专题01 集合和常用逻辑用语
【目录】
.............................................................................................................................................2
.............................................................................................................................................3
.............................................................................................................................................3
.............................................................................................................................................4
.............................................................................................................................................8
考点一：集合的基本概念.......................................................................................................................................8
考点二：集合间的基本关系...................................................................................................................................9
考点三：集合的运算............................................................................................................................................12
考点四：以集合为载体的创新题..........................................................................................................................15
考点五：充分条件与必要条件.............................................................................................................................17
考点六：全称量词与存在量词.............................................................................................................................19
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分
值5 分．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能
力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．
考点要求
考题统计
考情分析
集合的基本概念
2023 年上海卷第13 题，4 分
集合间的基本关系
2023 年II 卷第2 题，5 分
2021 年上海卷第14 题，5 分
集合的运算
2023 年 I 卷第1 题，5 分
2022 年I 卷第1 题，5 分
2021 年I 卷第1 题，5 分
充分条件与必要条件
2023 年天津卷第2 题，5 分
2022 年天津卷第2 题，5 分
2021 年甲卷第7 题，5 分
【命题预测】
预测2024 年高考，多以小题
形式出现，也有可能会将其渗
透在解答题的表达之中，相对
独立．具体估计为：
（1）以选择题或填空题形式
出现，考查学生的综合推理能
力．
（2）热点是集合间的基本运
算、数轴法的应用和体现集合
的语言工具作用．
1、集合中的逻辑关系
（1）交集的运算性质．
A
B
B
A
，A
B
A
，A
B
B
A
I
A
，A
A
A
，A．
（2）并集的运算性质．
A
B
B
A
，A
A
B
，B
A
B
A
I
I
，A
A
A
，A
A
．
（3）补集的运算性质．
(
)
I
I A
A
ð ð
，
I
I
ð
，
I I
ð
(
)
I A
A
ð
，
(
)
I
A
A I
ð
．
补充性质：
I
I
I
A
B
A
A
B
B
A
B
B
A
A
B
ð
ð
ð
．
（4）结合律与分配律．
结合律：
(
)
(
)
A
B
C
A
B
C
(
)
(
)
A
B
C
A
B
C
．
分配律：
(
)
(
)
(
)
A
B
C
A
B
A
C
(
)
(
)
(
)
A
B
C
A
B
A
C
．
（5）反演律（德摩根定律）．
(
)
(
)
(
)
I
I
I
A
B
A
B
ð
ð
ð
(
)
(
)
(
)
I
I
I
A
B
A
B
ð
ð
ð
．
即“交的补补的并”，“并的补补的交”．
2、由
*
(
N )
n n
个元素组成的集合A 的子集个数
A 的子集有2n 个，非空子集有2
1
n 个，真子集有2
1
n 个，非空真子集有2
2
n
个．
3、容斥原理
(
)
( )
( )
(
)
Card A
B
Card A
Card B
Card A
B
．
4、从集合与集合之间的关系上看
设
|
( ) ,
| ( )
A
x p x
B
x q x
.
（1）若A
B
，则p 是q 的充分条件( p
q
)，q 是p 的必要条件；若A
B
，则p 是q 的充分不
必要条件，q 是p 的必要不充分条件，即p
q
且q
p
¿
；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.
（2）若B
A
，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；
（3）若A
B
，则p 与q 互为充要条件.
