文档文本内容
高中资料公众号：网盘网课资源
§8.6 双曲线
考试要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对
称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．
知识梳理
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双
曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1( －
c ,0)
，
F 2( c ,0)
F1(0
，－
c ) ，
F 2(0
，
c )
焦距
| F 1F2| ＝
2 c
范围
x ≤
－
a 或x ≥
a ，y∈R
y≤－a 或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1( －
a ,0)
，
A 2( a ,0)
A1(0
，－
a ) ，
A 2(0
，
a )
轴
实轴：线段A1A2，长：2 a ；虚轴：线段B1B2，长：2 b ，实半
轴长：a，虚半轴长：b
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝∈(1
，＋
∞
)
a，b，c 的关系
c2＝a 2 ＋
b 2 (c>a>0，c>b>0)
常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P 是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min
＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则
＝，其中θ 为∠F1PF2.
5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
1
高中资料公众号：网盘网课资源
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8 的点的轨迹是双曲线．( ×
)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
教材改编题
1．已知曲线C 的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值
范围是( )
A．－1<k<5
B．k>5
C．k<－1
D．k≠－1 或5
答案 C
解析 若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，
则解得k<－1.
2．双曲线2y2－x2＝1 的渐近线方程是( )
A．y＝±x
B．y＝±2x
C．y＝±x
D．y＝±x
答案 C
解析 依题意知，双曲线－x2＝1 的焦点在y 轴上，实半轴长a＝，虚半轴长b＝1，
所以双曲线2y2－x2＝1 的渐近线方程是y＝±x.
3．设P 是双曲线－＝1 上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝
________.
答案 17
解析 根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，
因为|PF1|＝9，
所以|PF2|＝1 或17.
又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
题型一 双曲线的定义及应用
例1 (1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切
圆圆心在直线x＝2 上，则顶点C 的轨迹方程为( )
A.－＝1(x>2)
B.－＝1(x>3)
2
高中资料公众号：网盘网课资源
C.＋＝1(0<x<2)
D.＋＝1(0<x<3)
答案 A
解析 如图，设△ABC 与圆的切点分别为D，E，F，
则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B 为焦点，实轴长为4 的双曲线的右支(右顶点除外)，
即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，
所以顶点C 的轨迹方程为－＝1(x>2)．
(2)已知F1，F2 为双曲线C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点P 在C 上，∠F1PF2＝60°，则
△F1PF2的面积为______．
答案 2
解析 不妨设点P 在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴
＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运
用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
跟踪训练1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M 同时与圆C1和圆C2
相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1)
D．x2－＝1(x≥1)
答案 C
解析 设动圆M 的半径为r，由动圆M 同时与圆C1和圆C2相外切，
得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，
|MC2|－|MC1|＝2<6，
所以动圆圆心M 的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，
且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，
3
高中资料公众号：网盘网课资源
则b2＝c2－a2＝8，
所以动圆圆心M 的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：－＝1 的左、右焦点分别是F1，F2，点P 是C 的右支上的
一点(不是顶点)，过F2 作∠F1PF2 的角平分线的垂线，垂足是M，O 是原点，则|MO|＝
________.
答案 4
解析 如图所示，延长F2M 交PF1于Q，
由于PM 是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，
所以△QPF2是等腰三角形，
所以|PQ|＝|PF2|，且M 是QF2的中点．
根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8，即|QF1|＝8，
由于O 是F1F2的中点，
所以MO 是△QF1F2的中位线，
所以|MO|＝|QF1|＝4.
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)(2021·北京)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标
准方程为( )
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C．x2－＝1
D.－y2＝1
答案 A
解析 由e＝＝2，
得c＝2a，b＝＝a，
则双曲线的方程为－＝1，
将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此双曲线的标准方
程为x2－＝1.
(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点
A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2 的等边三角形，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－y2＝1
D．x2－＝1
答案 D
4
高中资料公众号：网盘网课资源
解析 由方程－＝1，
得双曲线的渐近线方程为y＝±x，
不妨设A 在直线y＝x 上，
由△OAF 是边长为2 的等边三角形，
可得c＝2，直线y＝x 的倾斜角为60°，
即＝，
联立可得
故双曲线的标准方程为x2－＝1.
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b 或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝
λ(λ≠0)，再根据条件求λ 的值．
跟踪训练2 (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2，则
双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 A
解析 易知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为ay＝±bx，由C 的左焦点(－c,0)到其渐近
线的距离是2，可得＝b＝2，则b2＝12，
由双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，得e＝＝2，又c2＝a2＋b2，
解得a＝2，c＝4，
则双曲线的方程为－＝1.
