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专题4 数列及其应用
01 专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02 考情分析·解密高考
03 高频考点·以考定法（五大命题方向+五道高考预测试题，高考必考10-15 分）
命题点1 等差数列及性质
命题点2 等比数列及性质
命题点3 等差等比数列综合
命题点4 数列情景题
命题点5 数列求和
高考猜题
04 创新好题·分层训练（ 精选8 道最新名校模拟试题+8 道易错提升）
一、一般数列性质：
单调性：递增数列：
an+1>an ；递减数列：
an+1<an ；常数列：
an+1=an；最大项
.
二、等差数列及性质
1．定义式：an+1−an=d （递推公式）
2．等差中项：若a，b，c成等差数列，则2b=a+c
∀相邻三项，2an=an+1+an−1
3．通项公式：an=a1+(n−1)d （累加法）
从函数角度理解：an= An+ B，其中A =d，B =a1−d
推广：an=am+(n−m)d
4．{an}为等差数列，Sn为其前n项和
性质1：若m+n= s+t，则am+an=as+at
特殊的，若m+n=2t，则am+an=2at
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性质2：am，am+k，am+2k，am+3k，⋯仍成等差数列.
性质3：Sm，S2m−Sm，S3m−S2m，⋯仍成等差数列.
5．前n项和：Sn= n(a1+an)
2
=na1+ n(n+1)
2
d （倒序相加法）
从函数角度理解：Sn= A n
2+ Bn，其中A = d
2 ，B =a1+ d
2
6．单调性：d >0，单调递增；d <0，单调递减；d =0，常函数
7．Sn最值问题：
法一： Sn最值问题可由Sn= A n
2+ Bn二次函数求最值的角度考虑.
法二： 若a1>0, d >0，Sn的最小值为S1，Sn无最大值；
若a1>0, d <0，Sn的最大值为项的正负分界处（an≥0成立的最大的n），Sn无最小值；
若a1<0, d <0，Sn的最大值为S1，Sn无最小值；
若a1<0, d >0，Sn的最小值为项的正负分界处（an≤0成立的最大的n），Sn无最大值.
法三：解不等式组Sn≥Sn−1，Sn≥Sn+1（n≥2，n∈N
∗），即可求得Sn最大值；
解不等式组Sn≤Sn−1，Sn≤Sn+1（n≥2，n∈N
∗），即可求得Sn最小值.
8．判断等差数列的方法：
﹡定义法 ﹡等差中项法 ﹡通项公式法 ﹡前n项和公式法
三、等比数列及性质：
1．定义式：an+1÷ an=d （递推公式）
2．等比中项：若a，b，c成等比数列，则b
2=ac
∀相邻三项，an
2=an+1an−1
3．通项公式：an=a1q
n−1 （累乘法） 推广：an=amq
n−m
4．{an}为等比数列，Sn为其前n项和
性质1：若m+n= s+t，则aman=asat
特殊的，若m+n=2t，则aman=at
2
性质2：am，am+k，am+2k，am+3k，⋯仍成等比数列.
性质3：Sm，S2m−Sm，S3m−S2m，⋯仍成等比数列.
5．前n项和：Sn= a1(1−q
n)
1−q
= a1−anq
1−q
（q≠1）（错位相减法）
Sn=na1 （q =1）
6．单调性：
若a1>0, q>1，单调递增；
若a1>0, 0<q<1，单调递减；
若a1<0, q>1，单调递减；
若a1<0, 0< q<1，单调递增；
若q =1，常数列；
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若q<0，摆动数列.
四、数列综合问题：
1．求通项公式：
（1）猜想-----证明法
根据条件猜想通项公式，再验证或证明其符合题意.
（2）an与Sn关系法：
由an={
S1, n=1
Sn−Sn−1, & n≥2，可根据Sn求通项公式.
