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必刷小题10 平面向量与复数
一、单项选择题
1．(2022·临沂模拟)设向量a＝(1，x)，b＝(x,9)，若a∥b，则x 等于( )
A．－3 B．0 C．3 D．3 或－3
答案 D
解析 由a∥b，得9－x2＝0，所以x＝±3.
2．(2023·长沙模拟)设z(1－2i)＝|3＋4i|，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 D
解析 因为z(1－2i)＝|3＋4i|＝＝5，
所以z＝＝＝＝1＋2i，
所以z 的共轭复数为1－2i，它在复平面内对应的点(1，－2)在第四象限．
3．已知向量a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．0
答案 B
解析 因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.
4．(2022·聊城模拟)若向量a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a＋b)，则a 与b 的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题可知，|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝0⇒a·b＝－1，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∵〈a，b〉∈[0，π]，∴向量a 与b 的夹角为.
5.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB，AC 于不同的两点
M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n 等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 如图，连接AO，由O 为BC 的中点可得，AO＝(AB＋AC)＝AM＋AN，
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∵M，O，N 三点共线，∴＋＝1，即m＋n＝2.
6．定义：|a×b|＝|a|·|b|sin θ，其中θ 为向量a 与b 的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|
a×b|等于( )
A．8 B．－8 C．8 或－8 D．6
答案 A
解析 由已知可得cos θ＝＝－，
∵0≤θ≤π，∴sin θ＝＝，
∴|a×b|＝|a|·|b|sin θ＝8.
7．(2023·日照模拟)已知△ABC 是边长为1 的等边三角形，点D，E 分别是边AB，BC 的中
点，且DE＝3EF，则AF·BC的值为( )
A．－ B. C．1 D．－8
答案 B
解析 如图所示，把△ABC 放在直角坐标系中，
由于△ABC 的边长为1，故B(0,0)，C(1,0)，A，∵点D，E 分别是边AB，BC 的中点，
∴D，E，设F(x，y)，DE＝，EF＝，∵DE＝3EF，∴⇒⇒F，AF＝，BC＝(1,0)，AF·BC＝.
8．(2023·岳阳模拟)在一个边长为2 的等边△ABC 中，若点P 是平面ABC 内的任意一点，则
PA·PC的最小值是( )
A．－ B．－ C．－1 D．－
答案 C
解析 如图，以AC 为x 轴，AC 中点为原点建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，C(1,0)，
设P(x，y)，则PA＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，
∴PA·PC＝x2－1＋y2＝x2＋y2－1≥－1，当且仅当P 在原点时，取等号．
故PA·PC的最小值是－1.
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二、多项选择题
9．(2022·潍坊模拟)若复数z1＝2＋3i，z2＝－1＋i，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是
( )
A.∈R
B.＝·
C．若z1＋m(m∈R)是纯虚数，那么m＝－2
D．若，在复平面内对应的向量分别为OA，OB(O 为坐标原点)，则|AB|＝5
答案 BC
解析 对于A，＝＝＝＝－i，A 错误；
对于B，∵z1·z2＝(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i，∴＝－5＋i；
又·＝(2－3i)(－1－i)＝－5＋i，∴＝·，B 正确；
对于C，∵z1＋m＝2＋m＋3i 为纯虚数，∴m＋2＝0，解得m＝－2，C 正确；
对于D，由题意得OA＝(2，－3)，OB＝(－1，－1)，∴AB＝OB－OA＝(－3,2)，
∴|AB|＝＝，D 错误．
10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n 均为正数，且(a－
b)∥c，则下列说法正确的是( )