1．（2023•新高考Ⅱ）设集合
{0
A
，
}
a
，
{1
B
，
2
a
，2
2}
a
，若A
B
，则
(
a )
A．2
B．1
C．2
3
D．1
【答案】B
【解析】依题意，
2
0
a
或2
2
0
a
，
当
2
0
a
时，解得
2
a
，
此时
{0
A
，2}
，
{1
B
，0，2}，不符合题意；
当2
2
0
a
时，解得
1
a ，
此时
{0
A
，1}
，
{1
B
，1
，0} ，符合题意．
故选：B ．
2．（2023•北京）已知集合
{ |
2 0}
M
x x
，
{ |
1
0}
N
x x
．则
(
M
N
I
)
A．{ | 2
1}
x
x
B．{ | 2
1}
x
x
C．{ |
2}
x x
D．{ |
1}
x x
【答案】A
【解析】由题意，
{ |
2}
M
x x
，
{ |
1}
N
x x
，
{ | 2
1}
M
N
x
x
I
．
故选：A ．
3．（2023•天津）已知集合
{1
U
，2，3，4，5}，
{1
A
，3}，
{1
B
，2，4}，则
(
U B
A
U
ð
)
A．{1，3，5}
B．{1，3}
C．{1，2，4}
D．{1，2，4，5}
【答案】A
【解析】
{1
U
，2，3，4，5}，
{1
A
，3}，
{1
B
，2，4}，
则
{3
U
C B
，5}，
故
{1
U B
A
U
ð
，3，5}．
故选：A ．
4．（2023•新高考Ⅰ）已知集合
{ 2
M ，1
，0，1，2}，
2
{ |
6 0}
N
x x
x
，则
(
M
N
I
)
A．{ 2
，1
，0，1} B．{0 ，1，2}
C．{ 2}
D．{2}
【答案】C
【解析】
2
6 0
x
x
Q
，
(
3)(
2) 0
x
x
，
3
x
或
2
x
，
(
N ，2]
[3
U
，
)
，则
{ 2}
M
N
I
．
故选：C ．
5．（2023•乙卷）设集合U
R
，集合
{ |
1}
M
x x
，
{ | 1
2}
N
x
x
，则{ |
2}
(
x x
)
A．
(
)
U M
N
U
ð
B．
U
N
M
Uð
C．
(
)
U M
N
I
ð
D．
U
M
N
Uð
【答案】A
【解析】由题意：
{ |
2}
M
N
x x
U
，又U
R
，
(
)
{ |
2}
U
C
M
N
x x
U
．
故选：A ．
6 ．（2023 • 甲卷）设集合
{ |
3
1
A
x x
k
，
}
k
Z
，
{ |
3
2
B
x x
k
，
}
k
Z
，U 为整数集，则
(
)
(
U A
B
U
ð
)
A．{ |
3
x x
k
，
}
k
Z
B．{ |
3
1
x x
k
，
}
k
Z
C．{ |
3
2
x x
k
，
}
k
Z
D．
【答案】A
【解析】
{ |
3
1
A
x x
k
Q
，
}
k
Z
，
{ |
3
2
B
x x
k
，
}
k
Z
，
{ |
3
1
A
B
x x
k
U
或
3
2
x
k
，
}
k
Z
，又U 为整数集，
(
)
{ |
3
U A
B
x x
k
U
ð
，
}
k
Z
．
故选：A ．
7．（2023•上海）已知
{1
P
，2}，
{2
Q
，3}，若
{ |
M
x x
P
，
}
x
Q
，则
(
M
)
A．{1}
B．{2}
C．{3}
D．{1，2，3}
【答案】A
【解析】
{1
P
Q
，2}，
{2
Q
，3}，
{ |
M
x x
P
，
}
x
Q
，
{1}
M
．
故选：A ．
8．（2023•天津）“
2
2
a
b
”是“
2
2
2
a
b
ab
”的( )
A．充分不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
2
2
a
b
，即(
)(
)
0
a
b a
b
，解得a
b
或a
b
，
2
2
2
a
b
ab
，即
2
(
)
0
a
b
，解得a
b
，
故“
2
2
a
b
”不能推出“
2
2
2
a
b
ab
”，充分性不成立，
“
2
2
2
a
b
ab
”能推出“
2
2
a
b
”，必要性成立，
故“
2
2
a
b
”是“
2
2
2
a
b
ab
”的必要不充分条件．
故选：B ．
9．（2022•浙江）设x
R
，则“sin
1
x ”是“ cos
0
x
”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
2
2
sin
cos
1
x
x
Q
，
①当sin
1
x 时，则cos
0
x
，充分性成立，