（3）累加法：an+1−an= f (n)
（4）累乘法：an+1÷ an= f (n)
（5）构造法：
1※构造等比数列※ 形如：an+1−2an=3
待定系数法 an+1+t =2(an+t ) 得t =3 即an+1+3=2(an+3)
2※构造等比数列※ 形如：an+1−2an=n−1
待定系数法 an+1+(n+1)=2(an+n)
3※构造等差数列※ 形如：an+1−2an=2
n+1
等式两边同时除以2
n+1，即得
an+1
2
n+1 −an
2
n =1
4※构造等比数列※ 形如：an+1−3an=2
n+1
等式两边同时除以2
n+1，得到
an+1
2
n+1 −3
2 × an
2
n =1 ， 即转化为1※
5※构造等差数列※ 形如：an−an+1=2anan+1
等式两边同时除以anan+1，得到1
an+1
−1
an
=2
6※构造等比数列※ 形如：an+1=e an
2
等式两边同时取对数，得ln an+1=2ln an+1，即转化为1※
2．数列求和方法：
（1）公式求和法
﹡等差、等比数列直接用公式求和
∑
i=1
n
n=1+2+3+⋯+n= n(n+1)
2
∑
i=1
n
n
2=1
2+2
2+3
2+⋯+n
2= n(n+1)(2n+1)
6
（2）倒序相加法
距首位两端等距的两项和相等
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（3）错位相减法
差比数列：形如an=bn∙cn，其中{bn}为等差数列，{cn}为等比数列.
（4）裂项相消法
形如an=
1
bnbn+1
，其中{bn}为等差数列，设公差为d
an=
1
bnbn+1
= 1
d(
1
bn
−1
bn+1)
形如an=
1
√n+1+√n，可用分母有理化进行裂项
（5）分组求和法
通项公式有若干个等差数列、等比数列或可求和的数列组成，可分别求和后再相加. 如：
an=
1
n(n+1) +2n+2
n
（6）并项求和法
形如an=(−1)
n f (n)，可两两结合求和的数列.
数列是高考中必考点，一般以1+1 或者是2+1 形式出现，主要考查等
差等比数列及其性质应用
真题多维细目表
考点
考向
考题
等差等比数列
应用
①
等差数
列性质
②
等比数
列及性质
2023 新全国Ⅰ卷T7 全国乙T10 全国甲T5
2022 全国乙卷T13
2021 全国甲卷T18 全国ⅡT17
2023 新高考Ⅱ卷85 全国乙卷T15 全国甲卷T13 T5
2022 全国乙卷T10 T8
2021Q 全国甲卷T7
2023 全国乙卷T10
2022 全国甲卷T18 新高考Ⅱ T17
2021 全国乙卷T19
2022 新高考Ⅱ卷T3 全国乙卷T4
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③等差等比数列综合
④数列情景题
⑤数列求和
2020 新高考Ⅱ卷T4
2023 新高考ⅠT20 新高考ⅡT18 乙卷T18 甲卷T17
2022 新高考ⅠT17
2021 全国乙卷T19 甲卷T9 T18 新高考ⅠT17
新高考ⅡT17
命题点1 等差数列及其性质
典例01 （2023·全国乙卷）已知等差数列
的公差为
，集合
，若
，则
（ ）
A．－1
B．
C．0
D．
【答案】B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
【详解】依题意，等差数列
中，
，
显然函数
的周期为3，而
，即
最多3 个不同取值，又
，
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则在
中，
或
，
于是有
，即有
，解得
，
所以
，
.
故选：B
典例02（2023·全国·统考甲卷）记
为等差数列
的前
项和．若
，则
（ ）
A．25
B．22
C．20
D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列
的公差和首项，再根据前
项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列
的公差，再根据前
项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列
的公差为
，首项为
，依题意可得，
，即
,
又
，解得：
，
所以
．
故选：C.
方法二：
，
，所以
，
，
从而
，于是
，
所以
．
故选：C.
命题点2 等比数列及性质
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典例01 （2023·全国·统考高考Ⅱ卷）记
为等比数列
的前n 项和，若
，
，则
（ ）．
A．120
B．85
C．
D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n 项和公式求出公比，再根据
的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n 项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列
的公比为
，首项为
，
若
，则
，与题意不符，所以
；
若
，则
，与题意不符，所以
；
由
，
可得，
，
①，
由①可得，
，解得：
，
所以
．
故选：C．
方法二：设等比数列
的公比为
，
因为
，
，所以
，否则
，
从而，
成等比数列，
所以有，
，解得：
或
，
当
时，
，即为
，
易知，
，即
；
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当
时，
，
与
矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握
的关
系，从而减少相关量的求解，简化运算．
典例02 （2023·全国·统考高考乙卷）已知
为等比数列，
，
，则
.
【答案】
【分析】根据等比数列公式对
化简得
，联立
求出
，最后得
.
