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13.3.2 等边三角形
一、单选题
1．如图，点F 在正五边形
的内部，
为等边三角形，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，
是等边三角形，
是
边上的中线，点
在
上，且
，则
（ ）
A．100°
B．105°
C．110°
D．115°
3．如图，在等边
中，
，点E 在中线
上，现有一动点P 沿着折线
运动，且在
上的速度是4 单位/秒，在
上的速度是2 单位/秒，当点P 从A 运动到C 所用时间最少时，
长为
（ ）
A．3
B．
C．
D．
4．已知锐角∠AOB，如图：
（1）在射线OA 上取一点C，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN，交射线OB 于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP 交CD 于点Q．
根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①CP∥OB；②CP＝2QC；③∠AOP＝∠BOP；④CD⊥OP．
其中正确的有（ ）
A．①②③④
B．②③④
C．③④
D．③
5．如图，在
中，
，
，DE 垂直平分AB，交BC 于点E，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．等边三角形是锐角三角形
C．若两个角是直角，则它们相等
D．全等三角形的对应角相等
7．如图，直角梯形纸片对边
，
是直角，将纸片沿着EF 折叠，DF 的对应边
交AB 于点
G，FH 平分
交AC 于点H，则结论：①
；②
；③
；
④
，则
，其中正确结论的个数为（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①④
D．①③④
8．如图，
，
，
三点在同一直线上，
，
都是等边三角形，连接
，
，
：
下列结论中正确的是（ ）
①△ACD≌△BCE；
②△CPQ 是等边三角形；
③
平分
；
④△BPO≌△EDO．
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
二、填空题
9．在
中，
，
，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交
，
于点E，F；再分别以点E，F 为圈心，大于
的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线
交
于点
D．则
与
的数量关系是____．
10．如图，在
中，
，点D 是
上一点，
，若
，则
_______．
11．如图，在边长为6 的菱形
中，
为其对角线，
，点
、
分别是边
、
上的动点，且
．连接
、
、
，
交
于点
．则点
到直线
的距离
的最大值为________．
12．如图，某天然气公司的主输气管道从
市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在
处测得要安装天然
气的
小区在
市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000 米到达
处，测得小区
位于
的
北偏西60°方向．当在主输气管道
上寻找支管道连接点
，使到该小区
铺设的管道最短时，
的长为______．
13．如图1，正
的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正
，再把正
的各边延长
一倍得到正
（如图2），如此进行下去，......，则（1）正
的面积为______；（2）正
的面积为______（用含有
的式子表示，
为正整数）．
14．如图，等边△ABC 中，AB＝2，点D 为BC 的中点，点E 在边AB 上，点F 在AC 的延长线上，且DE
＝DF，∠EDF＝120°，过点D 作DG⊥AC 于点G，若DG＝GF，则BE+CF＝_____________．
三、解答题
15．如图，
，
，
．求证：
．
16．如图a，已知点
，点C 为x 轴上一动点，连接
，
和
都是等边三角形．
（1）求证：
；
（2）如图b，当点D 恰好落在
上时．
①求
的长及点E 的坐标；
②在x 轴上是否存在点P，使
为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
③如图c，点M 是线段
上的动点（点B，C 除外），过点M 作
于点G，
于点
H，当点M 运动时，
的值是否发生变化？简要说明理由．
17．已知：如图，在四边形ABCD 中，AD
BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD 于点E．
（1）求证：AD＝EB；
（2）若∠DCE＝15°，AB＝2，请直接写出DE 的长．
18．将两个完全相同的含
角直角三角板
如图所示放置，
（1）求证：
；
（2）连接
，求
的度数．
19．如图，在
中，
为
的中点，
，
，垂足分别为
，
，且
，
，求证：
是等边三角形．
20．如图，等边△ABC 的边长为
．点P 从点C 出发，沿C→B→A→C 的方向运动，速度为
；
同时点Q 从点B 出发，沿B→A→C 的方向运动，速度为
，两个点有一个点到达终点时，另一个点
随之停止运动．设运动时间为
，解答下列问题：
（1）当
时，BP=
（用含
的式子表示）；
（2）当
= 时，PQ//BC，此时，△APQ 是 三角形；
（3）当
时，求
的值．
21．如图．已知点
和点
在线段
上，且
，点
和点
在
的同侧，
，
，
和
相交于点
．
（1）求证：
；
（2）当
时，猜想
的形状，并说明理由．
22．如图，
是等边三角形，D 是
上一点，延长
到E，使
，连接
，
．
（1）如图，若D 是
的中点，直接写出
与
的数量关系是______．
（2）若D 是AC 上任意一点，判断
与
的数量关系，并画图证明．
