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§8.7 抛物线
考试要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、
对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．
知识梳理
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点
F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
对称轴
x 轴
y 轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
常用结论
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F 的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线．( × )
(2)方程y＝4x2表示焦点在x 轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.( √ )
教材改编题
1．抛物线x2＝y 的准线方程为( )
A．y＝－
B．x＝－
1
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C．y＝
D．x＝
答案 A
解析 由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y 轴正半轴上，焦点坐标为，准线方程
为y＝－.
2．过抛物线y2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，
则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 抛物线y2＝4x 的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，
|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1
＝x1＋x2＋2＝8.
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F 的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
答案 B
解析 由题意可得|MF|＝xM＋，
则3＋＝4，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C：y2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B(3,0)，若|AF|
＝|BF|，则|AB|等于( )
A．2 B．2 C．3 D．3
答案 B
解析 方法一 由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.
设A，
则由抛物线的定义可知|AF|＝＋1.
因为|BF|＝3－1＝2，
所以由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．
不妨取A(1,2)，
则|AB|＝＝＝2.
方法二 由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，
所以|AF|＝2.
因为抛物线的通径长为2p＝4，
所以AF 的长为通径长的一半，
2
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所以AF⊥x 轴，
所以|AB|＝＝＝2.
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C 的焦点为F.若对于抛物线上的
一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p 的值等于________．
答案 42 或22
解析 当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|＝|PD|，
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D 三点共线时，
|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F 三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得＝41，
解得p＝22 或p＝58.
当p＝58 时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．
综上，p＝42 或p＝22.
① ②
思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得
简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
跟踪训练1 (1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F 的距离为，则m 等于(
)
A．4 B．3 C. D.
答案 D
解析 由题意知，抛物线y＝mx2(m>0)的准线方程为y＝－，
根据抛物线的定义，可得点(x0,2)到焦点F 的距离等于到准线y＝－的距离，
可得2＋＝，解得m＝.
(2)若P 是抛物线y2＝8x 上的动点，P 到y 轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4 上动
点Q 的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
答案 －4
解析 圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4 的圆心为C(－3,3)，半径r＝2，
3
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抛物线y2＝8x 的焦点F(2,0)，
因为P 是抛物线y2＝8x 上的动点，P 到y 轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4 上动
点Q 的距离为d2，
所以要使d1＋d2最小，即P 到抛物线的焦点与到圆C 的圆心的距离最小，
如图，连接PF，FC，则d1＋d2的最小值为|FC|减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的
距离，
即－2－2＝－4，
所以d1＋d2的最小值为－4.
题型二 抛物线的标准方程
例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0 上．
解 (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x2
＝2py(p＞0)．
又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px 和x2＝－2p1y 中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
则2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x 或x2＝－y.
(3)令x＝0 得y＝－5；令y＝0 得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y 或y2＝－60x.
思维升华 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
跟踪训练2 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A，
B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
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A．y2＝x
B．y2＝9x
C．y2＝x
D．y2＝3x
答案 D
解析 如图，分别过点A，B 作准线的垂线，交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
∴在Rt△ACE 中，2|AE|＝|AC|，
∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，
∴3＋3a＝6，解得a＝1，
∵BD∥FG，∴＝，
∴p＝，
因此抛物线的方程为y2＝3x.
(2)(2022·烟台模拟)已知点F 为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P 在抛物线上且横坐标为8，
O 为坐标原点，若△OFP 的面积为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝－
B．x＝－1
C．x＝－2
D．x＝－4
答案 B
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
将点P 的横坐标代入抛物线得y2＝16p，可得y＝±4，不妨令P(8,4)，
则S△OFP＝××4＝p＝2，解得p＝2，
则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
题型三 抛物线的几何性质
例3 (1)在抛物线y2＝8x 上有三点A，B，C，F 为其焦点，且F 为△ABC 的重心，则|AF|＋|
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BF|＋|CF|等于( )
A．6 B．8 C．9 D．12
答案 D
解析 由题意得，F 为△ABC 的重心，
故AF＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)，
设点A，B，C 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，
∵抛物线y2＝8x，F 为其焦点，∴F(2,0)，
∴AF＝(2－x1，－y1)，AB＝(x2－x1，y2－y1)，
AC＝(x3－x1，y3－y1)，
∵AF＝(AB＋AC)，
∴2－x1＝(x2－x1＋x3－x1)，
∴x1＋x2＋x3＝6，
∴|AF|＋|BF|＋|CF|＝x1＋x2＋x3＋6＝12.