②当cos
0
x
时，则sin
1
x ，必要性不成立，
sin
1
x
是cos
0
x
的充分不必要条件，
故选：A ．
10．（2022•天津）“ x 为整数”是“ 2
1
x 为整数”的( ) 条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】x 为整数时，2
1
x 也是整数，充分性成立；
2
1
x 为整数时，x 不一定是整数，如
1
2
x
时，所以必要性不成立，是充分不必要条件．
故选：A ．
11．（2022•新高考Ⅰ）若集合
{ |
4}
M
x
x
，
{ | 3
1}
N
x
x
，则
(
M
N
I
)
A．{ | 0
2}
x
x
B．
1
{ |
2}
3
x
x
C．{ | 3
16}
x
x
D．
1
{ |
16}
3
x
x
【答案】D
【解析】由
4
x
，得0
16
x
，
{ |
4}
{ | 0
16}
M
x
x
x
x
，
由3
1
x ，得
1
3
x
，
1
{ | 3
1}
{ |
}
3
N
x
x
x x
，
1
1
{ | 0
16}
{ |
}
{ |
16}
3
3
M
N
x
x
x x
x
x
I
I
．
故选：D ．
12．（2022•新高考Ⅱ）已知集合
{ 1
A ，1，2，4}，
{ ||
1| 1}
B
x
x
，则
(
A
B
I
)
A．{ 1
，2}
B．{1，2}
C．{1，4}
D．{ 1
，4}
【答案】B
【解析】|
1| 1
x
，解得：0
2
x
，
集合
{ | 0
2}
B
x
x
{1
A
B
I
，2}．
故选：B ．
13．（2022•甲卷）设全集
{ 2
U ，1
，0，1，2，3}，集合
{ 1
A ，2}，
2
{ |
4
3
0}
B
x x
x
，则
(
)
(
U A
B
U
ð
)
A．{1，3}
B．{0 ，3}
C．{ 2
，1}
D．{ 2
，0}
【答案】D
【解析】
2
{ |
4
3
0}
{1
B
x x
x
Q
，3}，
{ 1
A ，2}，
{ 1
A
B
U
，1，2，3}，
又
{ 2
U ，1
，0，1，2，3}，
(
)
{ 2
U A
B
U
ð
，0} ．
故选：D ．
14．（2022•乙卷）集合
{2
M
，4，6，8，10}，
{ | 1
6}
N
x
x
，则
(
M
N
I
)
A．{2 ，4}
B．{2 ，4，6}
C．{2 ，4，6，8}
D．{2 ，4，6，8，10}
【答案】A
【解析】
{2
M
Q
，4，6，8，10}，
{ | 1
6}
N
x
x
，
{2
M
N
I
，4}．
故选：A ．
考点一：集合的基本概念
利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．
例1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知集合
2
1,
*,
10
P
n n
k
k
k
N
，
2,3,5
Q
，则集合
,
T
xy x
P y
Q
中元素的个数为（ ）
A．30
B．28
C．26
D．24
【答案】B
【解析】
2
1,
*,
10
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19
P
n n
k
k
k
N
，
2,3,5
Q
，
因为
,
T
xy x
P y
Q
，
当
,
2
x
P y
时，xy 为偶数，共有10个元素.
当
,
3
x
P y
时，xy 为奇数，
此时
3,9,15,21,27,33,39,45,51,57
xy
，共有10个元素.
当
,
5
x
P y
时，xy 为奇数，
此时
5,15,25,35,45,55,65,75,85,95
xy
，有重复数字15,45，去掉，共有8个元素.
综上
,
T
xy x
P y
Q
中元素的个数为10
10
8
28
个.
故选：B
例2．（2023 秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）若
2,0, 1
, ,0
a
a b
，则ab的值是（ ）
A．0
B．1
C．1
D．1
【答案】C
【解析】因为
2,0, 1
, ,0
a
a b
，所以①
2
1
a
a
b
或②
2
1
a
b
a
，由①得
0
1
a
b
或
1
1
a
b
，其中
0
1
a
b
与
元素互异性矛盾，舍去，
1
1
a
b
符合题意，由②得
1
1
b
a
，符合题意，两种情况代入得
1
ab .
故选：C.
