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专题四
三角函数与解三角形
第十讲三角函数的图象与性质
2019
年
1.解析
解析
解析
解析
解析：因为
2
1 cos4
1
1
sin 2
cos4
2
2
2
x
f x
x
x
−
=
=
=
−
（）
（）
，
所以
f x
（）的最小正周期
2π
π
4
2
T =
=
．
2.解析
解析
解析
解析
解析 当
[0,2 ]
x
时，
,2
5
5
5
x
+
+
，
因为
( )
f x 在
[0,2 ]
有且仅有5 个零点，所以
5
2
6
5
+
„
，
所以
12
29
5
10
„
，故④正确，
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
下面判断③是否正确，
当
(0,
)
10
x
时，
(
2)
,
5
5
10
x
+
+
，
若
( )
f x 在0,10
单调递增，
则 (
2)
10
2
+
，即
3
，因为
12
29
5
10
„
，故③正确．
故选D．
3.
解析
解析
解析
解析
解析因为
( )
f x 是奇函数，所以
0
=
，
( )
sin
f x
A
x
=
.
将
( )
y
f x
=
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的
倍（纵坐标不变），所得图像对应的
2
函数为
( )
g x ，即
( )
1
sin 2
g x
A
x
=
，
因为
( )
g x 的最小正周期为2，所以2
2
1
2
= ，得
2
=
，
所以
( )
sin
g x
A
x
=
，
( )
sin2
f x
A
x
=
.
若
2
4
g
=
，即
2
sin
2
4
4
2
g
A
A
=
=
=
，即
2
A=
，
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所以
( )
2sin2
f x
x
=
，
3
3
2
2sin 2
2sin
2
2
8
8
4
2
f
=
=
=
=
.
故选
．
C
2010-2018
年
一、选择题
1
(2018
．
全国卷Ⅱ若
)
( )
cos
sin
=
−
f x
x
x 在
[
, ]
−a a 是减函数，则a 的最大值是
A．π
4
B．π
2
C．3π
4
D．π
2
(2018
)
．
天津将函数
sin(2
)
5
y
x
=
+
的图象向右平移10
个单位长度，所得图象对应的函
数
A．在区间3
5
[
,
]
4
4
上单调递增
．在区间
B
3
[
, ]
4
上单调递减
C．在区间5
3
[
,
]
4
2
上单调递增
D．在区间3
[
,2 ]
2
上单调递减
3．(2018
)
北京在平面直角坐标系中，记d 为点
(cos ,sin )
P
到直线
2
0
x
my
−
−
=
的距离，
当，m 变化时，d 的最大值为
A．
1
B．2
C
．
3
D．4
4．（2017 新课标Ⅰ）已知曲线
1
C ：
cos
y
x
=
，
2
C ：
2
sin(2
)
3
y
x
=
+
，则下面结论正确
的是
A．把
1
C
上各点的横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
2
6
个单位长度，得到曲线
2
C
B．把
1
C
上各点的横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
2
12
个单位长度，得到曲线
2
C
C．把
1
C 上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
6
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个单位长度，得到曲线
2
C
D．把
1
C 上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12
个单位长度，得到曲线
2
C
5
2017
．（
新课标Ⅲ）设函数
( )
cos(
)
3
f x
x
=
+
，则下列结论错误的是
A．( )
f x 的一个周期为2
−
B．
( )
y
f x
=
的图像关于直线
8
3
x
=
对称
C．(
)
f x
+
的一个零点为
6
x
=
D．
( )
f x 在
(
, )
2
单调递减
6
2017
．（
天津）设函数
( )
2sin(
)
f x
x
=
+
，xR，其中
0
，|
|
．若
5
(
)
2
8
f
=
，
(
)
0
8
f =
，且
( )
f x 的最小正周期大于2，则
A．
2
3
=
，
12
=
B．
2
3
=
，
12
= −
C．
1
3
=
，
24
= −
D．
1
3
=
，
24
=
7
2016
．（
北京）将函数
sin(2
)
3
y
x
=
−
图像上的点
(
, )
4
P
t
向左平移s (
