1 / 9
备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题03 集合第三缉
1．【2020 年吉林预赛】已知集合A ={x∣x
2-2 x⩽0} ,B ={x∣x +1
x -2 ⩽0, x∈N } .则A ∩B = (
)
A.[0,2]
B.[0,2)
C.{1}
D.{0,1}
【答案】D
【解析】由题意,知A =[0,2],B ={0,1}. 故A ∩B ={0,1} .
2．【2019 年吉林预赛】集合A={2,0,1,3},集合B={x|-x∈A,2-x2∈A},则集合B 中所有元素的和为(
)
(A)-4
(B)-5
(C)-6
(D)-7
【答案】B
【解析】B={-2,-3},则集合B 中所有元素的和为-5.
3．【2018 年福建预赛】已知集合={x|1≤3x≤27}，B={x|log2(x2－x)<1}，则A∩B=（ ）
A．(1，2) B．(－1，3] C．[0，2) D．(－∞，－1)∪(0，2)
【答案】A
【解析】
由1≤3x≤27，得0≤x≤3.因此，A=[0，3].
由log2(x2－x)<1，得¿，解得，－1<x<0 或1<x<2
所以A∩B= (1，2)，选A.
4．【2018 年北京预赛】已知集合A = {0.1,1,10},B =¿，则A ∩B =
A．1. B．{1}. C．∅. D．0.
【答案】B
【解析】
由A = {0.1,1,10}，易知B = {-1,0,1}，所以A ∩B = {1}.选B.
5．【2018 年湖南预赛】设集合P = {1,2,3,4}Q =¿，则P∩Q等于
A．{1,2} B．{3,4} C．{1} D．{-2,-1,0,1,2}
【答案】A
【解析】
集合P = {1,2,3,4},Q =¿,则P∩Q = {1,2}.
6．【2018 年陕西预赛】已知集合M =¿，则M , N的关系是（ ）
2 / 9
A．M ⊊N B．M = N C．N ⊊M D．M ∩N =∅
【答案】B
【解析】
易由周期性知M = N ={±1,± 1
2}
.
7．【2018 年吉林预赛】集合A =¿的真子集个数为（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
【答案】C
【解析】
log2 x ≤2，所以0<x≤4，因为x∈Z,所以A={1,2,3,4},所以集合A 的真子集个数为2
4-1=15.
故答案为：C
8．【2018 年天津预赛】如果集合A = {1,2,3,⋯,10}，B = {1,2,3,4}，C 是A 的子集，且C ∩B≠∅，则
这样的子集C 有（ ）个.
A．256
B．959
C．960
D．961
【答案】C
【解析】
满足C ∩B =∅的子集C 有2
6个，所以满足C ∩B≠∅的子集C 有2
10-2
6=960个.
故答案为：C
9．【2018 年辽宁预赛】设A =[-2,4),B ={x | x
2-ax - 4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）.
A．[-3,0)
B．[-2,0)
C．[0,2)
D．[0,3)
【答案】D
【解析】
因为f ( x)= x
2-ax - 4开口向上，且{x | x
2-ax - 4≤0}⊆[-2,4)，
故¿解得a∈[0,3).
故答案为：D
10．【2017 年吉林预赛】设集合M ={x∣- 1
2 < x< 1
2}, N ={x∣x
2≤x},则M ∩N =(
)
3 / 9
(A)[0, 1
2)
(B)(- 1
2 ,1]
(C)[-1, 1
2)
(D)(- 1
2 ,0]
【答案】A
【解析】由x
2≤x
得0≤x ≤1,即N ={x∣0≤x ≤1},则M ∩N ={x∣0≤x< 1
2}
11．【2017 年吉林预赛】设{(s1,s2,⋯,s6)∣si∈{0,1},i∈N +,i≤6},对∀x , y ∈S,
x =(x1, x2,⋯, x6), y =( y1, y2,⋯, y6)定义:
(1)x = y当且仅当(x1- y1)
2+(x2- y2)
2+⋯+(x6- y6)
2=0;
(2)x⋅y = x1 y1+ x2 y2+⋯+ x6 y6.
若非空集合T ⊆S,且满足∀u,v ∈T ,u≠v,均有u⋅v ≠0,则集合T中元素个数的最大值为(
)
(A)62
(B)52
(C)42
(D)32
【答案】D
【解析】首先,∀x∈S,定义x
-1=(1- x1,1- x2,⋯,1- x6),
则∀x∈S , x
-1∈S且唯一,(x
-1)
-1= x,且x≠x
-1,同时x⋅x
-1=0.
