专题01 解三角形（解答题）
考法一 公式的直接运用
【例1】（2023·天津·统考高考真题）在
中，角
所对的边分别是
．已知
．
(1)求
的值；
(2)求的值；
(3)求
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由正弦定理可得，
，即
，解得：
；
（2）由余弦定理可得，
，即
，
解得：
或
（舍去）．
（3）由正弦定理可得，
，即
，解得：
，而
，
所以
都为锐角，因此
，
，
．
【变式】
1．（2022·天津·统考高考真题）在
中，角A、B、C 的对边分别为a，b，c.已知
.
(1)求的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为
，即
，而
，代入得
，解得：
．
（2）由（1）可求出
，而
，所以
，又
，所以
．
（3）因为
，所以
，故
，又
， 所以
，
，而
，所以
，
故
．
2．（2022·浙江·统考高考真题）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的面积．
【答案】(1)
；
(2)
．
【解析】（1）由于
，
，则
．因为
，
由正弦定理知
，则
．
（2）因为
，由余弦定理，得
，
即
，解得
，而
，
，
所以
的面积
．
3．（2023·天津北辰·校考模拟预测）已知
，
，分别为锐角三角形
三个内角
的对边，且
．
(1)求
；
(2)若
，
，求；
(3)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【解析】（1）由于
，所以
，
由
根据正弦定理可得
，
所以
，且三角形
为锐角三角形，即
所以
.
（2）在
中，由余弦定理知
，
即
，解得
或
（舍），
故
.
（3）由
，可得
，
所以
，
，
即
考法二 三角形的面积
【例2-1】（2023·福建·校联考模拟预测）设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，
，且
.
(1)求
；
(2)求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
及
，得
，
由正弦定理得
所以
，
，所以
，又因为
，所以
.
（2）由
结合正弦定理得
，即
所以
或
.
又因为
，所以
.所以
，
因为
，所以
，
所以
，即
的面积为
.
【例2-2】（2023·湖南永州·统考一模）在
中，设
所对的边分别为
，且满足
．
(1)求角
；
(2)若
的内切圆半径
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在
中，由
得
，
即
,
故
，由于
，
故
，而
，故
.
（2）由
可得
，而
，
故
，则
，
由
的内切圆半径
，可得
，
即
，即
，
故
，解得
，
故
的面积
.
【变式】
1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在
中，角 A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)2(2)12
【解析】（1）由
可得，
，
因为
，所以可得
，
解得
.
（2）由（1）知
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
即
，又
，
所以
，
由正弦定理可得，
，
所以
，
所以
，
所以
的面积
.
2．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间；
(2)在
中，内角
所对的边分别是
，且
，若
，求
的面积.
【答案】(1)最小正周期为
，单调递增区间为
.(2)
【解析】（1）
，
所以函数
的最小正周期为
.
令
，得
，
故函数
的单调递增区间为
.
（2）由
，得
，
由
得
，所以
，得
.
由余弦定理得
，即
，
因为
，所以
，
从而有
，得
，
则
3 ．（2023· 河南开封· 统考三模）在
中，设A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足
．
(1)求角B；
(2)若
，
的内切圆半径
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
由余弦定理得
，即
，所以
．
又
，所以
（2）由余弦定理得：
，则
，
由三角形面积公式，
，即
，
则
，
所以
，解得
，
所以
.
考法 三角形的周长
【例3-1】（2023·山东菏泽）在
中，角
所对的边分别为
已知
，面积
，再
从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.
（1）
;
（2）
.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
【解析】由三角形的面积公式可知，
，
，整理得
由正弦定理得:
因为
，
，
若选择条件（1）由
：得
，则
，
又
为三角形的内角，
，
由正弦定理得
代入
解得
，
三角形的周长为
若选择条件（2）
，则由
，得
又
，
又
为三角形的内角，
.
由正弦定理得:
，代入
解得
，
三角形的周长为
【例3-2】（2023·重庆南岸）设
，
（1）求
的单调递增区间；
（2）在
中，角
为锐角，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，
，
求三角形的周长.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由已知
，
令
，
则
，
的单调递增区间为
；
（2）由（1）得
，又角
为锐角，
，得
，
，
得
，所以三角形的周长为
.