(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l 的斜率为且经过点F，与抛物线C
交于A，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线C 的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确
的是( )
A．p＝4
B.DF＝FA
C．|BD|＝2|BF|
D．|BF|＝4
答案 ABC
解析 如图所示，分别过点A，B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.
设抛物线C 的准线交x 轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l 的斜率为，所以其倾斜角为60°.
因为AE∥x 轴，所以∠EAF＝60°，
由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，
则△AEF 为等边三角形，
所以∠EFP＝∠AEF＝60°，
则∠PEF＝30°，
所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，
故A 正确；
因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，
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所以F 为AD 的中点，则DF＝FA，故B 正确；
因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，
所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C 正确；
因为|BD|＝2|BF|，
所以|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D 错误．
思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物
线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为
F，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C 的准线方
程为______．
答案 x＝－
解析 方法一 (解直角三角形法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
所以＝，即＝，
解得p＝3(p＝0 舍去)，所以C 的准线方程为x＝－.
方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF|＝，
|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，
即p2＝×6，解得p＝3 或p＝0(舍去)，
所以C 的准线方程为x＝－.
(2)已知F 是抛物线y2＝16x 的焦点，M 是抛物线上一点，FM 的延长线交y 轴于点N，若
3FM＝2MN，则|FN|＝________.
答案 16
解析 易知焦点F 的坐标为(4,0)，准线l 的方程为x＝－4，如图，
抛物线准线与x 轴的交点为A，作MB⊥l 于点B，NC⊥l 于点C，
AF∥MB∥NC，则＝，
由3FM＝2MN，
得＝，
又|CN|＝4，|OF|＝4，
所以＝，|BM|＝，|MF|＝|BM|＝，＝，
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所以|FN|＝16.
课时精练
1．(2022·桂林模拟)抛物线C：y2＝－x 的准线方程为( )
A．x＝
B．x＝－
C．y＝
D．y＝－
答案 A
解析 y2＝－x 的准线方程为x＝.
2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物
线的焦点到其准线的距离为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 由题可知，抛物线准线为y＝－，可得1＋＝2，解得p＝2，所以该抛物线的焦点到
其准线的距离为p＝2.
3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy 中，动点P(x，y)到直线x＝1 的距离比它到定点
(－2,0)的距离小1，则P 的轨迹方程为( )
A．y2＝2x
B．y2＝4x
C．y2＝－4x
D．y2＝－8x
答案 D
解析 由题意知动点P(x，y)到直线x＝2 的距离与到定点(－2,0)的距离相等，
由抛物线的定义知，P 的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2 为准线的抛物线，
所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
4．(2022·北京模拟)设M 是抛物线y2＝4x 上的一点，F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，若
∠OFM＝120°，则|FM|等于( )
A．3 B．4 C. D.
答案 B
解析 过点M 作抛物线的准线l 的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，
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因为∠OFM＝120°，MN∥x 轴，则∠FMN＝60°，
由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM 为等边三角形，则∠FNM＝60°，
抛物线y2＝4x 的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1 交x 轴于点E，则∠ENF＝30°，
易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.
5．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交
于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是线段AB 的中点，则下列结论正确的是( )
A．p＝4
B．抛物线方程为y2＝16x
C．直线l 的方程为y＝2x－4
D．|AB|＝10
答案 ACD
解析 由焦点F 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A 正确；
则抛物线的方程为y2＝8x，
焦点F(2,0)，故B 错误；
则y＝8x1，y＝8x2，
若M(m,2)是线段AB 的中点，则y1＋y2＝4，
∴y－y＝8x1－8x2，
即＝＝＝2，
∴直线l 的方程为y＝2x－4，故C 正确；
又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D 正确．
6．(多选)(2022·金陵模拟)在平面直角坐标系Oxy 中，点F 是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，
点A，B(a，b)(b>0)在抛物线C 上，则下列结论正确的是( )
A．C 的准线方程为x＝
B．b＝
C.OA·OB＝2
D.＋＝
答案 BD
解析 点A(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C 上，
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则解得
则抛物线C：y2＝x，A，B(，)，
抛物线C 的准线方程为x＝－，故A 错误，B 正确；
OA·OB＝×＋1×＝1＋，故C 错误；
抛物线C 的焦点F，
则|AF|＝＝，
|BF|＝＝，
则＋＝＋＝，故D 正确．
7. 如图是抛物线形拱桥，当水面为l 时，拱顶离水面2 米，水面宽4 米．则水位下降1 米后，
水面宽________米．
答案 2
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)
在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3 时，x2＝6，所以水面宽为2 米．
8．(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M 为抛物线C 上的点，且|FM|＝6，则
M 的横坐标是________，作MN⊥x 轴于N，则S△FMN＝________.
