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专题四
三角函数与解三角形
第九讲三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
2019
年
1.
2019
9
（
北京）函数
f x
( )
sin
=
2 2x的最小正周期是 ________.
2.（2019 全国Ⅲ理12）设函数
( )
f x =sin（
5
x
+
）(＞0)，已知
( )
f x 在
0,2有且仅
有5 个零点，下述四个结论：
①
( )
f x 在（0,2）有且仅有3 个极大值点
②
( )
f x 在（0,2）有且仅有2 个极小值点
③
( )
f x 在（0,10
）单调递增
④的取值范围是[
12 29
5 10
，
)
其中所有正确结论的编号是
A． ①④ B． ②③ C． ①②③
D． ①③④
3.
2019
7
（
天津理
）已知函数
( )
sin(
)(
0,
0,|
|
)
f x
A
x
A
=
+
是奇函数，将
( )
y
f x
=
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的
倍（纵坐标不变），所得图像对应的函
2
数为
( )
g x .若
( )
g x 的最小正周期为2π ，且
π
2
4
g
=
，则
3π
8
f
=
A. 2
−
B.
2
−
C.
2
D.2
4.（2019 全国Ⅱ理10）已知α∈(0，
2
)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=
A．1
5
B．
5
5
C．
3
3
D．2
5
5
5.（2019 江苏13）已知
tan
2
π
3
tan
4
= −
+
，则
π
sin 2
4
+
的值是_________.
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6.（2019 浙江18）设函数
( )
sin ,
f x
x x
=
R .
（1）已知
[0,2 ),
函数
(
)
f x
+
是偶函数，求的值；
（2）求函数
2
2
[ (
)]
[ (
)]
12
4
y
f x
f x
=
+
+
+
的值域.
2010-2018
年
一、选择题
1
(2018
．
全国卷Ⅲ若
)
1
sin
3
=
，则cos2=
A．8
9
B．7
9
C．
7
9
−
D．
8
9
−
2
2016
．（
年全国III）若
3
tan
4
=
，则
2
cos
2sin2
+
=
A．64
25
B．48
25
C
1 D
．
．16
25
3
2016
．（
年全国II）若
3
cos(
)
4
5
−
=
，则sin2=（
）
A．7
25
B．1
5
C．
1
5
−
D．
7
25
−
4
2015
．（
新课标Ⅰ）
sin20 cos10
cos160 sin10
−
=
A．
3
2
−
B．
3
2
C．
1
2
−
D．1
2
5
2015
．（
重庆）若
tan
2tan 5
=
，则
3
cos(
)
10
sin(
)
5
−
−
＝
A
1 B
2 C
3 D
4
．
．
．
．
6
2014
．（
新课标Ⅰ）若
0
tan
，则
A．
0
sin
B
．
0
cos
C
．
0
2
sin
D
．
0
2
cos
7
2014
．（
新课标Ⅰ）设
(0,
)
2
，
(0,
)
2
，且
1 sin
tan
cos
+
=
，则
A．3
2
−
=
B．2
2
−
=
C．3
2
+
=
D．2
2
+
=
8
2014
．（
江西）在ABC
中，内角
，，
所对应的边分别为
A
B
C
,
,
,
c
b
a
，若3
2
a
b
=
，则
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2
2
2
2sin
sin
sin
B
A
A
−
的值为（
）
A．
1
9
−
B．1
3
C．1 D．7
2
9
(2013
．
新课标Ⅱ已知
)
2
sin 2
3
=
，则
2
cos (
)
4
+
=（
）
A．1
6
B．1
3
C．1
2
D．2
3
10．（ 2013 浙江）已知
2
10
cos
2
sin
,
=
+
R
，则
=
2
tan
A．
3
4
B．
4
3
C．
4
3
−
D．
3
4
−
11．（2012 山东）若
2
,
4
，
8
7
3
2
sin
=
，则
=
sin
A．5
3
B
．5
4
C．4
7
D．4
3
12．(2012 江西)若
sin
cos
1
sin
cos
2
+
=
−
，则tan2α=
A．−3
4
B
．3
4
C．−4
3
D．4
3