【变式】
1．（2022·北京·统考高考真题）在
中，
．
(1)求
；
(2)若
，且
的面积为
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为
，则
，由已知可得
，
可得
，因此，
.
（2）解：由三角形的面积公式可得
，解得
.
由余弦定理可得
，
，
所以，
的周长为
.
2．（2023·河南·校联考二模）记
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求A；
(2)设
的中点为D，若
，且
的周长为
，求a，b.
【答案】(1)
(2)
，
.
【解析】（1）由条件及正弦定理可得
，
因为
，所以
，
所以
，整理得
，
又因为
，所以
，
所以
，解得
.
（2）在
中，由余弦定理得
.
而
，
，所以
.①
在
中，由余弦定理得
.②
由①②两式相减，得
，所以
，
将
代入②，得
，则
.
因为
的周长为
，
所以
，解得
，
所以
，
.
3．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）在①
；②
，这两
个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知
的内角
、
、
所对的边分别为
、
、，____________．
(1)求
的值；
(2)若
的面积为
，
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：若选①，由已知得
，所以
，
由正弦定理得
，
又
，所以
，所以
，
又
，由
，
，解得
；
若选②，由已知及正弦定理得
，
所以
，
所以
，
所以
，
又
，所以
，所以
，
又
，由
，
，解得
．
（2）解：由
的面积为
，得
，所以
，
由（1）可得
，
由余弦定理得
，
所以
，所以
，
所以
的周长为
．
考法四 爪型三角形
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【解析】（1）
，
，即
，
又
，
，
，
，即
，所以
，
.
（2）由（1）知，
，
由
，
由正弦定理，
，可得
，
，
.
【例4-2】（2023·湖北）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知
.
(1)求B.
(2)若
，
，___________，求
.
在①D 为AC 的中点，②BD 为∠ABC 的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）由正弦定理得，
.
因为
，所以
，所以
，即
.
又
，则
，所以
.
（2）选择条件①：因为
，所以
，
，
.
选择条件②：
因为BD 为∠ABC 的角平分线，所以
，
则
，
解得
.
【例4-3】（2023·福建泉州·统考模拟预测）
的内角
所对的边分别为
，且满足
.
(1)求
；
(2)若
平分
，且
，
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解法一：因为
，
所以由正弦定理可得
，
即
，
，
所以
，
又
，所以
，
因为
，所以
.
解法二：在
中，由余弦定理得
，
，
又因为
，所以
，
即
，
所以
，
因为
，所以
.
（2）解法一：因为
，
所以
，
两边平方得
，即
①，
又因为
平分
，所以
，即
②，
由①②，解得
，
，
所以
.
解法二：在
中，
，所以
，
又因为
平分
，所以
，即
①，
在
中，由余弦定理，得
，即
②，
在
中，由余弦定理，得
，即
③，
由①②③解得
，
，
所以
.
解法三：过
点作
交
于点
，
因为
，且
平分
，所以
，
所以
为等边三角形，所以
，
又因为
，所以
，
，
所以
.
【变式】
1.（2023·福建宁德·校考二模）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
．
(1)求
；
(2)若
，
，
为
中点，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，即
，
化简得
，解得
，
因为
，所以
．
（2）由余弦定理得
，
即
，解得
，
因为
，故
的长度为
．
2.（2022 秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c 分别是
三个内角A,B,C 的对边,
面积为S,且
．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A 的角平分线交BC 于点D,AD＝
,求b．
【答案】(1)
(2)2
【解析】（1）解:由题知
,
则有:
①,
在
中,由余弦定理可得:
,
代入①式可得:
,
即
,
由辅助角公式可得:
,
所以
或
,
即
或
,
因为
,所以
;
（2）由(1)知
,因为
平分
,
所以
,
且有
,
即:
,
将边和角代入可得:
,
化简可得:
,
在
中,由余弦定理可得:
,
即
,
即
,
解得:
(舍)或
,
即
,解得
.