(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡
然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的
一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底
面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是( )
A.－＝1
B.－y2＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 D
5
高中资料公众号：网盘网课资源
解析 由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上．
设该双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故该双曲线的标准方程是－＝1.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例3 (1)(2022·北京)已知双曲线y2＋＝1 的渐近线方程为y＝±x，则m＝________.
答案 －3
解析 方法一 依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－＝1，此时双曲线的渐近
线的斜率为±＝±，解得m＝－3.
方法二 依题意得m<0，令y2－＝0，得y＝±x，则±＝±，解得m＝－3.
(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是
________．
答案 4x2－y2＝1
解析 方法一 由题意可知，①若双曲线的焦点在x 轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－
＝1 且＝2，联立解得a＝，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；
②若双曲线的焦点在y 轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－＝1，且＝2，此时无解，综上，
双曲线的方程为4x2－y2＝1.
方法二 由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线经过点(1，)，
∴λ＝4×12－()2＝1，
∴双曲线方程为4x2－y2＝1.
思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两
渐近线方程±＝0.
(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离
心率e 与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
命题点2 离心率
例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F1PF2＝
60°，|PF1|＝3|PF2|，则C 的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，
在△F1PF2中，
|F1F2|＝
6
高中资料公众号：网盘网课资源
＝m，
所以C 的离心率e＝＝＝
＝＝.
(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝
2x 与C 无公共点”的e 的一个值________．
答案 2((1，]内的任意值均可)
解析 双曲线C 的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝2x 与双曲线C 无公共点，
则2≥，∴≤4，∴e2＝＝1＋≤5，
又e＞1，∴e∈(1，]，
∴填写(1，]内的任意值均可．
思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，
b，c 的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程
(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
跟踪训练3 (1)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C：＋＝1(0<k<1)，则下列结论正确的是(
)
A．双曲线C 的焦点在x 轴上
B．双曲线C 的焦距等于4
C．双曲线C 的焦点到其渐近线的距离等于
D．双曲线C 的离心率的取值范围为
答案 ACD
解析 对于A，因为0<k<1，所以9－k>0，k－1<0，
所以双曲线C：－＝1(0<k<1)表示焦点在x 轴上的双曲线，故选项A 正确；
对于B，由A 知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝，
所以双曲线C 的焦距等于2c＝2(0<k<1)，故选项B 错误；
对于C，设焦点在x 轴上的双曲线C 的方程为－＝1(a>0，b>0)，焦点坐标为(±c,0)，则渐近
线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
所以焦点到渐近线的距离d＝＝b，
所以双曲线C：－＝1(0<k<1)的焦点到其渐近线的距离等于，故选项C 正确；
对于D，双曲线C 的离心率e＝＝＝，
因为0<k<1，所以1<2－<，所以e＝∈，故选项D 正确．
(2)(2022·怀化模拟)已知F 是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F 的直线l 与双曲线
C 的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l 与双曲线C 的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则
双曲线C 的渐近线方程为________．
答案 y＝±x
7
高中资料公众号：网盘网课资源
解析 设C 的左焦点为F1 ，连接F1B ，过F1 作F1D⊥FB 于点D ，如图所示，易知
F1D∥OA，
在双曲线C 中，易知|FA|＝b，
又3|FA|＝|AB|，
则|DB|＝2b，
则D 为线段FB 的中点，
所以△F1BF 为等腰三角形，
又|FB|＝4b，|F1B|＝4b－2a＝|F1F|＝2c，
即c＋a＝2b，
又b2＝c2－a2＝(c＋a)(c－a)，
将b＝代入得＝(c＋a)(c－a)，
得c＋a＝4(c－a)，
则c＝a，
又c2＝a2＋b2，
所以b＝a，则渐近线方程为y＝±x.
课时精练
1．(2022·宜昌模拟)双曲线－＝λ(λ>0)的离心率为( )
A. B. C.或 D.
答案 B
解析 因为λ>0，所以－＝1，所以双曲线焦点在x 轴上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝
6λ，所以离心率为＝＝＝.