13．（ 2011 新课标）已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线
2
y
x
=
上，则cos2=
A．
4
5
−
B．
3
5
−
C．3
5
D．4
5
14．（ 2011 浙江）若0
2
＜＜
，
0
2
-
＜＜，
1
cos(
)
4
3
+
=
，
3
cos(
)
4
2
3
−
=
，则
cos(
)
2
+
=
A．
3
3
B．
3
3
−
C．5 3
9
D．
6
9
−
15．（ 2010 新课标）若
4
cos
5
= −
，是第三象限的角，则
1
tan 2
1 tan 2
+
=
−
A．
1
2
−
B．1
2
C
2
D
-2
．
．
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二、填空题
16．(2018 全国卷Ⅰ已知函数
)
( )
2sin
sin2
=
+
f x
x
x，则
( )
f x 的最小值是
．
_____
17．(2018 全国卷Ⅱ)已知
sin
cos
1
+
=
α
β
，
cos
sin
0
+
=
α
β
，则
sin(
)
+
=
α
β
___．
18．（ 2017 新课标Ⅱ）函数
2
3
( )
sin
3 cos
4
f x
x
x
=
+
−
(
[0,
])
2
x
的最大值是
．
19．（2017 北京）在平面直角坐标系xOy 中，角与角均以Ox 为始边，它们的终边关
于y 轴对称．若
1
sin
3
=
，则
cos(
)
−
=___________．
20．（ 2017 江苏）若
1
tan(
)
4
6
−
=
，则tan
=
．
21．（ 2015 四川）
=
+
75
sin
15
sin
．
22．（ 2015 江苏）已知
tan
2
= −，
(
)
1
tan
7
+
=
，则tan 的值为_______
．
23．（ 2014 新课标Ⅱ）函数
( )
(
)
(
)
sin
2
2sin
cos
f x
x
x
=
+
−
+
的最大值为
．
____
24．（ 2013 新课标Ⅱ）设为第二象限角，若
1
tan
4
2
+
=
，则
sin
cos
+
=___．
25．（ 2013 四川）设
sin2
sin
= −
，
(
, )
2
，则tan2的值是_____．
26．（
江苏）设
2012
为锐角，若
4
cos
6
5
+
=
，则
sin 2
12
+
的值为
．
三、解答题
27．（
江苏）已知
2018
,
为锐角，
4
tan
3
=
，
5
cos(
)
5
+
= −
．
(1)求cos2的值；
(2)求
tan(
)
−
的值．
28．（
浙江）已知角
2018
的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过
点
3
4
(
,
)
5
5
P −
−
．
(1)求
sin(
)
+
的值；
(2)若角满足
5
sin(
)
13
+
=
，求cos 的值．
29．（ 2017 浙江）已知函数
2
2
( )
sin
cos
2 3sin cos
f x
x
x
x
x
=
−
−
(
)
xR ．
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（Ⅰ）求
2
(
)
3
f
的值；
（Ⅱ）求
( )
f x 的最小正周期及单调递增区间．
30．(2014 江苏)已知
)
,
2
(
，
5
5
sin
=
．
(1)求
)
4
sin(
+
的值；
(2)求
)
2
6
5
cos(
−
的值．
31．（ 2014 江西）已知函数( )
(
)
(
)
+
+
=
x
x
a
x
f
2
cos
cos
2
2
为奇函数，且
0
4 =
f
，其
中
(
)
，
，
0
R
a
．
（）求
1
，
a
的值；
（）若
2
−
=
，
，
2
5
2
4
f
，求
+ 3
sin
的值．
32．（ 2013 广东）已知函数
( )
2 cos
,
12
f x
x
x
R
=
−
．
(1) 求
3
f
的值；
(2) 若
3
3
cos
,
,2
5
2
=
，求
6
f
−
．
33．（ 2013 北京）已知函数
2
1
( )
(2cos
1)sin 2
cos4
2
f x
x
x
x
=
−
+
（）求
1
( )
f x 的最小正周期及最大值；
（）若
2
(
, )
2
，且
2
( )
2
f =
，求的值．
34．（2012 广东）已知函数
( )
2cos(
)
6
f x
x
=
+
，（其中
0
，x
R
）的最小正周期为
10．
(1)求的值；
(2)设
,
[0,
]
2
,
5
6
(5
)
3
5
f
+
= −
,
5
16
(5
)
6
17
f
−
=
,求
cos(
)
+
的值．