【详解】设
的公比为
，则
，显然
，
则
，即
，则
，因为
，则
，
则
，则
，则
，
故答案为：
.
命题点3 等差等比数列综合
典例01（2022·全国·统考高考甲卷）记
为数列
的前n 项和．已知
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
成等比数列，求
的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
．
【分析】（1）依题意可得
，根据
，作差即可得到
，从而
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得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出
，即可得到
的通项公式与前
项和，再根据二次函数的
性质计算可得．
【详解】（1）因为
，即
①，
当
时，
②，
①
②得，
，
即
，
即
，所以
，
且
，
所以
是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得
，
，
，
又
，
，
成等比数列，所以
，
即
，解得
，
所以
，所以
，
所以，当
或
时，
．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得
，
，
，
又
，
，
成等比数列，所以
，
即
，解得
，
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所以
，即有
.
则当
或
时，
．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出
的最小值，适用于可以求出
的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
典例02 （2022·全国新高考Ⅱ卷）已知
为等差数列，
是公比为2 的等比数列，且
．
(1)证明：
；
(2)求集合
中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【分析】（1）设数列
的公差为
，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得
，即可解出．
【详解】（1）设数列
的公差为
，所以，
，即可解得，
，所以
原命题得证．
（2）由（1）知，
，所以
，即
，亦即
，解得
，所以满足等式的解
，故集合
中的元素个数为
．
命题点4 数列情景题
典例01 （2022·全国·统考Ⅱ）图1 是中国古代建筑中的举架结构，
是桁，相邻桁的
水平距离称为步，垂直距离称为举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举，
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是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
．已知
成公差为0.1 的等差数列，且直线
的斜率为0.725，则
（ ）
A．0.75
B．0.8
C．0.85
D．0.9
【答案】D
【分析】设
，则可得关于
的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设
，则
，
依题意，有
，且
，
所以
，故
，
故选：D
典例02 （2022·全国·统考乙卷题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第
一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列
：
，
，
，…，依此类推，其中
．则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】[方法一]:常规解法
因为
，
所以
，
，得到
，
同理
，可得
，
又因为
，
故
，
；
以此类推，可得
，
，故A 错误；
，故B 错误；
，得
，故C 错误；
，得
，故D 正确.
[方法二]：特值法
不妨设
则
故D 正确.
命题点5 数列求和
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典例01．（2023·全国·统考Ⅱ卷）已知
为等差数列，
，记
，
分别为数列
，
的前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列
的公差为
，用
表示
及
，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出
，
，再分奇偶结合分组求和法求出
，并与
作差比较作答；方
法2，利用（1）的结论求出
，
，再分奇偶借助等差数列前n 项和公式求出
，并与
作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，而
，
则
，
于是
，解得
，
，
所以数列
的通项公式是
.
（2）方法1：由（1）知，
，
，
当
为偶数时，
，
，
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当
时，
，因此
，
当
为奇数时，
，
当
时，
，因此
，
所以当
时，
.
方法2：由（1）知，
，
，
当
为偶数时，
，
当
时，
，因此
，
当
为奇数时，若
，则
，显然
满足上式，因此当
为奇数时，
，
当
时，
，因此
，
所以当
时，
.
典例02 （2023·全国·统考乙卷）记
为等差数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解
，进而可得结果；
（2）先求
，讨论
的符号去绝对值，结合
运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为
，
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由题意可得
，即
，解得
，
所以
，
（2）因为
，
令
，解得
，且
，
当
时，则
，可得
；
当
时，则
，可得
；
综上所述：
.
典例03 （2023·全国·统考甲卷）设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为
，
当
时，
，即
；
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当
时，
，即
，
当
时，
，所以
，
化简得：
，当
时，
，即
，
当
时都满足上式，所以
．
（2）因为
，所以
，
，
两式相减得，
，
，即
，
．
典例04 （2022·全国·统考Ⅰ卷）记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）∵
，∴
,∴
,
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①裂项求和常见类型有：
分式型：
，
，
，
，
等；
指数型：
，
等；
摆动型：
；
根式型：
等；
对数型：
，
且
；
又∵
是公差为
的等差数列，
∴
,∴
,
∴当
时，
，
∴
,
整理得：
,即
,
∴
，
显然对于
也成立，∴
的通项公式
；
（2）
∴
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预计2024 年高考中数列也会是以等差等比求和的形式出现解答题与小题，小题将是
以等差与等比结合的性质，解答题将是数列求和的形式出现
1．设等比数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．3
B．9
C．12
D．15
【答案】B
【分析】根据条件列出关于首项和公比的方程组，求出首项和公比，然后根据等比数列前n 项和公式计算
即可求解.