答案 5 4
解析 因为抛物线的方程为y2＝4x，
故p＝2 且F(1,0)，
因为|FM|＝6，所以xM＋＝6，
解得xM＝5，
故yM＝±2，
所以S△FMN＝×(5－1)×2＝4.
9．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，当点A 的纵坐
标为1 时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若抛物线C 上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l 的方程．
解 (1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，焦点为F.
10
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当点A 的纵坐标为1 时，|AF|＝2，
∴1＋＝2，解得p＝2，
∴抛物线C 的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C 上，
∴y0＝＝1，M 坐标为(－2,1)．
又直线l 过点F(0,1)，∴设直线l 的方程为y＝kx＋1.
由
得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
MA＝(x1＋2，y1－1)，
MB＝(x2＋2，y2－1)．
∵MA⊥MB，
∴MA·MB＝0，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2 或k＝0.
当k＝0 时，l 过点M，不符合题意，∴k＝2，
∴直线l 的方程为y＝2x＋1.
10．已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x,1)到其焦点的距离为2.
(1)求抛物线C 的方程和点P 的坐标；
(2)过点的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，若∠APB 的角平分线与y 轴垂直，求弦AB 的长．
解 (1)由1＋＝2，可得p＝2，
故抛物线的方程为x2＝4y，
当y＝1 时，x2＝4，
又因为x>0，所以x＝2，
所以点P 的坐标为(2,1)．
(2)由题意可得直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为y＝k(x＋1)＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4kx－4k－2＝0，
所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2，
因为∠APB 的角平分线与y 轴垂直，
所以kPA＋kPB＝0，
所以kPA＋kPB＝＋＝0，
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即＋＝0，
即x1＋x2＋4＝0，
所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2，
所以|AB|＝|x1－x2|＝＝4.
11．(多选)(2023·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，
沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后
必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线l1从点P
射入，经过r 上的点A(x1，y1)反射后，再经r 上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经
过点Q，则下列结论正确的是( )
A．y1y2＝－1
B．|AB|＝
C．PB 平分∠ABQ
D．延长AO 交直线x＝－于点C，则C，B，Q 三点共线
答案 BCD
解析 设抛物线的焦点为F，如图所示，
则F.
因为P，且l1∥x 轴，故A(1,1)，
故直线AF：y＝＝x－.
由可得y2－y－＝0，
故y1y2＝－，故A 错误；
又y1＝1，故y2＝－，
故B，
故|AB|＝1＋＋＝，故B 正确；
因为|AP|＝－1＝＝|AB|，
故△APB 为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，
而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，
即∠ABP＝∠PBQ，
12
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故PB 平分∠ABQ，故C 正确；
直线AO：y＝x，由
可得C，故yC＝y2，
所以C，B，Q 三点共线，故D 正确．
12．(2022·阜宁模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M 是抛物线C 上
一点，MH⊥l 于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C 的方程为________．
答案 y2＝4x
解析 因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以|MF|＝|MH|＝4，又∠HFM＝60°，
所以△MHF 为正三角形，
所以|HF|＝4，
记准线l 与x 轴交于点Q，则∠QHF＝30°，
所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝4sin 30°＝2，
所以该抛物线方程为y2＝4x.
13．(2023·泰州模拟)在平面直角坐标系Oxy 中，点A(1,0)，B(9,6)，动点C 在线段OB 上，
BD⊥y 轴，CE⊥y 轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF 与CE 相交于点P.已知点Q 在点
P 的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则|AQ|等于( )
A．4
B．2
C.
D.
答案 A
解析 设P(x，y)，则yC＝y，
∵lOB：y＝x，
∴C，
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∴E(0，y)，F，
∵FC∥y 轴，
∴△OPE∽△FPC，
∴＝，
∴＝，即y2＝4x，
∴P 的轨迹方程为y2＝4x 在第一象限的部分且0≤x≤9，故A(1,0)为该抛物线的焦点．
设Q(x0，y0)，则y＝4x0，AQ＝(x0－1，y0)，AO＝(－1,0)，
∴cos∠OAQ＝＝＝＝－，解得x0＝3，
∴|AQ|＝x0＋＝3＋1＝4.
14．(2022·无锡模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B 是抛物线C
上的两个动点，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，设线段AB 的中点M 在准线l 上的射影为点N，
则的值是________．
答案
解析 如图所示，作BE⊥l，AD⊥l，
设|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，
在梯形ABED 中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，
因为AF⊥AB，∠ABF＝30°，
所以b＝2a，则|MN|＝，
又|AB|＝＝a，
故＝＝.
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