文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
三年专题18 计数原理（理科专用）
1．【2022 年新高考2 卷】有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙
和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
【答案】B
【解析】
【分析】
利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】
因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使
甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2 种插空方式；注意到丙
丁两人的顺序可交换，有2 种排列方式，故安排这5 名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式，
故选：B
2．【2021 年乙卷理科】将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行
培训，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有（
）
A．60 种
B．120 种
C．240 种
D．480 种
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定有一个项目中分配2 名志愿者，其余各项目中分配1 名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求
得.
【详解】
根据题意，有一个项目中分配2 名志愿者，其余各项目中分配1 名志愿者，可以先从5 名志愿者中任选2
人，组成一个小组，有
种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四
个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
种
不同的分配方案，
故选：C.
学科网（北京）股份有限公司
【点睛】
本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
3．【2020 年新课标1 卷理科】
的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
求得
展开式的通项公式为
（
且
），即可求得
与
展开式的乘
积为
或
形式，对分别赋值为3，1 即可求得
的系数，问题得解.
【详解】
展开式的通项公式为
（
且
）
所以
的各项与
展开式的通项的乘积可表示为：
和
在
中，令
，可得：
，该项中
的系数为
，
在
中，令
，可得：
，该项中
的系数为
所以
的系数为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
4．【2020 年新课标2 卷文科】如图，将钢琴上的12 个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–
j=3 且j–i=4，则称ai，aj，ak 为原位大三和弦；若k–j=4 且j–i=3，则称ai，aj，ak 为原位小三和弦．用这
12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
学科网（北京）股份有限公司
A．5
B．8
C．10
D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
根据原位大三和弦满足
，原位小三和弦满足
从
开始，利用列举法即可解出．
【详解】
根据题意可知，原位大三和弦满足：
．
∴
；
；
；
；
．
原位小三和弦满足：
．
∴
；
；
；
；
．
故个数之和为10．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．
5．【2020 年新高考1 卷（山东卷）】6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，
甲场馆安排1 名，乙场馆安排2 名，丙场馆安排3 名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120 种
B．90 种
C．60 种
D．30 种
【答案】C
【解析】
【分析】
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】
首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有
；
学科网（北京）股份有限公司
然后从其余名同学中选
名去乙场馆，方法数有
；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有
种.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
6．【2020 年新高考2 卷（海南卷）】要安排3 名学生到2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，
每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2 种
B．3 种
C．6 种
D．8 种
【答案】C
【解析】
【分析】
首先将3 名学生分成两个组，然后将2 组学生安排到2 个村即可.
【详解】
第一步，将3 名学生分成两个组，有
种分法
第二步，将2 组学生安排到2 个村，有
种安排方法
所以，不同的安排方法共有
种
故选：C
【点睛】
解答本类问题时一般采取先组后排的策略.
7．【2022 年新高考1 卷】(1−y
x)( x + y)
8的展开式中x
2 y
6的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【解析】
【分析】
(1−y
x)(x + y)
8可化为(x + y)
8−y
x
(x + y)
8，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】
学科网（北京）股份有限公司
因为(1−y
x)(x + y)
8=(x + y)
8−y
x
(x + y)
8，
所以(1−y
x)(x + y)
8的展开式中含x
2 y
6的项为C8
6 x
2 y
6−y
x C8
5 x
3 y
5=−28 x
2 y
6，
(1−y
x)(x + y)
8的展开式中x
2 y
6的系数为-28
故答案为：-28
8．【2020 年新课标2 卷理科】4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个小区，每个
小区至少安排1 名同学，则不同的安排方法共有__________种.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，有且只有2 名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.
【详解】
4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个小区，每个小区至少安排1 名同学
先取2 名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3 组同学分配到3 个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法
种
故答案为：
.
【点睛】
本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和
计算能力，属于中档题.
9．【2020 年新课标3 卷理科】
的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】
写出
二项式展开通项，即可求得常数项.
【详解】
学科网（北京）股份有限公司
其二项式展开通项：
当
，解得
的展开式中常数项是：
.
故答案为：
.
【点睛】
本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握
的展开通项公式
，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
学科网（北京）股份有限公司