0
s
)个单位长度
得到点P．若P位于函数
sin 2
y
x
=
的图像上，则
A．
1
2
t =
，s 的最小值为6
B．
3
2
t =
，s 的最小值为6
C．
1
2
t =
，s 的最小值为
3
D．
3
2
t =
，s 的最小值为
3
8
2016
．（
山东）函数
( )
( 3sin
cos )( 3cos
sin )
f x
x
x
x
x
=
+
−
的最小正周期是
A．2
B
C
．π
．3
2
D
．2π
9
2016
I
．（
全国
）已知函数
π
π
( )
sin(
)(
0
),
2
4
f x
x+
x
=
= −
，≤
为( )
f x 的零点，
π
4
x =
为
( )
y
f x
=
图像的对称轴，且( )
f x 在
π
π
5
(
)
18 36
，
单调，则的最大值为
A
B
9 C
7 D
5
．11
．
．
．
10．（2016 全国II）若将函数
2sin2
y
x
=
的图像向左平移12
个单位长度，则平移后图象的
对称轴为
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A．
(
)
2
6
k
x
k
Z
=
−
B．
(
)
2
6
k
x
k
Z
=
+
C．
(
)
2
12
k
x
k
Z
=
−
D．
(
)
2
12
k
x
k
Z
=
+
11．(2015
)
山东要得到函数
4sin(4
)
3
y
x
=
−
的图像，只需要将函数
sin 4
y
x
=
的图像
A．向左平移
12
个单位
．向右平移
B
12
个单位
C．向左平移3
个单位
D
．向右平移3
个单位
12．（ 2015 四川）下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是
A．
cos(2
)
2
y
x
=
+
B．
sin(2
)
2
y
x
=
+
C．
sin2
cos2
y
x
x
=
+
D．
sin
cos
y
x
x
=
+
13．（ 2015 新课标Ⅱ）函数
( )
cos(
)
f x
x
=
+
的部分图像如图所示，则
( )
f x 的单调递减
区间为．
A．
1
3
(
,
)
4
4
k
k
−
+
，k
Z
B．
1
3
(2
,2
)
4
4
k
k
−
+
，k
Z
C．
1
3
(
,
)
4
4
k
k
−
+
，k
Z
D．
1
3
(2
,2
)
4
4
k
k
−
+
，k
Z
14．（ 2015 安徽）已知函数
( )
(
)
sin
f x
Α
x
=
+
（Α ，，均为正的常数）的最小正
周期为，当
2
3
x
=
时，函数
( )
f x 取得最小值，则下列结论正确的是
A．
( )
(
)
( )
2
2
0
f
f
f
−
B．
( )
( )
(
)
0
2
2
f
f
f
−
C．
(
)
( )
( )
2
0
2
f
f
f
−
D．
( )
( )
(
)
2
0
2
f
f
f
−
15．（ 2014 新课标Ⅰ）在函数①
|
2
|
cos
x
y =
，②
|
cos
|
x
y =
，③
)
6
2
cos(
+
=
x
y
，
④
)
4
2
tan(
−
=
x
y
中，最小正周期为的所有函数为
A．①②③
．①③④
．②④
．①③
B
C
D
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16．（2014 浙江）为了得到函数
x
x
y
3
cos
3
sin
+
=
的图象，可以将函数
2 cos3
y
x
=
的图像
A．向右平移
12
个单位
．向右平移
B
4
个单位
C．向左平移12
个单位
．向左平移
D
4
个单位
17．(2014
)
安徽若将函数
x
x
x
f
2
cos
2
sin
)
(
+
=
的图象向右平移个单位，所得图象关于y
轴对称，则的最小正值是
A．
8
B．
4
C．
8
3 D．
4
3
18．（2014 福建）将函数
sin
y
x
=
的图象向左平移2
个单位，得到函数
( )
y
f x
=
的函数图
象，则下列说法正确的是
A．
( )
y
f x
=
是奇函数
．
B
( )
y
f x
=
的周期是
C．
( )
y
f x
=
的图象关于直线
2
x
=
对称
．
D
( )
y
f x
=
的图象关于点
,0
2
−
19．（2014 辽宁）将函数
3sin(2
)
3
y
x
=
+
的图象向右平移2
个单位长度，所得图象对应的
函数
A．在区间
7
[
,
]
12 12
上单调递减
．在区间
B
7
[
,
]
12 12
上单调递增
C．在区间
[
,
]
6 3
−
上单调递减
．在区间
D
[
,
]
6 3
−
上单调递增
20．（ 2013 广东）已知
5
1
sin(
)
2
5
+
=
，那么cos=
A．2
5
−
B．1
5
−
C．1
5
D．2
5
21．（ 2013 山东）将函数
(
)
sin 2
y
x
=
+
的图像沿x轴向左平移8
