文档文本内容
秀
先
翔梦
优
领
飞
13.3.2 等边三角形
第1 课时 等边三角形的性质和判定
一．选择题（共8 小题）
1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+ β
∠的度数是（
）
A．180° B．220°
C．240°
D．300°
2．下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的两条高相等 C．有一个角是60
°的锐角三角形是等边三角形
B．等腰三角形一定是锐角三角形 D．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等
3．在△ABC 中，①若AB=BC=CA，则△ABC 为等边三角形；②若∠A= B= C
∠
∠，则△ABC 为
等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等
边三角形．上述结论中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．如图，CD 是Rt
ABC
△
斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E
处，则∠A 等于（ ）
A．25° B．30° C．
45° D．60°
5．如图，已知D、E、F 分别是等边 △ABC 的边AB、BC、AC 上的点，
且DE BC
⊥
、EF AC
⊥
、FD AB
⊥
，则下列结论不成立的是（ ）
A．
DEF
△
是等边三角形 B．
ADF
BED
CFE
△
△
△
≌
≌
C．
DE=AB D．S
ABC=3S
DEF
△
△
6．如图，在△ABC 中，D、E 在BC 上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC 的度数是（ ）
A．30° B．45° C．120° D．15°
7．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB 的垂直平分线交BC 于点M，交AB
于点E
，AC 的垂直平分线交BC 于点N，交AC 于
点F，则MN 的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
第 1 题 第4 题 第5 题 第7 题
8．已知∠AOB=30°，点P 在∠AOB 内部，P1与P 关于OB 对称，P2与P 关于OA 对称，则P1，
O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A．直角三角形
B．
钝角三角形
C．
等腰三角形
D．等边三角形
www.youyi100.com
第 1 页 共 6 页
秀
先
翔梦
优
领
飞
二．填空题（共10 小题）
9．已知等腰△ABC 中，
AB=AC，∠B=60°，
则∠A=
_________
度．
10．△ABC 中，∠A= B=60°
∠
，且AB=10cm，则BC=
_________
cm．
11．在△ABC 中，∠A= B= C
∠
∠，则△ABC 是
_________
三角形．
12．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD 的形状是
_________
．
13．如图，M、N 是△ABC 的边BC 上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠BAN=
_________
．
第 13 题 第14 题 第15 题
14．如图，用圆规以直角顶点O 为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B 两点，若再
以A 为圆心，以OA 为半径画弧，与弧AB 交于点C，则∠AOC 等于
_________
．
15．如图，将边长为6cm 的等边三角形△ABC 沿BC 方向向右平移后得△DEF，DE、AC 相交
于点G，若线段CF=4cm，则△GEC 的周长是
_________
cm．
16．如图，在等边△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的点，且AD=CE，则∠BCD+ CBE=
∠
_________
度．
第 16 题 第17 题 第18 题
17．三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+ 2=
∠
_______
°．
18．如图，△ABD 与△AEC 都是等边三角形，AB≠
AC．下列结论中，正确的是
_________
．
BE=CD
①
；②∠BOD=60°；③∠BDO= CEO
∠
．
三．解答题（共5 小题）
19．如图，已知△ABC 为等边三角形，点D、E 分别在BC、AC 边上，且AE=CD，AD 与BE 相
交于点F．
（1）求证：△ABE
CAD
≌△
；
（2）求∠BFD 的度数．
www.youyi100.com
第 2 页 共 6 页
秀
先
翔梦
优
领
飞
20．如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC，连接AE，
找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
21．已知，如图，延长△ABC 的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到
△DEF 为等边三角形．求证：
（1）△AEF
CDE
≌△
；
（2）△ABC 为等边三角形
．
22．已知：如图，在△ABC 中，AB=BC，∠ABC=120°，BE AC
⊥
于点D，且DE=DB，试判断
△CEB 的形状，并说明理由．
23．已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM，△CBN
都是等边三角形，AN 交MC 于点E，BM 交CN
于点F．
（1）求证：AN=BM；
（2）求证：△CEF 为等边三角形；
www.youyi100.com
第 3 页 共 6 页
秀
先
翔梦
优
领
飞
（3）
将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其
他条件不变，在图2 中补出符合要求的图形，并
判
断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．
www.youyi100.com
第 4 页 共 6 页
秀
先
翔梦
优
领
飞
一、CDDBDCCD
二、9、60；10、10；11、等边；12、等边三角形；13、90 度；14、60 度；15、6；
16、60；17、130；18、①②
三、19、（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，
在△ABE 和△CAD 中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
又∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD．
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
20、解答：
解：△BDC≌△AEC．理由如下：
∵△ABC、△EDC 均为等边三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠ECD=60°．
从而∠BCD=∠ACE．
在△BDC 和△AEC 中，
，
∴△BDC≌△AEC（SAS）．
21、 解答：证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量加等量和相等）．（1 分）
∵△DEF 是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．（2 分）
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．（4 分）
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF 是等边三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），
由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，
∵∠DEC+∠FEC=60°，
∴∠EFA+∠FEC=60°，
又∠BAC 是△AEF 的外角，
∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，
∴△ABC 中，AB=BC（等角对等边）．（6 分）
∴△ABC 是等边三角形（等边三角形的判定）．（7 分）
22、解答：
解：△CEB 是等边三角形．（1 分）
www.youyi100.com
第 5 页 共 6 页
秀
先
翔梦
优
领
飞
证明：∵AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC，
∴∠CBE=∠ABE=60°．（3 分）
又DE=DB，
BE⊥AC，
∴CB=CE．（5 分）
∴△CEB 是等边三角形．（7
分）
23、（1）证明：∵△ACM，△CBN 是等边三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，
即：∠ACN=∠MCB，
在△ACN 和△MCB 中，
AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，
∴△ACN≌△MCB（SAS）．
∴AN=BM．
（2）证明：∵△AC
N≌△MCB，
∴∠CAN=∠CMB．
又∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE．
在△CAE 和△CMF 中
∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，
∴△CAE≌△CMF（ASA）．
∴CE=CF．
∴△CEF 为等腰三角形．
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF 为等边三角形．
（3）解：如右图，
∵△CMA 和△NCB 都为等边三角形，
∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°，
∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN，
∴△CMB≌△CAN，
∴AN=MB，
结论1 成立，结论2 不成立．
www.youyi100.com
第 6 页 共 6 页