故若x∈T,则必有x
-1∉T,可知集合T中元素个数至多32 个.
其次，集合T ={(x1, x2,⋯, x6)∈S∣x1=1}符合题意,此时元素个数为32 个.
4 / 9
综上,集合T中元素个数的最大值为32.
12．【2017 年陕西预赛】设集合A ={n∣n
3 ∈N +},B ={y ∣y = x + 4+
❑√5- x
2},则集合A ∩B中元素的个
数为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【答案】B
【解析】提示：令x = ❑√5sinθ(- π
2 ≤θ≤π
2)
,则y = ❑√5sinθ+ 4+ ❑√5cosθ = 4+ ❑√10sinθ(θ+ π
4).
因为- π
4 ≤θ+ π
4 ≤3 π
4
,所以-
❑√2
2 ≤sin(θ+ π
4)≤1,则4 - ❑√5≤y ≤4 + ❑√10.
A ={3,6,9,⋯},所以A ∩B ={3,6},
则A ∩B中有2 个元素.
13．【2017 年黑龙江预赛】下列命题正确的有(
)
①很小的实数可以构成集合;
②集合{y ∣y = x
2-1}与集合{(x , y)∣y = x
2-1}是同一个集合;
③1, 3
2 , 6
4 ,|- 1
2|,0.5这些数组成的集合有5 个元索;
④集合{(x , y)∣xy ≤0, x , y ∈R}是指第二和第四象限内的点集.
(A)0 个
(B)1 个
(C)2 个
(D)3个
【答案】A
【解析】提示：①错的原因是元素不确定.
②前者是数集,而后者是点集,种类不同.
5 / 9
③3
2 = 6
4 ,|- 1
2|=0.5,有重复的元素,应该是3 个元素.
④本集合还包括坐标轴.
14．【2017 年湖南预赛】设集合X ={1,2,⋯,2017},集合S ={(x , y , z)∣x , y , z∈X,且三条件
x< y < z , y < z< x , z< x< y恰有一个成立}.若(x , y , z)∈S且(z ,w , x)∈S,则下列选项正确的是(
)
(A)( y , z ,w)∈S且(x , y ,w)∉S
(B)( y , z ,w)∈S且(x , y ,w)∈S
(C)( y , z ,w)∉S且(x , y ,w)∈S
(D)( y , z ,w)∉S且(x , y ,w)∉S
【答案】B
【解析】提示:由(x , y , z)∈S,知x< y < z , y < z< x , z< x< y恰有一个成立.
由(z ,w , x)∈S,知z<w < x ,w < x< z , x< z<w恰有一个成立.
不妨设x< y < z,则可得x< y < z<w或w < x< y < z.
无论哪种情形,均可得( y , z ,w)∈S且(x , y ,w)∈S,故选B.
15．【2016 年陕西预赛】已知集合M ={1,2,...,10} ，A 为M 的子集，且子集A 中各元素的和为8.则满足
条件的子集A 共有（ ）个.
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【解析】
注意到，元素和为8 的子集A 有
｛8}、｛1，7｝、｛2，6｝、｛3，5｝、｛1，2，5｝、｛1，3，4｝，共6 个. 选C.
16．【2016 年吉林预赛】设集合M =¿.则M ∩∁R N =（）.
A．¿ B．¿ C．¿ D．∅
【答案】A
【解析】
计算知M =[1,2], N =(-∞,1).故M ∩∁R N =¿.
17．【2016 年吉林预赛】设集合M =¿.则M ∩∁R N =（）.
A．¿ B．¿ C．¿ D．∅
6 / 9
【答案】A
【解析】
计算知M =[1,2], N =(-∞,1).故M ∩∁R N =¿.
18．【2016 年浙江预赛】设集合M =¿。则集合M中的元素个数为（ ）。
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
注意到，1
❑√x - 1
❑√y =
1
❑√45 ⇔
1
❑√5 x -
1
❑√5 y = 1
15 ⇒1
5 x = 1
225 + 1
5 y +
2
15 ❑√5 y ⇒❑√5 y ∈Q. 类似地，
❑√5 x∈Q. 设x =5a
2，y =5b
2（a、b∈Z+）. 则
1
❑√x - 1
❑√y =
1
❑√45 ⇔1
a - 1
b = 1
3 ⇔(a,b)=(2,6). 又
(a,b)与(x , y)一一对应，因此，集合M中的元素个数为1.