个单位后，得到一个偶
函数的图像，则的一个可能取值为
A．3
4
B．4
C
0 D
．
．
4
−
22．（
福建）将函数
2013
)
2
2
)(
2
sin(
)
(
−
+
=
x
x
f
的图象向右平移
)
0
(
个单位
长度后得到函数
)
(x
g
的图象，若
)
(
),
(
x
g
x
f
的图象都经过点
)
2
3
,0
(
P
，则的值可
以是
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A．3
5
B．6
5
C．2
D．6
23．（2012 新课标）已知>0，0
，直线x =
4
和x = 5
4
是函数
( )
sin(
)
f x
x
=
+
图像的两条相邻的对称轴，则=
A．π
4
B．π
3 C．π
2
D．3π
4
24．（ 2012 安徽）要得到函数
)1
2
cos(
+
=
x
y
的图象，只要将函数
x
y
2
cos
=
的图象
A．向左平移
个单位
1
B．向右平移
个单位
1
C．向左平移 1
2
个单位
．向右平移
D
1
2
个单位
25．（ 2012 浙江）把函数
cos2
1
y
x
=
+
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的
倍（纵坐
2
标不变），然后向左平移
个单位长度，再向下平移
个单位长度，得到的图像是
1
1
26．（ 2012 山东）函数
2sin
(0
9)
6
3
x
y
x
=
−
的最大值与最小值之和为
A．2
3
−
B
0
．
C
1
．－
D．1
3
−−
27．（2012 天津）将函数
( )
sin
f x
x
=
（其中>0）的图像向右平移
4
个单位长度，所得
图像经过点3 (
,0)
4
，则的最小值是
A．1
3
B
1
．
C．5
3
D
2
．
28．（
新课标）已知
2012
0
，函数
)
4
sin(
)
(
+
=
x
x
f
在
)
,
2
(
单调递减，则的取
值范围是
A．
]
4
5
,
2
1
[
B．
]
4
3
,
2
1
[
C
．
]
2
1
,0
(
D
．
]
2,0
(
29．（2011 山东）若函数
( )
sin
f x
x
=
（
>0）在区间0, 3
上单调递增，在区间
,
3 2
上单调递减，则=
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A．2
3
B．3
2
C
2
D
3
．
．
30．（ 2011 新课标）设函数
( )
sin(2
)
cos(2
)
4
4
f x
x
x
=
+
+
+
，则
A．
( )
y
f x
=
在
(0,
)
2
单调递增，其图象关于直线
4
x
=
对称
B．
( )
y
f x
=
在
(0,
)
2
单调递增，其图象关于直线
2
x
=
对称
C．
( )
y
f x
=
在
(0,
)
2
单调递减，其图象关于直线
4
x
=
对称
D．
( )
y
f x
=
在
(0,
)
2
单调递减，其图象关于直线
2
x
=
对称
31．（2011 安徽）已知函数
( )
sin(2
)
f x
x
=
+
，其中为实数，若
( )
( )
6
f x
f
对x
R
恒成立，且
(
)
( )
2
f
f
，则
( )
f x 的单调递增区间是
A．
,
(
)
3
6
k
k
k
Z
−
+
B．
,
(
)
2
k
k
k
Z
+
C．
2
,
(
)
6
3
k
k
k
Z
+
+
D．
,
(
)
2
k
k
k
Z
−
32．（2011 辽宁）已知函数
)
(x
f
= tan
A
（x+）（
2
|
|,0
）， y=
)
(x
f
的部分图像如
下图，则
=
)
24
(
f
A．2+ 3 B．3
C．
3
3
D．2
3
−
二、填空题
33．(2018
)
北京设函数
π
( )
cos(
)(
0)
6
f x
x
=
−
，若
π
( )
( )
4
f x
f
≤
对任意的实数x 都成
立，则的最小值为
．
___
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34．(2018 全国卷Ⅲ)函数
( )
cos(3
)
6
f x
x
=
+
在
[0, ]
的零点个数为
．
_____
35．(2018
)
江苏已知函数
sin(2
)(
)
2
2
y
x
=
+
−
的图象关于直线
3
x
=
对称，则的
值是
．
36．（ 2016 年全国
）函数
III
sin
3cos
y
x
x
=
−
的图像可由函数
sin
3cos
y
x
x
=
+
的图
像至少向右平移_____________个单位长度得到．
37．(2015
)
浙江函数
2
( )
sin
sin
cos
1
f x
x
x
x
=
+
+
的最小正周期是________，单调递减区
间是_______．
38．（ 2014 山东）函数
2
3
sin2
cos
2
y
x
x
=
+
的最小正周期为
.
