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§6.3 等比数列
考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比
数列与指数函数的关系．
知识梳理
1．等比数列有关的概念
(1)定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这
个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.
(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G，使a ，
G ，
b 成等比数列，那么G 叫做a 与b
的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1q n － 1 .
(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.
(3)等比数列的前n 项和公式：当q＝1 时，Sn＝na1；当q≠1 时，Sn＝＝.
3．等比数列性质
(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝
a paq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝
a ，
其中m，n，w∈N*.
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为q m (k，m∈N*)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列
(b，p，q≠0)．
(4)等比数列{an}的前n 项和为Sn，则Sn，S2n－
S n，S3n－
S 2n 仍成等比数列，其公比为qn.(n 为
偶数且q＝－1 除外)
(5)若或则等比数列{an}递增．
若或则等比数列{an}递减．
常用结论
1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.
2．等比数列{an}的前n 项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
3．数列{an}是等比数列，Sn是其前n 项和．
(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
(2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
1
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(1)三个数a，b，c 成等比数列的充要条件是b2＝ac.( × )
(2)当公比q>1 时，等比数列{an}为递增数列．( × )
(3)等比数列中所有偶数项的符号相同．( √ )
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( × )
教材改编题
1．设a，b，c，d 是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若a，b，c，d 成等比数列，则ad＝bc，
数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1 不是等比数列，
即“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要不充分条件．
2．设等比数列{an}的前n 项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于( )
A．31 B．32 C．63 D．64
答案 C
解析 根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－
S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.
3 ．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13 ，积等于27 ，则这三个数为
________________．
答案 1,3,9 或9,3,1
解析 设这三个数为，a，aq，
则解得或
∴这三个数为1,3,9 或9,3,1.
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3 项和为168，a2－a5＝42，则a6等于( )
A．14 B．12 C．6 D．3
答案 D
解析 方法一 设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.
由题意可得
即解得
2
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所以a6＝a1q5＝3，故选D.
方法二 设等比数列{an}的公比为q，
易知q≠1.由题意可得
即解得
所以a6＝a1q5＝3，故选D.
(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，
他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把
一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十
二等程律”．即一个八度13 个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率
是最初那个音的2 倍．设第二个音的频率为f1，第八个音的频率为f2.则等于( )
A. B. C. D．4
答案 A
解析 设第一个音的频率为a，相邻两个音之间的频率之比为q，那么an＝aqn－1，
根据最后一个音的频率是最初那个音的2 倍，得a13＝2a＝aq12，即q＝
，
所以＝＝q6＝.
思维升华 等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃
而解．
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
(3)运用等比数列的前n 项和公式时，一定要讨论公比q＝1 的情形，否则会漏解或增解．
跟踪训练1 (1)设正项等比数列{an}的前n 项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q 等于(
)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 ∵S2＝3，S4＝15，∴q≠1，
由题意，得
得q2＝4，又q>0，∴q＝2.
(2)在1 和2 之间插入11 个数使包含1 和2 的这13 个数依次成递增的等比数列，记插入的11
个数之和为M，插入11 个数后这13 个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是( )
A．插入的第8 个数为
B．插入的第5 个数是插入的第1 个数的倍
C．M>3
D．N<7
答案 D
3
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解析 设该等比数列为{an}，公比为q，
则a1＝1，a13＝2，
故q12＝＝2.
插入的第8 个数为a9＝a1q8＝，故A 正确；
插入的第5 个数为a6＝a1q5，插入的第1 个数为a2＝a1q，所以＝＝q4＝，故B 正确；
M＝＝＝－1－
，
要证M>3，即证－1－
>3，
即证
>4，
即证>
，
即证12>2，
而12>6>2 成立，故C 正确；
N＝M＋3.
因为12>(1.4)6>(1.9)3>2，
所以>
，
所以
>5，
所以－1－
>4，即M>4，
所以N＝M＋3>7，故D 错误．
题型二 等比数列的判定与证明
例2 已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n 项和，从下面①②③中选取两个作
为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
解 选①②作为条件证明③：
设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1，
当n＝1 时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，
4
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因为{an}是等比数列，所以＝，解得q＝2，所以a2＝2a1.
选①③作为条件证明②：
因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以公比q＝2，
所以Sn＝＝a1(2n－1)，即Sn＋a1＝a12n，
因为＝2，所以{Sn＋a1}是等比数列．
选②③作为条件证明①：
设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1，
当n＝1 时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，
因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，
所以当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1，
又因为＝2(n≥2)，且a2＝2a1，
所以{an}为等比数列．
思维升华 等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q 为非零常数，n∈N*)或＝q(q 为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比
数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0 且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．
(3)前n 项和公式法：若数列{an}的前n 项和Sn＝k·qn－k(k 为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是
等比数列．
跟踪训练2 在数列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n 项和Sn.
