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17.1 勾股定理
知识点1：直角三角形的性质
(1)直角三角形的两个锐角互余；
(2)直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；
(3)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
知识点2：勾股定理
直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a2+b2=c2
知识点3：勾股定理的应用
（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
（2）用于解决带有平方关系的证明问题；
（3）与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用．
【例题1】（2020•宁波）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为中线，延长CB 至点E，使BE＝BC，连
结DE，F 为DE 中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF 的长为（ ）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
【答案】B
【解析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD 的长度；结
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合题意知线段BF 是△CDE 的中位线，则BF= 1
2
CD．
∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=√A C
2+ BC
2=√8
2+6
2=
10．
又∵CD 为中线，
∴CD= 1
2
AB＝5．
∵F 为DE 中点，BE＝BC 即点B 是EC 的中点，
∴BF 是△CDE 的中位线，则BF= 1
2
CD＝2.5．
【例题2】（2020•安顺）如图，△ABC 中，点E 在边AC 上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD 垂直于BE 的延长线
于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC 的长为 ．
【答案】4√5
【解析】延长BD 到F，使得DF＝BD，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案．
延长BD 到F，使得DF＝BD，
∵CD⊥BF，
∴△BCF 是等腰三角形，
∴BC＝CF，
过点C 点作CH∥AB，交BF 于点H
∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，
∴HF＝HC，
∵BD＝8，AC＝11，
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∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，
∴HF＝HC＝8﹣3＝5，
在Rt△CDH，
∴由勾股定理可知：CD＝4，
在Rt△BCD 中，
∴BC=√8
2+ 4
2=
4√5
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．若a、b、c 是△ABC 的三边，则a2+b2=c2
B．若a、b、c 是Rt△ABC 的三边，则a2+b2=c2
C．若a、b、c 是Rt△ABC 的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2
D．若a，b，c 是Rt△ABC 的三边，∠C=90°，则a2+b2=c2
【答案】D
【解析】利用勾股定理时，一定要找准直角边和斜边．根据勾股定理的内容，即可解答．
A．勾股定理只限于在直角三角形里应用，故A 可排除；
B．虽然给出的是直角三角形，但没有给出哪一个是直角，故B 可排除；
C．在Rt△ABC 中，直角所对的边是斜边，C 中的斜边应为a，得出的表达式应为b2+c2=a2，故C 也排除；
D．符合勾股定理，正确．
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2．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是
cm，则另一条直角边的长是（ ）
A．4cm B．
cm
C．6cm
D．
cm
【答案】C
【解析】根据含30 度角的直角三角形求出AB，根据勾股定理求出BC 即可．
∵∠C=90°，∠B=30°，AC=2
cm，
∴AB=2AC=4
cm，
由勾股定理得：BC=
=6cm
3．已知直角三角形的一直角边长为24，斜边长为25，则另一条直角边长为（ ）
A．16
B．12 C．9 D．7
【答案】D
【解析】本题直接根据勾股定理求解即可．
由勾股定理的变形公式可得：另一直角边长=
=7．
4．若等腰三角形两边长分别为4 和6，则底边上的高等于（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【解析】因为题目没有说明哪个边为腰哪个边为底，所以需要讨论，①当4 为腰时，此时等腰三角形的边
长为4、4、6；②当6 为腰时，此时等腰三角形的边长为4、6、6；然后根据等腰三角形的高垂直平分底边
可运用解直角三角形的知识求出高．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
边长为4、6 的等腰三角形有4、4、6 与4、6、6 两种情况，
①当是4、4、6 时，底边上的高AD=
=
=
；
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②当是4、6、6 时，同理求出底边上的高AD 是
=
．
5．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2 倍，则斜边扩大到原来的（ ）
A．2 倍B．4 倍C．3 倍D．5 倍
【答案】A
【解析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2 倍，则斜边扩大到原来的2 倍．
设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2=c2；
另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为
=2c．
即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2 倍，则斜边扩大到原来的2 倍．
6．如图，一架梯子长25 米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15 米，要使梯子顶端离地24 米，则梯子
的底部在水平方向上应滑动（ ）
A．11 米 B．12 米 C．13 米
D．14 米
【答案】C
【解析】顶端离地面15 米，梯子长25 米，运用勾股定理可以得出梯子在水平距离的长度，再利用要使梯
