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三年专题11 平面向量
1．【2022 年全国乙卷】已知向量⃑a=(2,1)，⃑b=(−2,4)，则|⃑a−⃑b|（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得⃑a−⃑b，然后求得|⃑a−⃑b|.
【详解】
因为⃑a−⃑b=(2,1)−(−2,4)=(4 ,−3)，所以|⃑a−⃑b|=√4
2+(−3)
2=5.
故选：D
2．【2022 年全国乙卷】已知向量⃑a,⃑b满足|⃑a|=1,|⃑b|=√3,|⃑a−2⃑b|=3，则⃑a⋅⃑b=
（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
解：∵|⃗a−2⃗b|
2=|⃗a|
2−4⃗a⋅⃗b+ 4|⃗b|
2，
又∵|⃗a|=1,|⃗b|=√3,|⃗a−2⃗b|=3,
∴9=1−4⃗a⋅⃗b+ 4×3=13−4⃗a⋅⃗b，
∴⃗a⋅⃗b=1
故选：C.
3．【2022 年新高考1 卷】在△ABC中，点D 在边AB 上，BD =2 DA．记⃑CA =⃗m，⃑CD =⃗n，则⃑CB =
（ ）
A．3⃗m−2⃗n
B．−2⃗m+3⃗n
C．3⃗m+2⃗n
D．2⃗m+3⃗n
【答案】B
【解析】
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【分析】
根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】
因为点D 在边AB 上，BD =2 DA，所以⃑BD =2⃑DA，即⃑CD−⃑CB =2(⃑CA −⃑CD)，
所以⃑CB = 3⃑CD−2⃑CA =3⃑n−2⃑m =−2⃗m+3⃗n．
故选：B．
4．【2022 年新高考2 卷】已知向量⃑a=(3,4),⃑b=(1,0),⃑c =⃑a+t⃑b，若<⃑a,⃑c>=<⃑b,⃑c>，则t =
（ ）
A．−6
B．−5
C．5
D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】
解：⃗c =(3+t ,4),cos ⟨⃗a,⃗c⟩=cos ⟨b,⃗c⟩,即9+3t +16
5|⃗c|
= 3+t
|⃗c| ,解得t =5,
故选：C
5．【2020 年新课标2 卷文科】已知单位向量
，
的夹角为60°，则在下列向量中，与
垂直的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】
由已知可得：
.
A：因为
，所以本选项不符合题意；
B：因为
，所以本选项不符合题意；
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C：因为
，所以本选项不符合题意；
D：因为
，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直
这一性质，考查了数学运算能力.
6．【2020 年新课标3 卷理科】已知向量
，
满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
计算出
、
的值，利用平面向量数量积可计算出
的值.
【详解】
，
，
，
.
，
因此，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算
能力，属于中等题.
7．【2020 年新高考1 卷（山东卷）】已知P 是边长为2 的正六边形ABCDEF 内的一点，则
的取
值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到
在
方向上的投影的取值范围是
，利用
向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到
在
方向上的投影的取值范围是
，
结合向量数量积的定义式，
可知
等于
的模与
在
方向上的投影的乘积，
所以
的取值范围是
，
故选：A.
【点睛】
该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，
属于简单题目.
8．【2020 年新高考2 卷（海南卷）】在
中，D 是AB 边上的中点，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
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根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】
本题考查的是向量的加减法，较简单.
9．【2021 年新高考1 卷】已知
为坐标原点，点
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
A、B 写出
，
、
，
的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D 根据向量的坐标，应
用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】
A：
，
，所以
，
，故
，正确；
B：
，
，所以
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，同理
，故
不一定相等，错误；
C：由题意得：
，
，正确；
D：由题意得：
，
，故一般来说
故错误；
故选：AC
10．【2022 年全国甲卷】已知向量⃑a=(m,3),⃑b=(1,m+1)．若⃑a⊥⃑b，则m=______________．
【答案】−3
4 ##−0.75
【解析】
【分析】
直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】
由题意知：⃑a⋅⃑b=m+3(m+1)=0，解得m=−3
4 .
故答案为：−3
4 .
11．【2022 年全国甲卷】设向量⃑a，⃑b的夹角的余弦值为1
3，且|⃑a|=1，|⃑b|=3，则(2⃑a+⃑b)⋅⃑b=_________．
【答案】11
【解析】
【分析】
设⃑a与⃑b的夹角为θ，依题意可得cosθ = 1
3，再根据数量积的定义求出⃑a⋅⃑b，最后根据数量积的运算律计算
可得．
【详解】
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解：设⃑a与⃑b的夹角为θ，因为⃑a与⃑b的夹角的余弦值为1
3，即cosθ = 1
3，
又|⃑a|=1，|⃑b|=3，所以⃑a⋅⃑b=|⃑a|⋅|⃑b|cosθ =1×3× 1
3 =1，
所以(2⃑a+⃑b)⋅⃑b=2⃑a⋅⃑b+⃑b
2=2⃑a⋅⃑b+|⃑b|
2=2×1+3
2=11．
故答案为：11．
12．【2021 年甲卷文科】若向量
满足
，则
_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题目条件，利用
模的平方可以得出答案
【详解】
∵
∴
∴
.
故答案为：
.
13．【2021 年甲卷理科】已知向量
．若
，则
________．
【答案】
.
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算法则求得向量
的坐标，利用向量的数量积为零求得
的值
【详解】
,
，解得
,
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故答案为：
.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量
垂
直的充分必要条件是其数量积
.
14．【2021 年乙卷文科】已知向量
，若
，则
_________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量平行的充分必要条件得到关于
的方程，解方程即可求得实数
的值.
【详解】
由题意结合向量平行的充分必要条件可得：
，
解方程可得：
.
故答案为：
.
15．【2021 年乙卷理科】已知向量
，若
，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为
，所以由
可得，
，解得
．
故答案为：
．
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【点睛】
本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设
，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
16．【2021 年新高考2 卷】已知向量
，
，
，
_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可得
，展开化简后可得结果.
【详解】
由已知可得
，
因此，
.
故答案为：
.
17．【2020 年新课标1 卷理科】设
为单位向量，且
，则
______________.
【答案】
【解析】
【分析】
整理已知可得：
，再利用
为单位向量即可求得
，对
变形可得：
，问题得解.
【详解】
因为
为单位向量，所以
所以
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解得：
所以
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
18．【2020 年新课标1 卷文科】设向量
，若
，则
______________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
【详解】
由
可得
，
又因为
，
所以
，
即
，
故答案为：5.
【点睛】
本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
19．【2020 年新课标2 卷理科】已知单位向量
,
的夹角为45°，
与
垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.
【详解】
由题意可得：
，
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由向量垂直的充分必要条件可得：
，
即：
，解得：
.
故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
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