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专题四三角函数与解三角形
第十一讲三角函数的综合应用
2019
年
1.（2019 江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为
的圆，湖的一侧有一条直线型公路
O
l，湖
上有桥
（
是圆
的直径）．规划在公路上选两个点
、，并修建两段直线型道路
AB
AB
O
l
P
Q
PB、QA．规划要求：线段
、
上的所有点到点
的距离均不小于圆
PB
QA
O
．．．． O 的半径．已知
点
、
A
B
l
到直线的距离分别为
和
AC
BD（C、D 为垂足），测得
，
AB=10
AC=6，BD=12（单
位：百米）．
（）若道路
垂直，求道路
的长；
1
PB 与桥AB
PB
（）在规划要求下，
和
中能否有一个点选在
处？并说明理由；
2
P
Q
D
（）在规划要求下，若道路
和
的长度均为（单位：百米）求当
最小时，
3
PB
QA
d
.
d
P、Q
两点间的距离．
2010-2018
年
一、选择题
1．(2018
)
北京在平面直角坐标系中，记d 为点
(cos ,sin )
P
到直线
2
0
x
my
−
−
=
的距离，
当，m 变化时，d 的最大值为
A．
1
B．2
C
．
3
D．4
2
2016
．（
年浙江）设函数
2
( )
sin
sin
f x
x
b
x
c
=
+
+
，则
( )
f x 的最小正周期
A
B
．与
有关，且与
b
c 有关
．与
有关，但与
b
c 无关
C
D
．与
无关，且与
无关
b
c
．与
无关，但与
b
c 有关
3
2015
．（
陕西）如图，某港口一天
时的水深变化曲线近似满足函数
6 时到18
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3sin(
)
6
y
x
k
=
+
+
，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为
A
5
B
6 C
8 D
．
．
．
．10
4
2015
（
浙江）存在函数( )
f x 满足，对任意x
R
都有
A．
(sin2 )
sin
f
x
x
=
B．
2
(sin 2 )
f
x
x
x
=
+
C．
2
(
1)
1
f x
x
+
=
+
D．
2
(
2 )
1
f x
x
x
+
=
+
5
2015
．（
新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边
BC，CD 与DA 运动，∠BOP=x．将动点
到
，
P
A B 两点距离之和表示为
的函数
x
( )
f x ，
则
( )
y
f x
=
的图像大致为
A B C D
6
2014
．（
新课标Ⅰ）如图，圆
的半径为，
O
1
A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始
边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA的垂线，垂足为M ，将点M 到直
线OP 的距离表示为x 的函数( )
f x ，则y =
( )
f x 在[0,]上的图像大致为
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A
B
．
．
C
D
．
．
7
2015
．（
湖南）已知函数
2
3
0
( )
sin(
),
( )
0,
f x
x
f x dx
=
−
=
且
则函数( )
f x 的图象的一条
对称轴是
A．
5
6
x
=
B．
7
12
x
=
C．
3
x
=
D．
6
x
=
二、填空题
8
2016
．（
年浙江）已知
2
2cos
sin2
sin(
(
> 0)
x
x
A
x
b A
+
=
+
) +
,则A=__，b =__
．
9
(2016
．
江苏省) 定义在区间
0,3π 上的函数
sin2
y
x
=
的图象与
cos
y
x
=
的图象的交点
个数是
．
10．（ 2014 陕西）设
2
0
，向量
(
)
(
)
sin2
cos
cos
1
=
=
，
，
，
a
b
，若∥
a
b，
则
=
tan
_______
．
11．(2012 湖南)函数
( )
sin(
)
f x
x
=
+
的导函数
( )
y
f
x
=
的部分图像如图
所示，其中，
4
P
y
为图像与
轴的交点，
为图像与
轴的两个交点，
为图像的最低点
A C
,
x
B
.
（）若
1
6
=
，点
的坐标为（
P
0，3 3
2
），则= ；
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（）若在曲线段
2
ABC
与
轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△
内的概率
x
ABC
为
．
三、解答题
12．（2018 江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为
此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O
的半径为
米，点
40
P 到MN
的距离为50
米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚
Ⅱ内的地块形状为
CDP
△
，要求
,
A B 均在线段MN 上，,
C D 均在圆弧上．设OC 与MN
所成的角为．
N
M
P
O
A
B
C
D
(1)用分别表示矩形ABCD 和
CDP
△
的面积，并确定sin的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积
年产值之比为4
3
∶．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
13．（2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均
为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC
的长为10
7 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，1
1
E G
的长分别为
和
．
14cm
62cm
分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为
．
12cm
现有
一根玻璃棒l
，其长度为
．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
40cm
（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A处，另一端置于侧棱
1
CC 上，求l 没入水中
部分的长度；
（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱
1
GG 上，求l 没入水中
部分的长度．
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14．（ 2015 山东）设
2
( )
sin cos
cos (
)
4
f x
x
x
x
=
−
+
．
（Ⅰ）求( )
f x 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角
, ,
A B C ，的对边分别为, ,
a b c，若
(
)
0
2
A
f
=
，
1
a =
，
求△ABC 面积的最大值．
15．（ 2014 湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足
函数关系：
π
π
( )
10
3cos
sin
12
12
f t
t
t
=
−
−
，
[0, 24)
t
.
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于
，则在哪段时间实验室需要降温？
16．（ 2014 陕西）ABC
的内角
C
B
A
，
，
所对的边分别为
c
b
a
，
，
．
（）若
I
c
b
a
，
，
成等差数列，证明：
(
)
C
A
C
A
+
=
+
sin
2
sin
sin
；
（）若
II
c
b
a
，
，
成等比数列，求
B
cos
的最小值．
17．（
）已知函数
2013 福建
( )
sin(
)(
0,0
)
f x
x
=
+
的周期为，图像的一个
对称中心为 (
,0)
4
，将函数( )
f x
图像上的所有点的横坐标伸长为原来的
倍（纵坐标
2
不变），在将所得图像向右平移2
个单位长度后得到函数( )
g x 的图像．
(1)求函数( )
f x 与( )
g x 的解析式；
(2)是否存在
0
(
,
)
6 4
x
，使得
0
0
0
0
(
), (
),
(
) (
)
f x
g x
f x g x
按照某种顺序成等差数列？
若存在，请确定
0x 的个数；若不存在，说明理由．
(3)求实数a与正整数n，使得
( )
( )
( )
F x
f x
ag x
=
+
在
(0,
)
n
内恰有
个零点．
2013