2. “mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1 表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
8
高中资料公众号：网盘网课资源
解析 因为方程mx2＋ny2＝1 表示双曲线，所以mn<0，
又当mn<0 时，方程mx2＋ny2＝1 表示双曲线，
因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1 表示双曲线”的充要条件．
3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1 或－＝1
C.－＝1
D.－＝1 或－＝1
答案 D
解析 设双曲线方程为－＝1(m≠0)，
∵2a＝4，∴a2＝4，
当m>0 时，2m＝4，m＝2；
当m<0 时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线的标准方程为－＝1 或－＝1.
4．(2022·南通模拟)方程x2＋(cos θ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为( )
A．两条直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
答案 B
解析 因为θ∈(0，π)，所以cos θ∈(－1,1)，
所以当cos θ∈(－1,0)时，方程x2＋(cos θ)y2＝1 表示双曲线；
当cos θ＝0 时，方程x2＋(cos θ)y2＝1 表示两条直线x＝±1；
当cos θ∈(0,1)时，方程x2＋(cos θ)y2＝1 可化为x2＋＝1，
因为>1，所以方程表示焦点在y 轴上的椭圆．
5．(多选)(2023·唐山模拟)已知F1，F2为双曲线C：－x2＝1 的两个焦点，P 为双曲线C 上任
意一点，则( )
A．|PF1|－|PF2|＝2
B．双曲线C 的渐近线方程为y＝±x
C．双曲线C 的离心率为
D．|PF1＋PF2|≥2
答案 CD
解析 双曲线C：－x2＝1 焦点在y 轴上，a＝，b＝1，c＝＝2.
对于A 选项，||PF1|－|PF2||＝2a＝2，而P 点在哪支上并不确定，故A 错误；
对于B 选项，焦点在y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为y＝±x＝±x，故B 错误；
对于C 选项，e＝＝＝，故C 正确；
9
高中资料公众号：网盘网课资源
对于D 选项，设P(x，y)(x∈R)，则|PO|＝＝＝≥(当且仅当x＝0 时取等号)，
因为O 为F1F2的中点，所以|PF1＋PF2|＝|2PO|＝2|PO|≥2，故D 正确．
6．(多选)(2023·湖南长郡中学模拟)F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，
P 是C 右支上的一点，PF1与C 的左支交于点Q.已知PQ＝2QF1，且|PQ|＝|PF2|，则( )
A．△PQF2为直角三角形
B．△PQF2为等边三角形
C．C 的渐近线方程为y＝±x
D．C 的渐近线方程为y＝±x
答案 BC
解析 因为|PQ|＝|PF2|，
所以由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，
所以|QF2|＝4a，
又PQ＝2QF1，
所以|PQ|＝|PF2|＝4a，
故△PQF2是等边三角形．在△PF1F2中，
由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝＝，
则＝＝7，
即＝，
故C 的渐近线方程为y＝±x.
7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C 的渐
近线方程为________．
答案 y＝±x
解析 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝＝＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
8．(2022·晋中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P 在双曲线的
右支上，|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是________．
答案
解析 设∠F1PF2＝θ，由
得
∵|PF2|≥c－a，
∴a≥c－a，
即a≥c，
即≤，
10
高中资料公众号：网盘网课资源
∴双曲线离心率的取值范围是1<e≤.
9．已知双曲线C：x2－＝1(b>0)．
(1)若双曲线C 的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C 的标准方程；
(2)设双曲线C 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在双曲线C 上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2
的面积为9，求b 的值．
解 (1)因为双曲线C：x2－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，而它的一条渐近线方程为y＝
2x，
所以b＝2，
所以双曲线C 的标准方程为x2－＝1.
(2)因为PF1⊥PF2，
所以
＝|PF1|·|PF2|，
因为△PF1F2的面积为9，
所以|PF1|·|PF2|＝18，
又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝40，
又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
所以c2＝10，
由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，
所以b＝3.
10.如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的倍，双曲线过
点(4，－)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M 在以F1F2为直径的圆上；
(3)在(2)的条件下，若点M 在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN 的面
积．
(1)解 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
双曲线焦距为2c，实轴长为2a，
则2c＝2a，即c＝a，
∴b2＝c2－a2＝a2，
11
高中资料公众号：网盘网课资源
∴双曲线方程为x2－y2＝a2，
将(4，－)代入得，a2＝16－10＝6，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)证明 由(1)知，F1(－2，0)，F2(2，0)，
∵M(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2＝3，
以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，
将M(3，m)代入得9＋3＝12，
∴M 在以F1F2为直径的圆上．
(3)解 由(2)知，点M 坐标为(3，)或(3，－)，
∵点M 在第一象限，
∴M 的坐标为(3，)，直线MF2的方程为y－＝(x－3)＝－(2＋)(x－3)，
即y＝(－2－)x＋(6＋4)，
代入双曲线方程整理可得(6－4)y2－4(2－)y＋6＝0，
∵M 的纵坐标为，
∴N 的纵坐标为＝＝－(＋2)，
∴△F1MN 的面积为S＝|F1F2|·(＋＋2)＝2×(2＋2)＝12＋4.
