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a 为半径的圆．( × )
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－
4AF>0.( √ )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √ )
教材改编题
1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
1
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B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案 D
解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2
＝2.
2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0 表示圆，则实数a 的取值范围为( )
A．(－2,0)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2,0]
D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
答案 B
解析 由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，
得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，
由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0，解得a>0 或a<－2.
3．(多选)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25 的内部的是( )
A．(0,2)
B．(3,3)
C．(－2,2)
D．(4,1)
答案 AD
解析 由(0－1)2＋(2＋2)2＜25 知(0,2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2＞25 知(3,3)在圆外；由(－2
－1)2＋(2＋2)2＝25 知(－2,2)在圆上，由(4－1)2＋(1＋2)2＜25 知(4,1)在圆内．
题型一 圆的方程
例1 (1)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
答案 (x－2)2＋(y－3)2＝13 或(x－2)2＋(y－1)2＝5 或2＋2＝或2＋(y－1)2＝
解析 依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.
若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)，
则
解得满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，
即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，
2
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则
解得满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
则
解得满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，
即2＋2＝；
若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)，
则
解得满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为
x2＋y2－x－2y－＝0，
即2＋(y－1)2＝.
(2)(2022·全国甲卷)设点M 在直线2x＋y－1＝0 上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上，则⊙M 的方
程为________．
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析 方法一 设⊙M 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
解得
∴⊙M 的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二 设⊙M 的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则M，
∴解得
∴⊙M 的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法三 设A(3,0)，B(0,1)，⊙M 的半径为r，
则kAB＝＝－，AB 的中点坐标为，
∴AB 的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0.
联立解得
∴M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴⊙M 的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
思维升华 求圆的方程的常用方法
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(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r 的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F 的方程组，进而求出D，E，F 的值．
跟踪训练1 (1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
答案 A
解析 根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，
解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(2)若圆C 经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3 上运动，当半径最小时，圆的方程为
____________．
答案 2＋2＝
解析 设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径r＝＝
＝.
当a＝时，rmin＝.
故所求圆的方程为2＋2＝.
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC 的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C 的轨迹方程；
(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．
解 (1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C 三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC 斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C 的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB 的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝
2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D(1,0)为圆心，2 为半径的圆(由于A，B，C 三点不共线，
所以应除去与x 轴的交点)．
所以直角顶点C 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
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(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3,0)，且M 是线段BC 的中点，
所以由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C 的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y 代入得
(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此动点M 的轨迹方程为
(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
思维升华 求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
跟踪训练2 (2023·宜昌模拟)已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P 满足|PN|＝|PM|.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)已知点B(6,0)，点A 在轨迹C 上运动，求线段AB 上靠近点B 的三等分点Q 的轨迹方程．
解 (1)设动点P 的坐标为(x，y)，
因为M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝|PM|，
所以＝·，
整理得x2＋y2＝2，
所以动点P 的轨迹C 的方程为x2＋y2＝2.
(2)设点Q 的坐标为(x，y)，点A 的坐标为(xA，yA)，
因为Q 是线段AB 上靠近点B 的三等分点，
所以AQ＝2QB，即(x－xA，y－yA)＝2(6－x，－y)，
解得
又点A 在轨迹C 上运动，
由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，
化简得(x－4)2＋y2＝，
即点Q 的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝.
题型三 与圆有关的最值问题
命题点1 利用几何性质求最值
例3 (2022·泉州模拟)已知实数x，y 满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
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(1)的最大值和最小值；
(2)y－x 的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
解 (1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0 表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆．
设＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、
最小值．
由＝，解得k2＝3，
∴kmax＝，kmin＝－.
∴max＝，min＝－.
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b 与圆相切于第四象限时，截距b 取最小
值，由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±，
故(y－x)min＝－2－.
(3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x 轴相交于点B 和C′(点B 在点C′左侧)，
则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4.
命题点2 利用函数求最值
例4 (2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1 上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则
PA·PB的最大值为________．
答案 12
解析 由题意，得PA＝(2－x，－y)，
PB＝(－2－x，－y)，
所以PA·PB＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程
x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4
＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以当y＝4 时，PA·PB的值最大，最大值为6×4－12＝12.