子顶端离地24 米，求出梯子底端水平距离，进而求出梯子方向上滑行的距离．
∵一架梯子长25 米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15
米，
∴梯子水平距离为：
=20 米，
∵要使梯子顶端离地24 米，
∴梯子水平滑动距离为：
=7 米，
∴梯子的底部在水平方向上应滑动：20﹣7=13 米．
7．（2020•宁波）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为中线，延长CB 至点E，使BE＝BC，连结DE，
F 为DE 中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF 的长为（ ）
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A．2
B．2.5
C．3
D．4
【答案】B
【解析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD 的长度；结
合题意知线段BF 是△CDE 的中位线，则BF= 1
2
CD．
∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=√A C
2+ BC
2=√8
2+6
2=
10．
又∵CD 为中线，
∴CD= 1
2
AB＝5．
∵F 为DE 中点，BE＝BC 即点B 是EC 的中点，
∴BF 是△CDE 的中位线，则BF= 1
2
CD＝2.5．
二、填空题
8．如图，三个正方形中的两个的面积S1=25，S2=144，则另一个的面积S3为 ．
【答案】169
【解析】注意能够根据勾股定理以及正方形的面积公式证明：S1+S2=S3．
根据直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现：S1+S2=S3．则S3为169．
由题可知，在直角三角形中两直角边的平方分别为25 和144，所以斜边的平方为144+25=169，
即面积S3为169．
9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则
正方形A，B，C，D 的面积之和为 cm2．
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【答案】49cm2．
【解析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面
积．由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D 的面积之和=49cm2．
10.小明从家中出发，先向正东前进200m，接着又朝正南方向前进150m，则这时小明离家的直线距离
为 m．
【答案】250
【解析】根据正东和正南可知道，开始走的两段路可看为直角三角形的直角边，然后这时小明离家的直线
距离为可知道求的是斜边的长．
∵先向正东前进200m，接着又朝正南方向前进150m，
∴这时小明离家的直线距离为
=250．
这时小明离家的直线距离为250m．
11．直角三角形的两条直角边长为5 和12，则斜边上的高是 ．
【答案】
．
【解析】在直角三角形中，已知两直角边长为5，12，根据勾股定理可以计算斜边的长，根据三角形面积
的不同方法计算可以求得斜边的高的长度．
在直角三角形中，已知两直角边为5，12，
则斜边长为
=13，
根据面积法，直角三角形面积可以根据两直角边求值，也可以根据斜边和斜边上的高求值，
即可求得两直角边的乘积=斜边长×斜边上高线长，
斜边上的高线长=
=
三、解答题
12．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚
度，请计算阳光透过的最大面积．
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【答案】阳光透过的最大面积为200 平方米．
【解析】此题只需根据勾股定理计算直角三角形的斜边，即矩形的宽．再根据矩形的面积公式计算．
根据勾股定理得，蔬菜大棚的斜面的宽度即直角三角形的斜边长为：
m，
所以蔬菜大棚的斜面面积为：10×20=200m2．
13．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m 的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18 元，
请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？
【答案】612
【解析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC 与BC 的和，在直角△ABC 中，根据勾股定理
即可求得BC 的长，地毯的长与宽的积就是面积．
由勾股定理，AC=
=
=12（m）．
则地毯总长为12+5=17（m），
则地毯的总面积为17×2=34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×18=612 元．
14．阅读下面内容后，请回答下面的问题：
学习勾股定理有关内容后，老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知直角三角形ABC 的两边长分
别为3 和4，请你求出第三边．”同学们经片刻的思考与交流后，张雨同学举手说：“第三边长是5”；
王宁同学说：“第三边长是
．”还有一些同学也提出了不同的看法…假如你也在课堂上，你的意见如何？
为什么？
【答案】
或5．
【解析】（1）当3、4，是直角边时，第三边等于
（2）当3 与所求的第三边是直角边，4 是斜边时，第三边等于
，
所以本题的答案应该是
或5．
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15.如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D 为AB 边上一
点，求证：（1）
；（2）
．
【答案】解析。
【解析】证明:（1） ∵
ACB
ECD
，
∴
ACE
ACD
BCD
ACD
．
即
ACE
BCD
．
∵
EC
DC
AC
BC
,
，
∴ △ACE≌△BCD．
（2）∵ ACB
是等腰直角三角形，
∴
45
BAC
B
．
∵ △ACE≌△BCD， ∴
45
CAE
B
．
∴
90
45
45
BAC
CAE
DAE
．
∴
2
2
2
DE
AE
AD
．
由（1）知AE＝DB，
∴
2
2
2
AD
DB
DE
+
=
．
16．在△ABC 中，AB＝10，AC＝2，BC 边上的高AD＝6，求另一边BC.
【答案】6 或10
【解析】本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD 和
CD，从而可求出BC 的长.
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在图①中，由勾股定理，得BD＝＝＝8
CD＝＝＝2
∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.
在图②中，由勾股定理，得BD＝＝＝8
CD＝＝＝2
∴BC＝BD―CD＝8―2＝6