11．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆＋＝1 有相同的焦距，一条渐近线方程
为x－y＝0，则C 的方程为( )
A.－y2＝1 或y2－＝1
B．x2－＝1 或y2－＝1
C.－y2＝1 或－x2＝1
D．x2－＝1 或－x2＝1
答案 A
解析 在椭圆＋＝1 中，c＝＝2，
∴焦距2c＝4.
∵C 的一条渐近线方程为x－y＝0，
∴设C 的方程为－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为－＝1.
当λ>0 时，c＝＝2，解得λ＝1，则C 的方程为－y2＝1；
当λ<0 时，c＝＝2，解得λ＝－1，则C 的方程为y2－＝1.
综上，C 的方程为－y2＝1 或y2－＝1.
12．(2022·徐州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1 的左、右焦点，以线段F1F2为直径
12
高中资料公众号：网盘网课资源
的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于A，B 两点，若A，B 两点的横坐标之比是∶，
则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 过点A 作AF⊥x 轴，垂足为F，过点B 作BE⊥x 轴，垂足为E，如图所示．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|OB|＝|OF2|＝c，
由渐近线的方程y＝x 可知y2＝x2，
在Rt△OBE 中，x＋x＝c2，解得x2＝a(舍负)，
由已知得x1∶x2＝∶，即x1＝a，即|AF|2＝c2－2＝c2－a2，
因为离心率e>，
所以c2－a2>0，
则点A 的坐标为，
代入双曲线方程可得－＝1，化简得2a2＝c2，即e＝.
13．(2022·枣庄模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B 为双曲线在
第二象限上的一点，B 关于坐标原点O 的对称点为C，直线CA 与直线BF 的交点M 恰好为
线段BF 的中点，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．3 C. D.
答案 B
解析 如图，设B(m，n)，
则C(－m，－n)，
易知A(a,0)，F(c,0)，
由M 为线段BF 的中点得M，
又M 在直线CA 上，
13
高中资料公众号：网盘网课资源
故CA，AM共线，
又CA＝(a＋m，n)，AM＝，
故(a＋m)·＝n·，
整理得c＝3a，
故离心率e＝＝3.
14．(多选)(2022·湖南联考)已知双曲线E：－y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，
F2(c,0)，过点F2作直线与双曲线E 的右支相交于P，Q 两点，在点P 处作双曲线E 的切线，
与E 的两条渐近线分别交于A，B 两点，则下列命题中正确的是( )
A．若|PF1|·|PF2|＝2，则PF1·PF2＝0
B．若＝，则双曲线的离心率e∈(1，＋1]
C．△F1PQ 周长的最小值为8
D．△AOB(O 为坐标原点)的面积为定值
答案 ACD
解析 由题意知|PF1|－|PF2|＝2a，a2＋1＝c2，则|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4a2，所以有|
PF1|2＋|PF2|2＝4a2＋4＝4c2＝|F1F2|2，从而PF1⊥PF2，即PF1·PF2＝0，故A 正确；
在△PF1F2中，由正弦定理得＝，则＝＝，解得|PF1|＝|PF2|.
又|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝>c－a，整理得c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，解得
1<e<＋1，故B 错误；
当直线PQ⊥x 轴时，|PQ|的最小值为，
|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋2a＋|QF2|＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4a＋≥8(当且仅当a＝1 时取等
号)，故C 正确；
设P(x0，y0)，过点P 的双曲线E 的切线方程为x－y0y＝1，E 的渐近线方程为y＝±x，不妨设
切线x－y0y＝1 与渐近线y＝x 的交点为A，联立方程组解得
即A，
同理可得B.
又因为点P 在双曲线E 上，则有－y＝1，xA＋xB＝＋＝2x0，故点P 是AB 的中点．设切线x
－y0y＝1 与x 轴的交点为G，易知G，所以S△AOP＝·|yA－y0|＝·＝，所以S△AOB＝2S△AOP＝a，
故D 正确．
14