延伸探究 若将本例改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4 上的动点，定点A(0,2)，B(0，
－2)”，则|PA＋PB|的最大值为________．
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答案 10
解析 由题意，知PA＝(－x,2－y)，
PB＝(－x，－2－y)，
所以PA＋PB＝(－2x，－2y)，
由于点P(x，y)是圆上的点，
故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，
故y2＝－(x－3)2＋4，
所以|PA＋PB|＝＝2.
由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，
所以当x＝5 时，|PA＋PB|的值最大，最大值为2×＝10.
思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征
选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：
①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和
转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
跟踪训练3 (1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1 上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(
)
A．6 B．25 C．26 D．36
答案 D
解析 (x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，
∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1 上的任意一点，
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2,0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，
即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝[＋1]2＝36.
(2)若点P(x，y)在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0 上，则的最大值为________．
答案
解析 圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0 可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，
表示圆上的点(x，y)与点(－1,0)连线的斜率，
设过点(－1,0)的圆的切线斜率为k，
则圆的切线方程为y－0＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
由圆心到切线的距离等于半径，
可得＝1，
解得k＝0 或k＝，
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所以0≤k≤，即的最大值为.
课时精练
1．(2023·六安模拟)圆心为(1，－2)，半径为3 的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
答案 D
解析 因为圆心为(1，－2)，半径为3，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
2．(2023·宁德模拟)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0 外，则k 的取值范围为(
)
A．－6<k<
B．k<－6 或k>
C．k>－6
D．k<
答案 A
解析 ∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，
∴圆C 的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝.
若点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0 外，则满足>，且1－2k>0，即13>1－2k 且
k<，即－6<k<.
3．若△AOB 的三个顶点坐标分别为A(2,0)，B(0，－4)，O(0,0)，则△AOB 外接圆的圆心坐
标为( )
A．(1，－1)
B．(－1，－2)
C．(1，－2)
D．(－2,1)
答案 C
解析 由题意得△AOB 是直角三角形，且∠AOB＝90°.
所以△AOB 的外接圆的圆心就是线段AB 的中点，
设圆心坐标为(x，y)，
由中点坐标公式得x＝＝1，y＝＝－2.
故所求圆心坐标为(1，－2)．
4．圆C：x2＋y2－2x－3＝0 关于直线l：y＝x 对称的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2y－3＝0
B．x2＋y2－2y－15＝0
C．x2＋y2＋2y－3＝0
D．x2＋y2＋2y－15＝0
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答案 A
解析 由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4 的圆心为(1,0)，半径为2，
故其关于直线l：y＝x 对称的圆的圆心为(0,1)，半径为2，
故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，
即x2＋y2－2y－3＝0.
5．点M，N 是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0 上的不同两点，且点M，N 关于直线l：x－y＋1＝0
对称，则该圆的半径等于( )
A. 2 B. C．3 D．9
答案 C
解析 圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0 的标准方程为2＋(y＋1)2＝5＋，
则圆心坐标为，半径为r＝，
因为点M，N 在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0 上，且点M，N 关于直线l：x－y＋1＝0 对称，
所以直线l：x－y＋1＝0 经过圆心，
所以－＋1＋1＝0，解得k＝4.
所以圆的半径r＝＝3.
6．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4 外一点P 引该圆的一条切线，切点为Q，PQ 的长度等于点
P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0
B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0
D．6x－8y－21＝0
答案 D
解析 由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示．
设P(x0，y0)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋4＝(x0
－3)2＋(y0＋4)2，
即6x0－8y0－21＝0，结合选项知D 符合题意．
7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0 表示圆，则圆心坐标为________，半径
为________．
答案 (－2，－4) 5
解析 由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，解得a＝2 或a＝－1.
当a＝2 时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，
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∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×＜0，
∴a＝2 不符合题意；
当a＝－1 时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
8．已知等腰△ABC，其中顶点A 的坐标为(0,0)，底边的一个端点B 的坐标为(1,1)，则另一
个端点C 的轨迹方程为______________________.