19．【2016 年湖南预赛】设集合S ={A0, A1, A2, A3}，在集合S上定义运算“⊕”：Ai⊕A j= Ak，其中，
k 为i+ j被4 除的余数，i、j∈{0,1,2,3}.则满足关系( x⊕x)⊕A2= A0的x( x∈S)的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
考点：整除的基本性质．
分析：本题为信息题，学生要读懂题意，运用所给信息式解决问题，对于本题来说，可用逐个验证法
解：当x=A0时，（x⊕x）⊕A2=（A0⊕A0）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0
当x=A1时，（x⊕x）⊕A2=（A1⊕A1）⊕A2=A2⊕A2=A4=A0
当x=A2时，（x⊕x）⊕A2=（A2⊕A2）⊕A2=A0⊕A2=A2
当x=A3时，（x⊕x）⊕A2=（A3⊕A3）⊕A2=A2⊕A2=A0=A0
当x=A4时，（x⊕x）⊕A2=（A4⊕A4）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A1
当x=A5时，（x⊕x）⊕A2=（A5⊕A5）⊕A2=A2⊕A2=A0
则满足关系式（x⊕x）⊕A2=A0的x（x∈S）的个数为：3 个．
故选C．
20．【2015 年浙江预赛】若集合A =¿，则集合A中的元素个数为（ ）.
A．4030 B．4032
C．2015
2 D．2016
2
7 / 9
【答案】B
【解析】
由已知得n(n+2m+1)=2
2016×5
2015.
于是，n、n+2m+1一奇一偶.
从而，n、n+2m+1两者之一为偶数，有2
2016，2
2016×5，2
2016×5
2，…，2
2016×5
2015共2016 种情形，
交换顺序又得到2016 种情形.
因此，集合A共有4032 个元素.
21 ．【2015 年天津预赛】设A 、B、C为三个集合. 则“ B、C均为A的子集” 是
( A ∩B)∪( A ∩C)= B∪C成立的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
若B、C均为A的子集，则( A ∩B)∪( A ∩C)= B∪C.①
反之，若式①成立，则由A ∩B、A ∩C均为A的子集，知B∪C 为A的子集，即B、C均为A的子集.
22．【2015 年辽宁预赛】设a=∑
i=1
24
[❑√i]([x]表示不超过实数x的最大整数),集合A ={x| x∈Z+, x|a}则集
合A 中元素的个数为( )
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解析】
注意到,
a=∑
i=1
24
[❑√i] =([❑√1]+[❑√2]+[❑√3])+ ([❑√4]+[❑√5]+...+[❑√8])+ ([❑√9]+[❑√10]+...+[❑√15])+ ([❑√16]+[❑√17]+...+[❑√
=1×3+2×5+3×7+ 4×9=70=2×5×7.
从而,集合A的元素个数为{2,5,7}的子集个数,即2
3=8.
23．【2015 年湖南预赛】设M =¿.则对任意的整数n，形如4 n、4 n+1、4 n+2、4 n+3的数中，不是
集合M中的元素为（ ）.
A．4 n B．4 n+1 C．4 n+2 D．4 n+3
8 / 9
【答案】C
【解析】
注意到，对任意的整数n，
4 n=(n+1)
2-(n-1)
2，
4 n+1=(2n+1)
2-(2n)
2，
4 n+3=(2n+2)
2-(2n+1)
2，
且n-1、n+1、2n、2n+1、2n+2∈Z.
于是，4 n、4 n+1、4 n+3∈M.
若4 n+2为集合M的元素，则存在x、y ∈Z满足4 n+2= x
2- y
2(x , y ∈Z).
但由于x
2- y
2=(x + y)(x - y)，且x + y 与x - y；
奇偶性相同，故(x + y)(x - y)为奇数或4 的倍数，即4 n+2不为集合M的元素.
24．【2015 年黑龙江预赛】设集合A ={-1,0,2}，集合B ={- x| x∈A 且2- x∉A }，则B =（ ）
A．{1} B．{-2} C．{-1,-2} D．{-1,0}
【答案】A
【解析】试题分析：根据集合B 的定义可得，当x =-1时，2- x =3∉A，所以- x =1∈B；当x =0时，
2- x =2∈A，所以- x =0∉B；当x =2时，2- x =0∈A，所以- x =-2∉B；所以B ={1}.
考点：集合的基本运算.
9 / 9