A．a 与b 的夹角为钝角
B．向量a 在b 上的投影向量为b
C．2m＋n＝4
D．mn 的最大值为2
答案 CD
解析 对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，
则a·b＝2－1＝1>0，又a，b 不共线，
所以a，b 的夹角为锐角，故A 错误；
对于B，向量a 在b 上的投影向量为
·＝b，B 错误；
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C 正确；
对于D，由2m＋n＝4，且m，n 均为正数，
得mn＝(2m·n)≤2＝2，当且仅当m＝1，n＝2 时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．
11．瑞士数学家欧拉在1765 年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形
的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一
半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC 中，点O，H，G 分别是外心、垂心、重心．
下列四个选项中结论正确的是( )
A.GH＝2OG
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B.GA＋GB＋GC＝0
C．设BC 边的中点为D，则有AH＝3OD
D.OA＝OB＝OC
答案 AB
解析 如图，
对于A 项，由题意得AG＝2GD，AH⊥BC，
所以GH＝2OG，所以A 选项正确；
对于B 项，设D 为BC 的中点，
GB＋GC＝2GD＝－GA，
所以GA＋GB＋GC＝0，所以B 选项正确；
对于C 项，因为D 为BC 的中点，G 为△ABC 的重心，
所以AG＝2GD，GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，
所以△AGH∽△DGO，
所以AH＝2OD，故C 选项错误；
对于D 项，向量OA，OB，OC的模相等，方向不同，故D 选项错误．
12．(2023·潍坊模拟)已知向量OP＝(1,2)，将OP绕原点O 旋转－30°，30°，60°到OP1，
OP2，OP3的位置，则下列说法正确的是( )
A.OP1·OP3＝0
B．|PP1|＝|PP2|
C.OP·OP3＝OP1·OP2
D．点P1的坐标为
答案 ABC
解析 由题意作图如图所示，
∵OP1⊥OP3，∴OP1·OP3＝0，故选项A 正确；
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∵PP1与PP2所对的圆心角相等，∴|PP1|＝|PP2|，故选项B 正确；
∵OP·OP3＝|OP||OP3|cos 60°＝.
OP1·OP2＝|OP1||OP2|cos 60°＝，故选项C 正确；
若点P1坐标为，
则|OP1|＝≠，故选项D 错误．
三、填空题
13．设{e1，e2}为基底，已知向量AB＝e1－ke2，CB＝2e1－e2，CD＝3e1－3e2，若A，B，D 三
点共线，则k 的值是________．
答案 2
解析 因为AB＝e1－ke2，CB＝2e1－e2，CD＝3e1－3e2，
所以BD＝CD－CB＝e1－2e2，
若A，B，D 三点共线，则AB∥BD，
所以存在实数λ 使得AB＝λBD，
故e1－ke2＝λ(e1－2e2)，所以λ＝1，k＝2.
14．已知i 是虚数单位，则＝________.
答案
解析 因为i2 021＝i，2 022＝2 022＝2 022＝i2 022＝i2＝－1，
所以＝|－1＋i|＝＝.
15.(2022·泰安模拟)如图，在四边形ABCD 中，AB＝3DC，E 为边BC 的中点，若AE＝λAB＋
μAD，则λ＋μ＝________.
答案
解析 连接AC，如图所示，
AE＝AB＋AC＝AB＋(AD＋DC)＝AB＋，
所以AE＝AB＋AD，
则λ＋μ＝＋＝.
16．(2023·济宁模拟)等边△ABC 的外接圆的半径为2，点P 是该圆上的动点，则PA·PB＋
PB·PC的最大值为________．
答案 8
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解析 ∵△ABC 为等边三角形，其外接圆的半径为2，
∴以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(2,0)，B(－1，)，C(－1，－)，
设P(2cos θ，2sin θ)，
则PA＝(2－2cos θ，－2sin θ)，PB＝(－1－2cos θ，－2sin θ)，PC＝(－1－2cos θ，－－
2sin θ)，
则PA·PB＋PB·PC＝(2－2cos θ)(－1－2cos θ)＋2sin θ(2sin θ－)＋(2cos θ＋1)2＋(2sin θ－)
(2sin θ＋)＝4＋2cos θ－2sin θ＝4＋4cos，
∴0≤PA·PB＋PB·PC≤8，
则PA·PB＋PB·PC的最大值为8.
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