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三年专题10 解三角形
1．【2022 年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的
“会圆术”，如图，
是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的AB 中点，D 在
上，CD⊥AB．
“会圆术”给出
的弧长的近似值s 的计算公式：s= AB+ C D
2
OA ．当OA =2,∠AOB =60°时，s=
（ ）
A．11−3√3
2
B．11−4√3
2
C．9−3√3
2
D．9−4√3
2
2．【2021 年甲卷文科】在
中，已知
，
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．3
3．【2021 年乙卷理科】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的
高．如图，点
，
，
在水平线
上，
和
是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为
“表高”，
称为“表距”，
和
都称为“表目距”，
与
的差称为“表目距的差”则海岛
的高
（ ）
A．
表高
B．
表高
C．
表距
D．
表距
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4．【2020 年新课标3 卷理科】在△ABC 中，cosC=
，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A．
B．
C．
D．
5．【2022 年全国甲卷】已知△ABC中，点D 在边BC 上，∠ADB =120° , AD =2,CD =2BD．当AC
AB 取
得最小值时，BD =________．
6．【2021 年乙卷文科】记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为
，
，
，则
________．
7．【2020 年新课标1 卷理科】如图，在三棱锥P–ABC 的平面展开图中，AC=1，
，
AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.
8．【2022 年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c﹐已知
sinC sin ( A −B)=sin Bsin (C −A)．
(1)若A =2B，求C；
(2)证明：2a
2=b
2+c
2
9．【2022 年全国乙卷】记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知
sinC sin( A −B)=sin Bsin(C −A )．
(1)证明：2a
2=b
2+c
2；
(2)若a=5,cos A = 25
31，求△ABC的周长．
【答案】(1)见解析
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(2)14
【解析】
【分析】
（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得b+c，即可得解.
(1)
证明：因为sinC sin ( A −B)=sin Bsin (C −A)，
所以sinC sin A cos B−sinC sin Bcos A =sin BsinC cos A −sin Bsin A cosC，
所以ac⋅a
2+c
2−b
2
2ac
−2bc⋅b
2+c
2−a
2
2bc
=−ab⋅a
2+b
2−c
2
2ab
，
即a
2+c
2−b
2
2
−(b
2+c
2−a
2)=−a
2+b
2−c
2
2
，
所以2a
2=b
2+c
2；
(2)
解：因为a=5,cos A = 25
31，
由（1）得b
2+c
2=50，
由余弦定理可得a
2=b
2+c
2−2bc cos A，
则50−50
31 bc =25，
所以bc = 31
2 ，
故(b+c)
2=b
2+c
2+2bc =50+31=81，
所以b+c =9，
所以△ABC的周长为a+b+c =14.
10．【2022 年新高考1 卷】记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知cos A
1+sin A =
sin 2B
1+cos2B ．
(1)若C = 2π
3 ，求B；
(2)求a
2+b
2
c
2
的最小值．
11．【2022 年新高考2 卷】记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c 为边长的三
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个正三角形的面积依次为S1,S2,S3，已知S1−S2+ S3= √3
2 ,sin B = 1
3．
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin A sinC = √2
3 ，求b．
12．【2021 年新高考1 卷】记
是内角
，
，
的对边分别为
，
，.已知
，点
在边
上，
.
（1）证明：
；
（2）若
，求
.
13．【2021 年新高考2 卷】在
中，角
、
、
所对的边长分别为
、
、，
，
.．
（1）若
，求
的面积；
（2）是否存在正整数
，使得
为钝角三角形?若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
14．【2020 年新课标1 卷文科】
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=
c，b=2
，求
的面积；
（2）若sinA+
sinC=
，求C.
15．【2020 年新课标2 卷理科】
中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求
周长的最大值.
16．【2020 年新课标2 卷文科】△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）求A；
（2）若
，证明：△ABC 是直角三角形．
17．【2020 年新高考1 卷（山东卷）】在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补
充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在
，它的内角
的对边分别为
，且
，
，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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