例3．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合
1, ,
A
a b
，
2, ,
B
a a ab
，若A
B
，则
2023
2022
a
b
（ ）
A．1
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【解析】由题意A
B
可知，两集合元素全部相等，得到
2
1
a
ab
b
或
2
1
a
b
ab
，又根据集合互异性，可知
1
a ，解得
1
a (舍)，
1
0
a
b
和
1
1
a
b
(舍)，所以
1
a ，
0
b
，则
2023
2022
2023
2022
( 1)
0
1
a
b
，
故选：A
例4．（2023 秋·广东惠州·高三校考阶段练习）已知集合
2
2,
Z
A
x a
a
x
x
中恰有两个元素，则a 的
取值范围为（ ）
A．
0,1
B．
0,1
C．
1,2
D．
1,2
【答案】B
【解析】由集合
2
2,
A
x a
a
x
x
Z
中恰有两个元素，得
2
1
0
a
a
，
解得
0,1
a
．
故选：B．
例5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知集合
1,0,1
A
，
2
|
1
,
1
B
m m
A m
A
，则集合B 中所
有元素之和为（ ）
A．0
B．1
C．－1
D．
2
【答案】C
【解析】根据条件分别令
2
1
1,0,1
m
，解得
0, 1,
2
m
，
又
1
m
A
，所以
1,
2
m
，
1,
2,
2
B
，
所以集合B 中所有元素之和是1
，
故选：C．
考点二：集合间的基本关系
（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的
关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．
（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满
足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．
例6．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）设
,
2
k
M
x x
k
Z ，
1 ,
2
N
x x
k
k
Z ，
则（ ）
A．M N
B．N M
C．M
N
=
D．M
N
【答案】B
【解析】因为
1
1 2
1
2
2
x
k
k
，因为k Z ，
所以集合N 是由所有奇数的一半组成，
而集合M 是由所有整数的一半组成，故N M .
故选：B
例7．（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知集合
0,1,2
A
，
1,
B
x x
n
n
A
，P
A
B
，
则P 的子集共有（ ）
A．4 个
B．8 个
C．16 个
D．32 个
【答案】C
【解析】因为
0,1,2
A
，
1,
B
x x
n
n
A
，所以
1,2,3
B
，
所以
0,1,2,3
P
A
B
U
，则P 的子集共有
4
2
16
个.
故选：C
例8．（2023·江西南昌·高三统考开学考试）已知集合
P
x y
x
∣
，
2x
Q
y y
∣
，则（ ）
A．Q
P
B．P
Q
C．P
Q
D．
R
Q
P
ð
【答案】A
【解析】根据幂函数y
x
的定义域知
|
0
x x
，则
0,
P
，
根据指数函数的值域知2
0
x
，则
0,
Q
，
则Q
P
，且Q
P
，故BC 错误，
R
,0
P
ð
，则D 错误，
故选：A.
例9．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试）集合
*
N
ln 5
2
A
x
y
x
x
|
的真子集
个数为（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
【答案】A
【解析】根据题意可知
5
0
2
0
x
x
，解得2
5
x
；
即
*
N
2
5
2,3,4
A
x
x
|
<
，可知集合A 中含有3 个元素，
所以其真子集个数为
3
2
1
7
个.
故选：A
例10．（2023·江苏扬州·高三仪征中学校考开学考试）设
2
8
15
0
A
x x
x
，
1
0
B
x ax
．若
B
A
，则实数a 组成的集合为（ ）
A．1 1
,
3 5
B．
1 1
,
3 5
C．
1 1
0,
,
3 5
D．
1 1
0,
,
3 5
【答案】C
【解析】由
2
8
15
0
x
x
得：
3
x
或
5
x
，
3,5
A
；
当B 时，
0
a
，此时满足B
A
；
当B 时，由
1
0
ax
得：
1
x
a
，即
1
B
a
，
B
A
Q
，
1
3
a
或1
5
a
，解得：
1
3
a
或
1
5
a
；
综上所述：实数a 组成的集合为
1 1
0,
,
3 5
.