3．（2023·河南·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，
的面积记为S，已知
，
．
(1)求A；
(2)若BC 边上的中线长为1，AD 为角A 的角平分线，求CD 的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，即
，
由正弦定理可得
，即
所以
．
因为
，所以
．
（2）设AE 为BC 边上的中线，可得
，
如下图所示：
则
，
所以
，解得
．
因为
，
所以
，
所以
；由
可得
，
利用余弦定理可得
，
所以
．
考法五 多边多角
【例5-1】（2023 秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD 中，
，
，
，
.
(1)求
；
(2)若
，求BC.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在
中，由正弦定理得
，即
，
所以
.由题设知
，所以
.
（2）由题设及（1）知，
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
.
【例5-2】（2023 秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）如图，在平面四边形
中，
，
，
，
，
．
(1)求
的值；
(2)求
的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：在
中，
，
，
，
由余弦定理可得
，
整理可得
，
，解得
，则
，
故
为等腰三角形，故
.
（2）解：由（1）知，
，又因为
，则
，
因为
，则
为锐角，
且
，
所以，
，
在
中，由正弦定理
，
可得
.
【变式】
1．（2023 春·广东湛江）如图，四边形ABCD 的内角
，
，
，
，且
．
(1)求角B；
(2)若点
是线段
上的一点，
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设
，
在
中由余弦定理得
，即
①，
又在
中由余弦定理得
，即
②，
因为
，则
，
联立①②可得
（负值舍去），
，因为
，所以
．
（2）在
中，由正弦定理知，
，
所以
，
又
，故
，
在直角三角形
中，由勾股定理知，
，
此时
．
2．（2023 春·浙江金华 ）如图，四边形
是由
与正
拼接而成，设
，
.
(1)当
时，设
，求
，
的值；
(2)当
时，求线段
的长.
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）在
中，由
，
可知
.
由于
，
，
，
，
，
，
.
（2）在
中，
，
所以
，
，
.
3（2023 广东）在三角形ABC 中，
，
，
，
，
．
(1)求BD 的长；
(2)若AC 与BD 交于点O，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意，在
中，
，
，
，
由余弦定理得，
，
所以
，
在
中，
，
所以
，
所以
，
在
中，由余弦定理可知
，
所以
．
（2）由（1）可知
，又因为
，所以
为等边三角形，
所以
，
，
在
中，
，所以
，
在
中，
，
故
，
所以
，
所以
，
在
中，由正弦定理可知
，即
，解得
，
所以
．
考法六 最值
【例6-1】（2023·云南·校联考模拟预测）
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
；
(2)若
，求
周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，可得
，
所以由正弦定理可得
，
又
为三角形内角，
，
所以
，
因为
，
所以
，可得
，所以
.
（2）由（1）知
，又
，
由正弦定理得
，
则
，
，
【例6-2】．（2023 秋·江苏·高三统考期末）已知△ABC 为锐角三角形，内角A，B，C 的对边分别为a，
b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosC．
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC 的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理，得
，
即
，即
，
又
，所以
，
所以
，故
．
（2）由正弦定理，得
，
所以
的周长
由
为锐角三角形可知，
，得
，
所以
，所以
．
所以
的周长的取值范围为
．
【例6-3】（2022·全国·统考高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
，求B；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)
；
(2)
．
【解析】（1）因为
，即
，
而
，所以
；
（2）由（1）知，
，所以
，
而
，
所以
，即有
，所以
所以
．
当且仅当
时取等号，所以
的最小值为
．
【变式】
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知
中内角
，
，
所对边分别为
，
，，
．
(1)求
；
(2)若
边上一点
，满足
且
，求
的面积最大值．
【答案】(1)
(2)
．
【解析】（1）由题意，
，
由正弦定理得
，
因
为三角形内角，
，
则
，即
，
，
，
，
故
，
，
（2）
，
已知
，
，由（1）知，
，
由题意得由
，（如图）
已知
，且由（1）知
，
两边平方得，
则
，
解得，
.故
.
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以，
的最大值为
．
2．（2023·江西九江·统考一模）
中，内角
所对的边分别是
，已知
，
．
(1)求角
的值；
(2)求
边上高的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，得
由正弦定理
，得
又
，
即
，
（2）解法一：设
边上高为，
由余弦定理
，得
即
，
，即
，当且仅当
时，等号成立
又
，
，
边上高的最大值为
解法二：设
边上高为，
由正弦定理得，
，
因为
，
，
，
，
，
又
，
，
边上高的最大值为
.