(1)证明 因为a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，
所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，
即＝.
因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，
所以＝2，
所以数列{an＋1}是以3 为首项，2 为公比的等比数列．
(2)解 由(1)知，an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，
所以Sn＝－n＝3·2n－n－3.
题型三 等比数列的性质
例3 (1)(2023·黄山模拟)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0 的两根，则的值
为( )
A. B．3 C．± D．±3
5
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答案 B
解析 ∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0 的两根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，
∴a1>0，a13>0，a1·a13＝a2·a12＝a＝9，
又数列{an}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a7＝3，
∴＝＝3.
(2)已知正项等比数列{an}的前n 项和为Sn 且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a11＋a12 的最小值为
______．
答案 24
解析 由题意可得S8－2S4＝6，可得S8－S4＝S4＋6，
由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，
则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，
综上可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝S4＋＋12≥24，
当且仅当S4＝6 时等号成立．综上可得，a9＋a10＋a11＋a12的最小值为24.
思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，
三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问
题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
跟踪训练3 (1)(2023·六安模拟)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等
于( )
A．40 B．36 C．54 D．81
答案 C
解析 在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，
∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，∴a7＋a8＝(a3＋a4)·2＝24×2＝54.
(2)等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是
192，则首项a1等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ∵an＝192，
∴q＝＝＝＝－2，
又Sn＝＝S 奇＋S 偶，
即＝255＋(－126)，
解得a1＝3.
(3)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为(
)
A．2 B．4 C．8 D．16
6
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答案 A
解析 ∵a1a2…a8＝16，
∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，
∴＋＋…＋＝＋＋＋
＝(a1＋a8)＋(a2＋a7)＋(a3＋a6)＋(a4＋a5)
＝(a1＋a2＋…＋a8)＝2.
课时精练
1．(2023·岳阳模拟)已知等比数列{an}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
答案 A
解析 设an＝a1qn－1，∵a5－a3＝8，a6－a4＝24，
∴
解得∴a3＝a1q2＝×32＝1.
2．数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k 等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即＝a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公
比为2 的等比数列，所以an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝2k (a1＋a2＋…＋a10)＝2k×＝
2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4.
3．若等比数列{an}中的a5，a2 019 是方程x2－4x＋3＝0 的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3
＋…＋log3a2 023等于( )
A. B．1 011 C. D．1 012
答案 C
解析 由题意得a5a2 019＝3，
根据等比数列性质知，
a1a2 023＝a2a2 022＝…＝a1 011a1 013＝a1 012a1 012＝3，
于是a1 012＝
，
则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 023
＝log3(a1a2a3…a2 023)
7
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＝log3
＝.
4．(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙
门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”
共7 层，每上层的数量是下层的2 倍，总共有1 016 个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一
幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3·a5)的值为(
)
A．16 B．12 C．10 D．8
答案 B
解析 由题意，得{an}是以2 为公比的等比数列，
∴S7＝＝1 016,127a1＝1 016，解得a1＝8，
∴log2(a3·a5)＝log2(8×22×8×24)＝12.
5．(多选)已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下
列结论正确的是( )
A．{an＋Sn}是等差数列
B．{an·Sn}是等比数列
C．{a}是等差数列
D．是等比数列
答案 ACD
解析 由{Sn}是等差数列，可得2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，∴a2＝a3，
∵{an}是各项均为正数的等比数列，∴a2＝a2q，可得q＝1.∴an＝a1>0，
∴an＋Sn＝(n＋1)a1，∴数列{an＋Sn}是等差数列，因此A 正确；
a＝a，∴{a}是常数列，为等差数列，因此C 正确；
＝a1>0，∴是等比数列，因此D 正确；
anSn＝na，∴{an·Sn}不是等比数列，因此B 不正确．
6．已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的最小值为(
)
A. B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由已知得数列{an}的公比满足q3＝＝，
解得q＝，∴a1＝2，a3＝，故数列{anan＋1}是首项为2，公比为＝的等比数列，
∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝
＝∈，故选C.
7．已知Sn 是等比数列{an}的前n 项和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，则公比q＝
________，S5＋a5＝________.
8
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答案 3 202
解析 由题意得2a1＝2，∴a1＝1.由a1＋a1q＋2a1q2＝22，得q＝3 或q＝－，∵an>0，∴q＝－
不符合题意，故q＝3，∴S5＋a5＝＋1×34＝202.