39．（2014 江苏）已知函数
x
y
cos
=
与
)
2
sin(
+
=
x
y
(0≤
)，它们的图象有一个横坐标
为
3
的交点，则的值是
．
40．（ 2014 重庆）将函数
( )
(
)
−
+
=
2
2
0
sin
，
x
x
f
图象上每一点的横坐标
缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移
6
个单位长度得到
x
y
sin
=
的图像，则
=
6
f
______．
41．（2014 安徽）若将函数
( )
sin 2
4
f x
x
=
+
的图象向右平移个单位，所得图象关于y
轴对称，则的最小正值是________
．
42．(2013新课标Ⅰ设当
)
x
=
时函数
,
( )
sin
2cos
f x
x
x
=
−
取得最大值则
,
cos= ．
43．（2013 新课标Ⅱ）函数
cos(2
)(
)
y
x
=
+
−
的图象向右平移
2
个单位后，与
函数
sin(2
)
3
y
x
=
+
的图象重合，则= _________．
44．（2013 江西）设
( )
3sin3
cos3
f x
x
x
=
+
，若对任意实数x 都有
( )
f x
a
≤
，则实数
a 的取值范围是
．
45．（ 2013 江苏）函数
)
4
2
sin(
3
+
=
x
y
的最小正周期为 .
46．（2011 江苏）函数
( )
sin(
),( , ,
f x
A
x
A w
=
+
是常数，
0,
0)
A
的部分图象如
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图所示，则(0)
f
=
．
47．(2011
)
安徽设
( )
f x =
sin2
cos2
a
x
b
x
+
，其中,a bR ，
0
ab
，若
( )
( )
6
f x
f
≤
对一切则xR 恒成立，则
①
11
(
)
0
12
f
=
②
7
(
)
10
f
＜
( )
5
f
③
( )
f x 既不是奇函数也不是偶函数
④
( )
f x 的单调递增区间是
2
,
(
)
6
3
k
k
k
Z
+
+
⑤存在经过点
( , )
a b 的直线与函数( )
f x
的图像不相交
以上结论正确的是
写出所有正确结论的编号．
(
)
48．（ 2010 江苏）定义在区间
2
0
,
上的函数
6cos
y
x
=
的图像与
5tan
y
x
=
的图像的交
点为P ，过点P 作
1
PP ⊥x 轴于点
1P ，直线
1
PP 与
sin
y
x
=
的图像交于点
2P ，则线段
1
2
PP 的长为
．
49．（ 2010 福建）已知函数
( )=3sin(
)( >0)
6
f x
x
−
和
g( )=2cos(2 + )+1
x
x
的图象的对
称轴完全相同．若
[0,
]
2
x
，则( )
f x
的取值范围是
．
三、解答题
50．（ 2018 上海）设常数a
R
，函数
2
( )
sin 2
2cos
f x
a
x
x
=
+
．
(1)若( )
f x 为偶函数，求a 的值；
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(2)若
( )
3 1
4
f =
+
，求方程
( )
1
2
f x = −
在区间
−
［
，］上的解．
51．（ 2017 江苏）已知向量
(cos ,sin )
x
x
=
a
，
(3,
3)
=
−
b
，
[0, ]
x
．
（）若
1
∥
a
b，求x 的值；
（）记
2
( )
f x =
a b ，求
( )
f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
52．（
山东）设函数
2017
( )
sin(
)
sin(
)
6
2
f x
x
x
=
−
+
−
，其中0
3
．
已知
( )
0
6
f
=
．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数
( )
y
f x
=
的图象上各点的横坐标伸长为原来的
倍（纵坐标不变），再将
2
得到的图象向左平移
4
个单位，得到函数
( )
y
g x
=
的图象，求( )
g x 在
3
[
,
]
4
4
−
上的最小值．
53．（ 2016 年天津）已知函数
( )
4tan cos cos(
)
3
3
f x
x
x
x
=
−
−
.