3．（2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）在
中，以
，
，分别为内角
，
，
的对边，且
(1)求
；
(2)若
，
，求
边上中线长.
【答案】(1)
(2)
或
【解析】（1）由
得
，
由正弦定理可得
，
由余弦定理可得
，
因为
，所以
.
（2）因
，由正弦定理可得
，
即
，因为
，所以
，则
，
所以
或
，即
或
，
当
时，
为等边三角形，即
，如图所示，
所以
边上中线长为
；
当
时，则
，所以
为直角三角形，如图所示，
又
，所以由正弦定理
，即
，
所以
，
，所以
边上中线长为
；
综上可得
边上中线长为
或
.
4.（2022 秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c 分别是
三个内角A,B,C 的对边,
面积为S,且
．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A 的角平分线交BC 于点D,AD＝
,求b．
【答案】(1)
(2)2
【解析】（1）解:由题知
,
则有:
①,
在
中,由余弦定理可得:
,
代入①式可得:
,
即
,
由辅助角公式可得:
,
所以
或
,
即
或
,
因为
,所以
;
（2）由(1)知
,因为
平分
,
所以
,
且有
,
即:
,
将边和角代入可得:
,
化简可得:
,
在
中,由余弦定理可得:
,
即
,
即
,
解得:
(舍)或
,
即
,解得
.
考法七 三角形的四心
【例7】（2023 春·浙江温州 ）已知
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
，
角B 为钝角．
(1)求
；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若
，
，
为
的___________，求
的面积．
【答案】(1)
；
(2)若选①，
；若选②，
；若选③，
【解析】（1）由正弦定理可得
，因为
，所以
.
因为
，所以
.
（2）若选①，连接
并延长交
边于点
，
因为
为
的重心，所以
为
的中点，且
，
所以点
到
的距离等于点
到
的距离的
，
所以，
；
若选②，由余弦定理可得
，
若
为
的内心，设
的内切圆的半径为，
则
，则
，
因此，
；
若选③，若
为
的外心，设
的外接圆半径为
，
由余弦定理可得
，则
，
在优弧
上任取一点
，则
，则
，
因此，
．
【变式】
1．（2022·安徽·芜湖一中校联考一模）已知ΔABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，tanC=
(1)求
的值；
(2)设M 和N 分别是ΔABC 的重心和内心，若MN//BC 且c=2，求a 的值．
【答案】(1)2
(2)
【解析】（1）由已知得，
，即sinAcosC=2sinC-cosAsinC 得sin(A+C)=2sinC 即sinB=2sinC
由正弦定理得
，所以
；
（2）由(1)知
，因为
，所以
设△ABC 的内切圆半径为r，则内心N 到BC 边的距离为r，
因为MN∥BC，所以重心M 到BC 边的距离为r，根据重心的性质，顶点A 到BC 边的距离为3r，
根据面积关系得
即
，
所以
2．（2022 秋·四川内江·高三威远中学校校考期中）
的内角A，B，C 所对的边分别为
．
(1)求A 的大小；
(2)M 为
内一点，
的延长线交
于点D，___________，求
的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使
存在，并解决问题．
①M 为
的重心，
；
②M 为
的内心，
；
③M 为
的外心，
．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）∵
，∴
，即
由正弦定理得，
，即
，
∵
，∴
，∴
，又
，∴
，∴
（2）设
外接圆半径为
，则根据正弦定理得，
，
若选①：∵M 为该三角形的重心，则D 为线段
的中点且
，
又
，∴
，
即
， 又由余弦定理得
，即
，解得
，∴
；
若选②：∵M 为
的内心，∴
，由
得
，∵
，∴
，即
，
由余弦定理可得
，即
，∴
，
即
，∵
，∴
， ∴
．
若选③：M 为
的外心，则
为外接圆半径，
，与所给条件矛盾，故不能选③.
3．（2022 秋·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
.
(1)求
；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若
，
，
为
的___________，求
的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）解：
，
，
则
，即
，
，则
，
，即有
，
可得
，
，则
，
，解得
.
