学科网（北京）股份有限公司
三年专题04 导数及其应用（解答题）
（文科专用）
1．【2022 年全国甲卷】已知函数f ( x)= x
3−x ,g( x)= x
2+a，曲线y = f ( x)在点(x1,f (x1))处的切线也是
曲线y = g( x)的切线．
(1)若x1=−1，求a；
(2)求a 的取值范围．
【答案】(1)3
(2)[−1,+∞)
【解析】
【分析】
（1）先由f ( x)上的切点求出切线方程，设出g( x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出
a即可；
（2）设出g( x)上的切点坐标，分别由f ( x)和g( x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a，构造函
数，求导求出函数值域，即可求得a的取值范围.
(1)
由题意知，f (−1)=−1−(−1)=0，f
'( x)=3 x
2−1，f
'(−1)=3−1=2，则y = f ( x)在点(−1,0)处的切线
方程为y =2( x +1)，
即y =2 x +2，设该切线与g( x)切于点(x2, g( x2))，g
'( x)=2 x，则g
'( x2)=2 x2=2，解得x2=1，则
g(1)=1+a=2+2，解得a=3；
(2)
f
'( x)=3 x
2−1，则y = f ( x)在点(x1,f ( x1))处的切线方程为y −(x1
3−x1)=(3 x1
2−1)( x−x1)，整理得
y =(3 x1
2−1)x−2 x1
3，
设该切线与g( x)切于点(x2, g( x2))，g
'( x)=2 x，则g
'( x2)=2 x2，则切线方程为
学科网（北京）股份有限公司
y −(x2
2+a)=2 x2( x−x2)，整理得y =2 x2 x −x2
2+a，
则¿，整理得a= x2
2−2 x1
3=(
3 x1
2
2 −1
2)
2
−2 x1
3= 9
4 x1
4−2 x1
3−3
2 x1
2+ 1
4
，
令ℎ( x)= 9
4 x
4−2 x
3−3
2 x
2+ 1
4 ，则ℎ
'( x)=9 x
3−6 x
2−3 x =3 x(3 x +1)( x−1)，令ℎ
'( x)>0，解得
−1
3 < x<0或x>1，
令ℎ
'( x)<0，解得x<−1
3或0< x<1，则x变化时，ℎ
'( x),ℎ( x)的变化情况如下表：
x
(−∞,−1
3
−1
3
(−1
3 ,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
ℎ
'( x)
−
0
+
0
−
0
+
ℎ( x)
↘
5
27
↗
1
4
↘
−1
↗
则ℎ( x)的值域为[−1,+ ∞)，故a的取值范围为[−1,+ ∞).
2．【2022 年全国乙卷】已知函数f ( x)=ax−1
x −(a+1)ln x．
(1)当a=0时，求f ( x)的最大值；
(2)若f ( x)恰有一个零点，求a 的取值范围．
【答案】(1)−1
(2)(0,+∞)
【解析】
【分析】
（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得f
'( x)= (ax−1)( x−1)
x
2
，按照a≤0、0<a<1及a>1结合导数讨论函数的单调性，求得函数的
极值，即可得解.
(1)
当a=0时，f ( x)=−1
x −ln x , x>0，则f
'( x)= 1
x
2 −1
x = 1−x
x
2 ，
学科网（北京）股份有限公司
当x∈(0,1)时，f
'( x)>0，f ( x)单调递增；
当x∈(1,+ ∞)时，f
'( x)<0，f ( x)单调递减；
所以f ( x)max = f (1)=−1；
(2)
f ( x)=ax−1
x −(a+1)ln x , x>0，则f
'( x)=a+ 1
x
2 −a+1
x
= (ax−1)( x−1)
x
2
，
当a≤0时，ax−1≤0，所以当x∈(0,1)时，f
'( x)>0，f ( x)单调递增；
当x∈(1,+ ∞)时，f
'( x)<0，f ( x)单调递减；
所以f ( x)max = f (1)=a−1<0，此时函数无零点，不合题意；
当0<a<1时，1
a >1，在(0,1),( 1
a ,+ ∞)上，f
'( x)>0，f ( x)单调递增；
在(1, 1
a )上，f
'( x)<0，f ( x)单调递减；
又f (1)=a−1<0，当x 趋近正无穷大时，f ( x)趋近于正无穷大，
所以f ( x)仅在( 1
a ,+∞)有唯一零点，符合题意；
当a=1时，f
'( x)= ( x−1)
2
x
2
≥0，所以f ( x)单调递增，又f (1)=a−1=0，
所以f ( x)有唯一零点，符合题意；
当a>1时，1
a <1，在(0, 1
a ),(1,+ ∞)上，f
'( x)>0，f ( x)单调递增；
在( 1
a ,1)上，f
'( x)<0，f ( x)单调递减；此时f (1)=a−1>0，
又f ( 1
a
n )=
1
a
n−1 −a
n+n(a+1)ln a，当n 趋近正无穷大时，f ( 1
a
n )趋近负无穷，
所以f ( x)在(0, 1
a )有一个零点，在( 1
a ,+∞)无零点，
所以f ( x)有唯一零点，符合题意；
综上，a 的取值范围为(0,+ ∞).