(
)
Ⅰ求
( )
f x 的定义域与最小正周期；
(
)
Ⅱ讨论
( )
f x 在区间[
,
4 4
−
]上的单调性．
54．（ 2015 北京）已知函数
2
( )
2 sin
cos
2 sin
2
2
2
x
x
x
f x =
−
．
(Ⅰ) 求( )
f x 的最小正周期；
(Ⅱ) 求( )
f x 在区间
[ π
0]
−，
上的最小值．
55．（2015 湖北）某同学用“五点法”画函数
π
( )
sin(
) (
0, |
|
)
2
f x
A
x
=
+
在某一个周期
内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
x
+
0
π
2
π
3π
2
2π
x
π
3
5π
6
sin(
)
A
x
+
0
5
5
−
0
(
)
Ⅰ请将上表数据补充完整，并直接写出函数( )
f x 的解析式；
( )
Ⅱ将
( )
y
f x
=
图象上所有点向左平行移动
(
0)
个单位长度，得到
( )
y
g x
=
的图
象．若
( )
y
g x
=
图象的一个对称中心为5π
(
, 0)
12
，求的最小值．
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56．（ 2014 福建）已知函数
( )
2cos (sin
cos )
f x
x
x
x
=
+
．
（Ⅰ）求
5
(
)
4
f
的值；
（Ⅱ）求函数( )
f x 的最小正周期及单调递增区间．
57．（ 2014 湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：
t
h）的变化近似满足函
数关系：
π
π
( )
10
3cos
sin
12
12
f t
t
t
=
−
−
，
[0, 24)
t
.
（）求实验室这一天上午
时的温度；
Ⅰ
8
（）求实验室这一天的最大温差．
Ⅱ
58．（ 2014 福建）已知函数
1
( )
cos (sin
cos )
2
f x
x
x
x
=
+
−
.
(
)
Ⅰ若0
2
，且
2
sin
2
=
，求
( )
f 的值；
(
)
Ⅱ求函数( )
f x 的最小正周期及单调递增区间．
59．（
）函数
2014 北京
( )
3sin 2
6
f x
x
=
+
的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出
( )
f x 的最小正周期及图中
0x 、
0y 的值；
（Ⅱ）求
( )
f x 在区间
, 2
12
−
−
上的最大值和最小值．
O
y
x
y0
x0
60．（
）已知函数
2014 天津
( )
2
3
cos
sin
3cos
3
4
f x
x
x
x
=
+
−
+
， x
R
.
（）求
Ⅰ
( )
f x 的最小正周期；
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（Ⅱ）求
( )
f x 在闭区间
,
4 4
−
上的最大值和最小值．
61．（ 2014 重庆）已知函数
( )
(
)
−
+
=
2
2
0
sin
3
，
x
x
f
的图像关于直线
3
=
x
对称，且图象上相邻两个最高点的距离为．
（）求
I
和的值；
（）若
II
=
3
2
6
4
3
2
f
，求
+ 2
3
cos
的值．
62．(2013
)
山东设函数
2
3
( )
3sin
sin
cos
(
0)
2
f x
x
x
x
=
−
−
，且
( )
y
f x
=
的
图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4
．
(
)
Ⅰ求的值；
(
)
Ⅱ求
( )
f x 在区间
3
[ ,
]
2
上的最大值和最小值．
63． (2013
)
天津已知函数
2
( )
2 sin 2
6sin cos
2cos
4
1,
f x
x
x
x
x
x
= −
+
+
−
+
R．
(
( )
Ⅰ) 求f x 的最小正周期；
(
( )
Ⅱ) 求f x 在区间0, 2
上的最大值和最小值．
64．（ 2013 湖南）已知函数
( )
cos cos
3
f x
x
x
=
−
（）求
1
2
(
)
3
f
的值；
（）求使
2
1
( )
4
f x
成立的
的取值集合．
x
65．(2012
)
安徽
设函数
2
2
( )
cos(2
)
sin
2
4
f x
x
x
=
+
+
（）求函数
I
( )
f x 的最小正周期；
（）设函数
II
( )
g x 对任意x
R
，有
(
)
( )
2
g x
g x
+
=
，且当
[0,
]
2
x
时，
1
( )
( )
2
g x
f x
=
−
；求
( )
g x 在 [
,0]
−
上的解析式．
66．（2012 湖南）已知函数
( )
sin(
)
f x
A
x
=
+
(
,
x
R
0
,0
)
2
的部分图像如
关注微信公众号：加油高三
图所示．
（Ⅰ）求函数
( )
f x 的解析式；
（Ⅱ）求函数
( )
(
)
(
)
12
12
g x
f x
f x
=
−
−
+
的单调递增区间．
67．（2012 陕西）函数
( )
sin(
) 1
6
f x
A
x
=
−
+ （
0,
0
A
）的最大值为3， 其图像相
邻两条对称轴之间的距离为
2
．
（）求函数
1
( )
f x 的解析式；
（）设
2
(0,
)
2
，则
(
)
2
2
f
=
，求的值．