【详解】由
，得
，解得
，
，
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所以
.
故选：B.
2．若
成等差数列；
成等比数列，则
等于
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可．
【详解】若1，a1，a2，4 成等差数列，4＝1+3d，d＝1，
∴a1﹣a2＝﹣1．
又1，b1，b2，b3，4 成等比数列，b2
2＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2 舍去（等比数列奇数项的符号相同）．
∴
故答案为A．
3．已知各项均为正数的数列
的前n 项和为
，且
，
（
且
）．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
．
【详解】（1）当
时，
，
即
，解得
．
因为
（
），
所以
（
），
又
（
，
），
，
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所以
（
），
又
，
所以数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
，所以
．
当
时，
，
当
时，
，满足上式，
所以数列
的通项公式为
．
（2）由（1）知
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
．
4．已知正项数列
的前n 项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，若数列
满足
，求
的前n 项和．
【答案】(1)
(2)
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【详解】（1）因为
，且
，则
，
可知数列
为常数列，且
，
则
，即
，
当
时，
，
且
也符合上式，所以
.
（2）由（1）可得
，则
，
设
的前n 项和为
，
则
，
所以
的前n 项和为
.
5．已知数列
的前
项和为
，
，当
时，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
，求数列
的前
项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，当
时，
，且
，
若
，则
，即
，
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当
时，
，
两式相减得，
，整理得
，即
，
所以
.综上所述，
.
（2）因为
，
设数列
的前
项和为
，
当
时，
，
当
时，
，此时
时适合上式，所以
.
（★精选8 道最新名校模拟考试题+8 道易错提升）
一、单选题
1．（2023 上·广东·高三执信中学校联考期中）已知等差数列
和
的前n 项和分别为
，
，若
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
A·新题速递
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【分析】根据等差中项与等差数列前
项和得出
，
，即可代入已知得出答案.
【详解】由等差数列的性质可得：
，
，
则
，即
，
，
故选：C.
2．（2023 上·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考开学考试）已知公比为2 的等比数列
的前n 项和
为
，且
，
，
成等差数列，则
（ ）
A．64
B．63
C．126
D．128
【答案】B
【分析】根据三项成等差数列，利用等比中项列出等量关系，再结合等比数列定义，即可求得首项和公比，
代入求和公式即可.
【详解】由于
，
，
成等差数列，所以
，即
，
所以
，解得
，所以
.
故选：B.
3．（2023·山东济南·高三山东师范大学附中校考阶段练习）已知数列
满足
且
，
则
（ ）
A．-3
B．3
C．
D．
【答案】B
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【分析】由已知可得数列
是以2 为公差的等差数列，再
，代入可得选项.
【详解】
,∴数列
是以2 为公差的等差数列，
，
，
，
，
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列的定义，等差数列的项的关系，属于基础题.
4．（2023·江西·校联考模拟预测）在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚六尺，
两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙六尺，两只
老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减
半.问几天后两鼠相遇？（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由于前两天大鼠打1+2 尺,小鼠打1+
尺，因此前两天两鼠共打3+1.5=4.5.
第三天,大鼠打4 尺,小鼠打
尺，因此第三天相遇．
设第三天，大鼠打y 尺，小鼠打1.5−y 尺，
则
,解得
.
相见时大鼠打了
尺长的洞,用了
天，
小鼠打了
尺长的洞，用了
天，
即
天后两鼠相遇.
本题选择A 选项.
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二、解答题
5．（2023 上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考期中）记正项数列
的前
项和为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
，数列
的前
项和为
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，所以
，
将上述两式相减得：
，由于
是正项数列，
当
时，
，因为
，所以
或
(舍去)，
所以
，
所以可得：
，故数列
是首项为1，公差为2 的等差数列，
所以
；
（2）因为
，结合（1）的结论可得
，
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.
6．（2023·河南·统考三模）已知数列
的前n 项和为
，
，
．
(1)求数列
的通项
；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，两边同时除以
，
所以
，所以
，
所以
是以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
，所以
，
当
时，
，
当
时，
也满足上式，
所以
.