故选：C.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知全集U 和它的两个非空子集A ，B 的关系如图所示，则下列命题
正确的是（ ）
A．x
A
，x
B
B．
x
A
，x
B
C．x
B
，x
A
D．
x
B
，x
A
【答案】B
【解析】由图可知B
A
，且A ，B 非空，
则根据子集的定义可得：
对于A ，x
A
，x
B
不正确，
对于B ，
x
A
，x
B
正确，
对于C ，x
B
，x
A
不正确，
对于D ，
x
B
，x
A
不正确，
故选：B ．
例12．（2023·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考开学考试）若集合
2
1
3
5 ,
5
16
A
x
a
x
a
B
x
x
,则能使A
B
成立的所有a 组成的集合为（ ）
A．
2
7
a
a
B．
6
7
a
a
C．
7
a a
D．
6
a a
【答案】C
【解析】当A 时,即2
1
3
5
a
a
,
6
a
时成立;
当A 时,满足
2
1
3
5
3
5
16
2
1
5
a
a
a
a
,解得6
7
a
;
综上所述:
7
a
.
故选:C.
考点三：集合的运算
凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、
并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.
例13．（2023·安徽滁州·高三校考开学考试）设全集U R ，集合
{ |
3 , 1
0}
P
y y
x
x
，
|
0
2
x
Q
x x
，则
U
P
Q
ð
等于（ ）
A．
2,0
B．
2,0
C．
3, 2
D．
3, 2
【答案】B
【解析】全集U R ，集合
{ |
3 , 1
0}
( 3,0)
P
y y
x
x
，
|
0
| (
2)
0(
2
{
0
2
x
Q
x
x x x
x
x x
x
或
2}
x
，
所以
{ | 2
0}
UQ
x
x
ð
，
则
{ | 2
0}
U
P
Q
x
x
ð
．
故选：B．
例14．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知全集为U ，集合M ，N 满足M
N
U
，则下列运算结果
为U 的是（ ）
A．M
N
B．
U
U
N
M
U
ð
ð
C．
U
M
N
U ð
D．
U
N
M
U ð
【答案】D
【解析】全集U ，集合M ，N 满足M
N
U
，绘制Venn 图，如下：
对于A：M
N
N
，A 错误；
对于B：
U
U
U
N
M
M
U
ð
ð
ð
，B 错误；
对于C：
U
M
N
U ð
U
，C 错误；
对于D：
U
N
M
U
ð
，D 正确.
故选：D.
例15．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若集合
2
,
,
,
2
A
x y
y
x
B
x y
y
x
∣
∣
，则A
B
I
（ ）
A．
1, 1 , 2, 4
B．
2, 4 , 1, 1
C．
2, 4
D．
2, 1
【答案】A
【解析】由
2
2
y
x
y
x
，解得：
1
1
x
y
或
2
4
x
y
，故A
B
I
1, 1 , 2, 4
.
故选：A
例16．（2023·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知全集U 的两个非空真子集
,
A B 满足
U A
B
B
U
ð
，则下列关系一定正确的是（ ）
A．A
B
B．A
B
B
I
C．A
B
A
D．
U B
A
A
U
ð
【答案】D
【解析】由
,
A B 是全集U 的两个非空真子集，
U A
B
B
U
ð
，得U A
B
ð
，
如图，当U A
B
ð
时，A
B
，A 错误；
观察图形A
B
B
I
，A
B
U
A
U
，BC 错误；
由U A
B
ð
，得U B
A
ð
，因此
U B
A
A
U
ð
，D 正确.
故选：D
例17．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1 世纪左右．该
书内容十分丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合
创新，给出下面问题：现有100 人参加有奖问答，一共5 道题，其中91 人答对第一题，87 人答对第二题，
81 人答对第三题，78 人答对第四题，88 人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得
奖品，则获得奖品的人数至少为（ ）
A．70
B．75
C．80
D．85
【答案】B
【解析】由题意知，一共回答了500 道题，其中回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75 道．
由于答对3 道题以上（包括3 道题）的人可以获得奖品，即答错3 道题及以上的人没有奖品，
故最多会有75
3
25
人没有奖品，故获得奖品的人数至少为75．
故选：B.