8．已知数列{an}为等比数列，若数列{3n－an}也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以为
__________.(写出一个即可)
答案 an＝3n－1(答案不唯一)
解析 设等比数列{an}的公比为q，令bn＝3n－an，则b1＝3－a1，b2＝32－a1q，b3＝33－
a1q2，∵{bn}是等比数列，∴b＝b1b3，即(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，可化为q2－6q＋9＝0，
解得q＝3，取a1＝1，则an＝3n－1.(注：a1的值可取任意非零实数)．
9．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n 项和，若Sm＝63，求m.
解 (1)设数列{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2 或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*)．
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63 得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63 得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.
10．Sn为等比数列{an}的前n 项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ 的值；若不存在，请说明
理由．
解 (1)由题意可得解得a1＝1，q＝3，
所以an＝3n－1，Sn＝＝.
(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列．
因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则＝3.
故存在常数λ＝，使得数列是等比数列．
11．(多选)在数列{an}中，n∈N*，若＝k(k 为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列关于
“等差比数列”的判断正确的是( )
A．k 不可能为0
B．等差数列一定是“等差比数列”
9
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C．等比数列一定是“等差比数列”
D．“等差比数列”中可以有无数项为0
答案 AD
解析 对于A，k 不可能为0，正确；
对于B，当an＝1 时，{an}为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；
对于C，当等比数列的公比q＝1 时，an＋1－an＝0，分式无意义，所以{an}不是“等差比数
列”，错误；
对于D，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1 是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．
12．记Sn为等比数列{an}的前n 项和，已知a1＝8，a4＝－1，则数列{Sn}( )
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
答案 A
解析 根据题意，等比数列{an}中，a1＝8，a4＝－1，则q3＝＝－，则q＝－，
则Sn＝＝＝，
若n 为奇数，则Sn＝，此时有S1>S3>…>Sn>；
若n 为偶数，则Sn＝，此时有S2<S4<…<Sn<，
故S1最大，S2最小．
13．设{an}是公比为q 的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四
项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
答案 －9
解析 {bn}有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中，bn＝an＋1，则an＝bn－1，{an}有连续四
项在{－54，－24,18,36,81}中．又{an}是等比数列，等比数列中有负数项则q<0，且负数项
为相隔两项，
等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18，－
24,36，－54,81，
相邻两项相除＝－，＝－，＝－，＝－，
很明显，－24,36，－54,81 是{an}中连续的四项，
q＝－或q＝－(|q|>1，∴此种情况应舍)，
∴q＝－，∴6q＝－9.
14．记Sn 为数列{an}的前n 项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝
________，Tn＝________.
答案
解析 由题意得a1＝1－a1，故a1＝.当n≥2 时，由得an＝－an＋an－1，则＝，故数列{an}是
10
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以为首项，为公比的等比数列，故数列{an}的通项公式为an＝.由等比数列的性质可得a1a3＝
a，a3a5＝a，…，a2n－1a2n＋1＝a，所以数列{a2n－1a2n＋1}是以a＝为首项，为公比的等比数列，
则Tn＝a＋a＋…＋a＝＝.
15．将正整数按照如图所示方式排列：
试问2 024 是表中第________行的第________个数．
答案 11 1 001
解析 由题意得第n 行有2n－1个数，前10 行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝
＝1 023(个)数，前11 行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝＝2 047(个)数，
故2 024 在表中第11 行，又表中第11 行有210＝1 024(个)数，故2 024 是表中第11 行的第1
001 个数．
16．(2023·泰安模拟)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，an>0,4S1＋S2＝S3.
(1)求数列{an}的公比q；
(2)对于∀n∈N*，不等式＋n2＋≥6n＋t 恒成立，求实数t 的最大值．
解 (1)由4S1＋S2＝S3，
得4a1＋a1＋a2＝a1＋a2＋a3，
整理得4a1＝a3，
所以4a1＝a1q2.
因为a1≠0，所以q2＝4，
由题意得q>0，所以q＝2.
(2)由(1)得Sn＝＝a1(2n－1)，
an＝a1·2n－1，
所以＝.
所以不等式＋n2＋≥6n＋t 恒成立，等价于＋n2＋≥6n＋t 恒成立，
所以t≤＋n2－6n＋.
令f(n)＝＋n2－6n＋＝(n－3)2－.
当n＝1 时，f(1)＝4－＝；
当n＝2 时，f(2)＝1－＝；
当n≥3 时，f(n)单调递增，
所以f(n)≥f(3)＝－.
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所以t≤－，
故实数t 的最大值为－.
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