（2）由（1）可得，
，
则
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.
7．（2023 上·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）已知数列
满足
，
，记
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设数列
的前n 项和为
，求数列
的前n 项的和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，得到
，结合
，得出
，即可求解；
（2）由（1），求得
，得到
，分
为偶数和
为奇数，结合等差数
列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）证明：因为数列
满足
，
，可得
，
又因为
，即
，且
，
所以数列
表示首项为，公差为
的等差数列.
（2）解：由（1），可得数列
的通项公式为
，可得
，
所以
当
为偶数时，
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；
当
为奇数时，
，
所以数列
的前
项和为：
.
8．（2023 上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列
满足
（
，且
，
．求：
(1)数列
的通项公式
(2)数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
．
【详解】（1）数列
满足
，根据等比数列定义可知
为等比数列，又
，
设公比为
，则
，所以
所以
，
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故
．所以数列
的通项公式为
（2）由（1）可得
．
；所以
.
一、单选题
1．（2023 上·广东肇庆·高三统考阶段练习）记
为等比数列
的前
项和，若
，
，
则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】根据条件列出关于首项和公比的方程组，求出首项和公比即可求解.
【详解】由
，得
，解得
，
，
.故选：C.
2．（2023 上·河南三门峡·高三陕州中学校考阶段练习）已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，
，
成等差数列，则
的最小值为（ ）
B·易错提升
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A．8
B．9
C．10
D．12
【答案】D
【分析】借助等比数列的片段和性质得出
与
的关系，再借助基本不等式即可得到.
【详解】根据等比数列的片段和性质有
，
由
，
，
成等差数列，有
，
即
，故有
，又因为数列为正项等比数列，则
，
即
，
当且仅当
时，等号成立.
故选：D.
3．（2023 上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）在递增的等差数列
中，首项为，若
，
，
依次成等比数列，则
的公差为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】运用等比中项性质及等差数列通项公式计算即可.
【详解】设等差数列
的公差为d（
），
由题意知，
，
，
所以
，即
，
解得
或
，
因为
，
所以
.
故选：C.
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4．（2023 上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）已知数列
成等差数列，
成等比数列，则
的值是（ ）
A．
B．
C．-1
D．1
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式计算即得.
【详解】依题意，
，所以
.
故选：A
二、解答题
5．（2023 上·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知数列
满足
.
(1)证明：数列
是等比数列.
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析(2)
.
【详解】（1）证明：因为
，
所以
.又
，所以
，
所以数列
是等比数列，且首项为4，公比为2.
（2）解：由（1）知
，
即
，则
.
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，
，
则
，
所以
.
6．（2023 上·上海松江·高三统考期末）已知数列
为等差数列，
是公比为
的等比数列，且
．
(1)证明：
；
(2)若集合
，求集合
中的元素个数．
【答案】(1)证明见解析(2)6
【详解】（1）证明：设数列
的公差为
，则
，
即
，
解得
，所以原命题得证.
（2）由（1）知
，所以
，
因为
，所以
，解得
,
由
，
，故
，即
，
所以满足等式的解
．
故集合
中的元素个数为6.
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7．（2023 上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）
，
是正项等比数列．且
，且
，
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
【答案】(1)
；(2)
.
【详解】（1）因为
，
是正项等比数列．且
，
所以
，即
，所以
，
又因为
，所以
，解得
，
所以
的通项公式为：
.
（2）结合题意:
,得到
，
所以
，
当
时，
，
;
当
时，
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，
，
综上所述：
.
8．（2023 上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知等差数列
的前
项和为
，且满足
，数列
满足
．
(1)证明：数列
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)已知数列
满足
求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析；
，
(2)
【分析】（1）设数列
的公差为
，根据题意求得
和
，得到
，得到
，再由
，得到
为等比数列，进而得到数列
的通项公式；
（2）由（1）得到
，结合分组求和，即可求解.
【详解】（1）解：依题意，设数列
的公差为
，
因为
，所以
，则
，
因为
，即
，所以
，
所以
，所以
，即
．
所以
，所以
，
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又因为
，所以
，故数列
是首项为，公比为的等比数列，
所以
，所以
．
（2）解：由（1）知
，
，可得
，
所以
．