例18．（2023·天津静海·高三校考开学考试）设集合
0
8
U
x
N
x
，
1,2,3,4,5
S
，
3,5,7
T
，
则
U
S
T
ð
（ ）
A．
1,2
B．
1,2,3
C．
1,2,4
D．
1,2,4,5,6,8
【答案】C
【解析】由已知
{1,2,3,4,5,6,7,8}
U
，
{1,2,4,6,8}
UT
ð
，
(
)
{1,2,4}
U
S
T
I
ð
．
故选：C．
例19．（2023·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知集合
1
2
,
ln
0
2
x
M
x
N
x
x
|
>
|
>
，则
R
M
N
ð
（ ）
A．
1
1
x
x
B．
1
1
x
x
C．
1
x x
D．
1
x x
【答案】B
【解析】由
1
1
2
2
2
x
>
可得
|
1
M
x x
；
由ln
0
ln1
x
可得
|
1
N
x x
，即知
R
1
x x
N
|
ð
；
因此
R
1
1
M
N
x
x
ð
.
故选：B
例20．（2023·山西·统考三模）设全集为R ，集合
0
A
x x
∣
，
2
1
B
x
x
∣
，则
RA
B
I
ð
.
【答案】
2
0
x
x
∣
【解析】因为
0
A
x x
∣
，
所以
0
RA
x x
∣
ð
，
又因为
2
1
B
x
x
∣
所以
2
0
RA
B
x
x
I
∣
ð
.
故答案为：
2
0
x
x
∣
考点四：以集合为载体的创新题
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方
法并不难，难在转化.
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，
要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解.
例21．（2023·全国·高三专题练习）若a
A
且
1
a
A
,
1
a
A
,则称a 为集合A 的孤立元素．若集合
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
M
,集合N 为集合M 的三元子集，则集合N 中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A．33
84
B．17
42
C．35
84
D．
1
2
【答案】C
【解析】集合
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
M
的三元子集个数为
3
9
C
84
，
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N 可能为
,
{
{
1,3,5 , 1,3,6 , 1,3,7 , 1,3,8 , 1,3,9 , 1,4,6 , 1,4,7 , 1
{
,4,8 ,
}
1,
}
4
{
,
}
9
} {
} {
}
{
}, 1
{
,5
}
{
{
,7
}
}
,
{
{
1,5,8 , 1,5,9 , 1,6,8 , 1,6,9 , 1,7,9 , 2,4,6 , 2,4,7 , 2
{
,4,8 ,
}
2,
}
4
{
,
}
9
} {
} {
}
{
}, 2
{
,5
}
{
{
,7
}
}
,
{
{
2,5,8 , 2,5,9 , 2,6,8 , 2,6,9 , 2,7,9 , 3,5,7 , 3,5,8 , 3
{
,5,9 ,
}
3,
}
6
{
,
}
8
} {
} {
}
{
}, 3
{
,6
}
{
{
,9
}
}
3,7,9 , 4,6,8 , 4,6
}
{
,9 , 4,7
{
,9 ,
}
5
}
,
{
{
} { 7,9
}
，一共35 种，
由古典概率模型公式，可得集合N 中的元素都是孤立元素的概率
35
84
P
．
故选：C．
例22．（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算：
,
,
A
B
z z
x
y x
A y
B
，设
1,2
A
，
1,2,3
B
，则集合A
B
的所有元素之和为（ ）
A．14
B．15
C．16
D．18
【答案】A
【解析】由题设知
2,3,4,5
A
B
，
所有元素之和为2
3
4
5
14
，
故选：A.
例23．（2023·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代
数学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过
程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的开区间段1
3, 2
3
，记为第一次操作；再将剩下的两个区间
0, 1
3
，2
3 ,1
分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一
次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行
下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（ ）
A．2
9 , 1
3
B．
2
27 , 1
9
C．
8
27 , 1
3
D．8 25
9 27
,
【答案】C
【解析】第一次操作剩下：
1
2
0,
,
,1
3
3
；
第二次操作剩下：
1
2 1
2 7
8
0,
,
,
,
,
,
,1
9
9 3
3 9
9
；
第三次操作剩下：
1
2
1
2
7
8
1
2 19
20 7
8 25
26
0,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,1
27
27 9
9 27
27 3
3 27
27 9
9 27
27
；
即从左到右第四个区间为
8
1
,
27 3
.