答案 x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))
解析 设C(x，y)，根据在等腰△ABC 中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－
0)2，即x2＋y2＝2.
考虑到A，B，C 三点要构成三角形，因此点C 不能为(1,1)和(－1，－1)．
所以点C 的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))．
9．已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和点B(2，－2)，且圆心C 在直线l：x－y＋1＝0 上．线
段PQ 的端点P 的坐标是(5,0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．
解 设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D.
又kAB＝－3，所以km＝，
所以直线m 的方程为x－3y－3＝0.
由得圆心C(－3，－2)，
则半径r＝|CA|＝＝5，
所以圆C 的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
设点M(x，y)，Q(x0，y0)．
因为点P 的坐标为(5,0)，
所以即
又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25 上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，
即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝.
即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝.
10．已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4)，圆心在直线2x－y－1＝0 上．
(1)求圆C1的方程；
(2)若M，N 分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9 上的点，点P 是直线x＋y＝0 上的点，
求|PM|＋|PN|的最小值，以及此时点P 的坐标．
解 (1)由题意知AB 的中点坐标为，
kAB＝＝1，
∴AB 的垂直平分线为y＝5－x，
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联立
解得
即圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，
其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)注意到点C1(2,3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0 的两侧，
直线x＋y＝0 与两圆分别相离，如图所示．
∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝－4，
当且仅当M，N，P 在线段C1C2上时取等号，
此时点P 为直线C1C2与x＋y＝0 的交点，
过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，
联立解得
∴点P 的坐标为.
11．若直线ax－by－6＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0 的周长，则＋的最小值
为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 圆x2＋y2－4x＋4y＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(2，－2)，依题意，点(2，－2)
在直线ax－by－6＝0 上，
则有2a－(－2)b－6＝0，整理得a＋b＝3，而a>0，b>0，
于是得＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取“＝”，
所以＋的最小值为4.
12．(多选)已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0 上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0 的距离
为1，则实数a 的可能取值为( )
A．－12 B．－8 C．6 D．－1
答案 ABD
解析 由题意可得圆的标准方程是(x－1)2＋(y－2)2＝10－a，
圆心为(1,2)，半径为r＝(a<10)，
圆心到已知直线的距离为d＝＝4，
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则圆心到与直线3x－4y－15＝0 平行且距离为1 的直线的距离分别为3 和5，
由题意得3<<5，解得－15<a<1.
13．(多选)已知圆M 与直线x＋y＋2＝0 相切于点A(0，－2)，圆M 被x 轴所截得的弦长为
2，则下列结论正确的是( )
A．圆M 的圆心在定直线x－y－2＝0 上
B．圆M 的面积的最大值为50π
C．圆M 的半径的最小值为1
D．满足条件的所有圆M 的半径之积为8
答案 AB
解析 ∵圆M 与直线x＋y＋2＝0 相切于A(0，－2)，
∴直线AM 与直线x＋y＋2＝0 垂直，∴直线AM 的斜率为1，则点M 在直线y＝x－2，即x－y
－2＝0 上，故A 正确；
设M(a，a－2)，∴圆M 的半径r＝|AM|＝＝|a|，
∵圆M 被x 轴截得的弦长为2，
∴2＝2＝2，解得a＝－5 或a＝1.
当a＝－5 时，圆M 的面积最大，为πr2＝50π，故B 正确；
当a＝1 时，圆M 的半径最小，为，故C 错误；
满足条件的所有圆M 的半径之积为5×＝10，故D 错误．
14．(2022·沧州模拟)阿波罗尼斯(约公元前262－190 年)证明过这样一个命题：在平面内到
两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内
两定点A，B 间的距离为2，动点P 满足＝，则△PAB 面积的最大值是( )
A. B．2 C．2 D．4
答案 C
解析 设以经过点A，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，以线段AB 的垂直平分线
为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则A(－1,0)，B(1,0)．
设P(x，y)，∵＝，∴＝，
两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0，即点P 的轨迹为(x－3)2＋y2＝8.
要使△PAB 的面积最大，只需点P 到AB(x 轴)的距离最大，
此时面积为×2×2＝2.
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