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性
学科网（北京）股份有限公司
与极值的问题.
3．【2021 年甲卷文科】设函数
，其中
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
的图象与
轴没有公共点，求a 的取值范围.
【答案】（1）
的减区间为
，增区间为
；（2）
.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据
及（1）的单调性性可得
，从而可求a 的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为
，
又
，
因为
，故
，
当
时，
；当
时，
；
所以
的减区间为
，增区间为
.
（2）因为
且
的图与
轴没有公共点，
所以
的图象在
轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得
，
故
即
.
【点睛】
学科网（北京）股份有限公司
方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参
数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
4．【2021 年乙卷文科】已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）求曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2)
和
.
【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；
(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.
【详解】
(1)由函数的解析式可得：
，
导函数的判别式
，
当
时，
在R 上单调递增，
当
时，
的解为：
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
综上可得：当
时，
在R 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司
当
时，
在
，
上
单调递增，在
上单调递减.
(2)由题意可得：
，
，
则切线方程为：
，
切线过坐标原点，则：
,
整理可得：
，即：
，
解得：
，则
，
切线方程为：
,
与
联立得
，
化简得
,由于切点的横坐标1 必然是该方程的一个根，
是
的一个因式，
∴该方程可以分解因式为
解得
,
，
综上，曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标为
和
.
【点睛】
本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性
研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意
除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注
意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题
学科网（北京）股份有限公司
中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.
5．【2020 年新课标1 卷文科】已知函数
.
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
有两个零点，求
的取值范围.
【答案】（1）
的减区间为
，增区间为
；（2）
.
【解析】
【分析】
（1）将
代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区
间；
（2）若
有两个零点，即
有两个解，将其转化为
有两个解，令
，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】
（1）当
时，
，
，
令
，解得
，令
，解得
，
所以
的减区间为
，增区间为
；
（2）若
有两个零点，即
有两个解，
从方程可知，
不成立，即
有两个解，
令
，则有
，
令
，解得
，令
，解得
或
，
所以函数
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
且当
时，
，
而
时，
，当
时，
，
学科网（北京）股份有限公司
所以当
有两个解时，有
，
所以满足条件的
的取值范围是：
.
【点睛】
本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个
数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线
和直线
有两个交点，利用过点
的曲线
的切线斜率，结合图形求得结果.
6．【2020 年新课标2 卷文科】已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c 的取值范围；
（2）设a>0 时，讨论函数g（x）=
的单调性．
【答案】（1）
；（2）
在区间
和
上单调递减，没有递增区间
【解析】
【分析】
（1）[方法三]不等式
转化为
，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，
进而进行求解即可；
（2）对函数
求导，把导函数
的分子构成一个新函数
，再求导得到
，根据
的正负，
判断
的单调性，进而确定
的正负性，最后求出函数
的单调性.
【详解】
（1）
[方法一]【最优解】：
等价于
．
设
，则
．
当
时，
，所以
在区间
内单调递增；
当
时，
，所以
在区间
内单调递减．
学科网（北京）股份有限公司
故
，所以
，即
，所以c 的取值范围是
．
[方法二]：切线放缩
若
，即
，即
当
时恒成立，
而
在点
处的切线为
，从而有
，
当
时恒成立，即
，则
．所以c 的取值范围为
．
[方法三]：利用最值求取值范围
函数
的定义域为：
，
设
，则有
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以当
时，函数
有最大值，
即
，
要想不等式
在
上恒成立，
只需
；
所以c 的取值范围为
．
（2）
且
因此
，设
，
则有
，
当
时，
，所以
，
单调递减，因此有
，即
，所以
单调递减；
当
时，
，所以
，
单调递增，因此有
，即
，所以
单调递减，
学科网（北京）股份有限公司
所以函数
在区间
和
上单调递减，没有递增区间.
【整体点评】
(1)方法一：分类参数之后构造函数是处理恒成立问题的最常用方法，它体现了等价转化的数学思想，同时
是的导数的工具也得到了充分利用；
方法二：切线放缩体现了解题的灵活性，将数形结合的思想应用到了解题过程之中，掌握常用的不等式是
使用切线放缩的基础.
方法二：利用最值确定参数取值范围也是一种常用的方法，体现了等价转化的数学思想.
7．【2020 年新课标3 卷文科】已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
有三个零点，求
的取值范围．
【答案】（1）详见解析；(2)
.
【解析】
【分析】
（1）
，对
分
和
两种情况讨论即可；
（2）
有三个零点，由（1）知
，且
，解不等式组得到
的范围，再利用零点存在性
定理加以说明即可.
【详解】
（1）由题，
，
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增；
当
时，令
，得
，令
，得
，
令
，得
或
，所以
在
上单调递减，在
学科网（北京）股份有限公司
，
上单调递增.
（2）由（1）知，
有三个零点，则
，且
即
，解得
，
当
时，
，且
，
所以
在
上有唯一一个零点，
同理
，
，
所以
在
上有唯一一个零点，
又
在
上有唯一一个零点，所以
有三个零点，
综上可知
的取值范围为
.
【点晴】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、
数学运算能力，是一道中档题.
学科网（北京）股份有限公司