故选：C.
例24．（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集A ，B ，定义
|
,
,
A
B
x x
a
b a
A b
B
，
{ |
A
B
x x
a
b ，
,
a
A b
B
，若集合A
1,2 ，则集合
A
A
A
中所有元素之和为（ ）
A．10
2
B．15
2
C．21
2
D．23
2
【答案】D
【解析】根据新定义，数集A ，B ，定义
|
,
,
A
B
x x
a
b a
A b
B
，
{ |
A
B
x x
a
b ，
,
a
A b
B
，集合A
1,2 ，
2 3 4
A
A
，，，
1 2 3 41.5
A
A
A
，，，，
，则可知所有元素的和为11.5，
故选：D.
例25．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）对于集合A，B，定义集合
A
B
x x
A
且
x
B
，已知集合
3
7,
Z
U
x
x
x
，
1,0,2,4,6
E
，
0,3,4,5
F
，则
U E
F
ð
（ ）
A．
2,0,1,3,4,5
B．
0,1,3,4,5
C．
1,2,6
D．
2,0,1,3,4
【答案】A
【解析】结合新定义可知
1,2,6
E
F
，又
2, 1,0,1,2,3,4,5,6
U
，
所以
2,0,1,3,4,5
U E
F
ð
．
故选：A
例26．（2023·全国·高三专题练习）对于集合
,
A B ，定义
A
B
x x
A
，且
x
B
．若
{ |
2
1,
N}
A
x x
k
k
，
{ |
3
1,
N}
B
x x
k
k
，将集合A
B
中的元素从小到大排列得到数列
na
，则
7
30
a
a
（ ）
A．55
B．76
C．110
D．113
【答案】C
【解析】因为
1,3,5,7,9,11,
,
1,4,7,10,13,16,19,22,25,
A
B
L
L
，
所以
3,5,9,11,15,
A
B
L
，所以
7
21
a
．A
B
相当于集合A 中除去
*
6
5
x
n
n
N
形式的数，其前45
项包含了15 个这样的数，所以
30
89
a
．
则
7
30
110
a
a
，
故选：C.
考点五：充分条件与必要条件
抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件.
例27．（2023·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知条件
1
:
1
p x ，条件
2
:
6
0
q x
x
，
则p 是q的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由1
1
1
x
x
或
0
x
，不妨设
(
,0)
(1,
)
A
U
，
2
6
0
(
3)(
2)
0
2
x
x
x
x
x
或
3
x ，不妨设
(
, 3)
(2,
)
B
U
，
因为B 真包含于A，所以p 推不出q，q能推出p ，
所以p 是q的必要不充分条件.
故选：C
例28．（2023·广东深圳·高三校考阶段练习）若向量
)
,
,
(
1,
3)
(3
a
m
b
r
r
，则“
1
m”是“向量,a b
r r
的夹角为
钝角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】向量
)
,
,
(
1,
3)
(3
a
m
b
r
r
，由向量,a b
r r
的夹角为钝角，
即有
3
3
0
1
( 3) 3
a b
m
m
r
r
，解得
1
m且
9
m ¹ -
，
即“
1
m”不能推出“
1
m且
9
m ¹ -
”即“向量,a b
r r
的夹角为钝角”；
“向量,a b
r r
的夹角为钝角”即“
1
m且
9
m ¹ -
”能推出“
1
m”；
故“
1
m”是“
1
m且
9
m ¹ -
”的必要不充分条件，
即“
1
m”是“向量,a b
r r
的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
例29．（2023·江西·校联考模拟预测）已知条件
:|
1| 2
p
x
，条件
:
q x
a
，且
p
是
q
的充分不必要条
件，则a 的取值范围是（ ）
A．
1
a
B．
1
a
C．
1
a
D．
3
a
【答案】B
【解析】由条件
:
1
2
p
x
，解得
3
x 或
1
x ；
因为
p
是
q
的充分不必要条件，所以q是p 的充分不必要条件，
故
A
x x
a
是
3
B
x x
或
1
x
的真子集，
则a 的取值范围是
1
a ，
故选：B．
例30．（2023·江苏南通·高三统考开学考试）“ln
ln
x
y
”是“
3
3
x
y
”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】ln
ln
x
y
可得x
y
，则
3
3
x
y
，但是当
3
3
x
y
时，
3x ，
3y 有可能小于零，此时不能推出
ln
ln
x
y
，所以“ln
ln
x
y
”是“
3
3
x
y
”的充分不必要条件.
故选：A.
例31．（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）命题“
2
[1,2],
x
x
a
”为真命题的一个充分不必
要条件是（ ）
A．
1
a
B．
4
a
C．
2
a
D．
4
a
【答案】B
【解析】∵
2
[1,2],
x
x
a
，则
2
min
x
a
，即
1
a ，
∴a 的取值范围
1,
由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为
1,的真子集，
结合选项可知B 对应的集合为
4,为
1,的真子集，其它都不符合，
∴符合的只有B，
故选：B.
考点六：全称量词与存在量词
（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”).再否定结论；
（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；
（3）注意命题的否定与否命题的区别；
（4）当
p
的真假不易判断时，可转化为去判断p 的真假.
例32．（2023·河北石家庄·高三校考阶段练习）命题p：n
N ，
2
2n
n
，则命题p 的否定为（ ）
A．
n
N ，
2
2n
n
B．n
N ，
2
2n
n
C．
n
N ，
2
2n
n
D．n
N ，
2
2n
n
【答案】C
【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p 的否定应该为
n
N ，
2
2n
n
．
故选：C．
例33．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考开学考试）已知命题p ：x
R ，使得
2
2
1
0
ax
x
成立为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
,0
B．
,1
C．
0,1
D．
0,1
【答案】B
【解析】命题p 为真命题等价于不等式
2
2
1
0
ax
x
有解．
当
0
a
时，不等式变形为2
1
0
x
，则
1
2
x
，符合题意；
当
0
a
时，Δ
4
4
0
a
，解得0
1
a
；
当a<0 时，总存在x
R ，使得
2
2
1
0
ax
x
；
综上可得实数a 的取值范围为
,1
．
故选：B
例34．（2023·全国·高三专题练习）若命题“
1,4
x
，使
2
2
0
x
x
成立”的否定是真命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
,1
B．
1 ,1
8
C．
1
,
8
D．
1,
【答案】C
【解析】若“
1,4
x
，使
2
2
0
x
x
成立”的否定是：
“
1,4
x
，使
2
2
0
x
x
≤
”为真命题，
即
2
2
x
x
≤
；令
2
2
2
1
1
1
2
4
8
x
f x
x
x
，
由
1,4
x
，得1
1 ,1
4
x
，所以
min
1
4
8
f x
f
，
所以
1
8
≤
，
故选：C.
例35．（2023·山东·高三校联考阶段练习）给出下列命题
①
2
,
1
0
x
x
R
；②
4
,
1
N
x
x
；③
3
,
1
x
x
Z
；④
2
,
2
x
Q x
．
其中真命题有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【解析】①中，由不等式
2
1
0
x + >
恒成立，所以命题
2
,
1
0
x
x
R
为真命题；
②中，当
0
x
时，此时0
1
，所以命题
4
,
1
N
x
x
为假命题；
③中，当=
1
x 时，此时
3
1
x 成立，所以命题
3
,
1
x
x
Z
为真命题；
④中，由
2
2
x
，可得
2
x
，所以命题
2
,
2
x
Q x
为真命题．
故选：C.
例36．（2023·甘肃酒泉·高三敦煌中学校考阶段练习）命题
:“
,0 ,2
3 ”
x
x
p
x
的否定形式
p
为
（ ）
A．
0
0
0
,0 ,2
3
x
x
x
B．
0
0
0
,0 ,2
3
x
x
x
C．
,0 ,2
3
x
x
x
D．
,0 ,2
3
x
x
x
【答案】B
【解析】因为命题
:“
,0 ,2
3 ”
x
x
p
x
的否定形式为：
0
0
0
:
(
,0),2
3
x
x
p
x
，
故选：B .