（2）解：若选①，连接
并延长交
边于点
，
因为
为
的重心，所以，
为
的中点，且
，
所以点
到
的距离等于点
到
的距离的
，
所以，
；
若选②，由余弦定理可得
，
若
为
的内心，设
的内切圆的半径为，
则
，则
，
因此，
；
若选③，若
为
的外心，设
的外接圆半径为
，
由余弦定理可得
，则
，
在优弧
上任取一点
，则
，则
，
因此，
.
考法八 解三角形与三角函数性质的综合
【例8】（2023·广东）设函数
，其中向量
，
.
(1)求
的最小值；
(2)在△
中，
，
，分别是角
，
，
所对的边，已知
，
，△
的面积为
，
求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）由题设，
，
所以，当
时
的最小值为
.
（2）由
，得：
，则
，又
，
所以
，故
，则
.
由
，可得：
.
在△
中，由余弦定理得：
，
所以
.
由
，则
.
【例8-2】（2023·北京）已知函数
，将
的图象横坐标变为原来的
，纵坐标
不变，再向左平移
个单位后得到
的图象，且
在区间
内的最大值为
.
（1）求
的值；
（2）在锐角
中，若
，求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）将函数
的图象横坐标变为原来的
，纵坐标不变，再向左平移
个单
位后得到
的图象，
则
，
，
，
当
，即
时，
最大值
，所以，
；
（2）
，
，则
，所以，
，所以，
，
，
是锐角三角形，由
，解得
，
所以，
，
，则
.
【变式】
1．（2023 春·山西晋城）已知函数
.
(1)求函数
的定义域和值域；
(2)已知锐角
的三个内角分别为A，B，C，若
，求
的最大值.
【答案】(1)
；
(2)2
【解析】（1）
，
所以要使
有意义，
只需
，即
，
所以
，解得
所以函数
的定义域为
，
由于
，所以
，
所以函数
的值域为
；
（2）由于
，所以
，
因为
，所以
，所以
即
，
由锐角
可得
，所以
，
由正弦定理可得
，
因为
，所以
所以
，
所以
的最大值为2.
2．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
的单调递减区间；
(2)在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
令
，则
所以，单调减区间是
.
（2）由
得：
，即
，
由于
，所以
.
在
中，
，
，
于是
，则
，
，
，所以
.
3．（2023 春·云南）已知函数
的部分图象如图所示．
（1）求函数
的解析式；
（2）在锐角
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，且
的面积
为
，求
．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）据图象可得
，故
，
由
得：
．
由
得：
．
由
知，
，
，解得
，
；
（2）
，
，
，
，
，
，
由题意得
的面积为
，解得
，
由余弦定理得
，解得：
.
考法九 证明题
【例9】（2022·全国·统考高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若
，求C；
(2)证明：
【答案】(1)
；
(2)证明见解析．
【解析】（1）由
，
可得，
，而
，所以
，即有
，而
，显然
，所
以，
，而
，
，所以
．
（2）由
可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
【变式】
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求证：
，
，
是等差数列；
(2)求
的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【解析】（1）证明：因为
，
所以
，
由正弦定理，得
，
又由余弦定理，得
，
则
，即
，
所以
，
，
是等差数列．
（2）解：由（1）得
，
又
（当且仅当
时取等号），
因为
，所以
，则
的最大值为
，
则
的最大值为
．
2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角
中，内角
所对的边分别为
，满足
，且
．
(1)求证：
；
(2)已知
是
的平分线，若
，求线段
长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由题意得
，即
．
所以
，
由正弦定理得
，又由余弦定理得
，
所以
，故
，
故
，整理得
．
又
为锐角三角形，则
，
，
，
所以
，因此
．
（2）在
中，由正弦定理得
，所以
．
所以
．因为
为锐角三角形，且
，
所以
，解得
．
故
，所以
．因此线段
长度的取值范围
.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知
的外心为
，点
分别在线段
上，且
恰为
的中点．
(1)若
，求
面积的最大值；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：由正弦定理，得
，
所以
，
又
，所以
或
，
当
时，
由余弦定理，得
，
所以
，
的面积
，
当且仅当
时，取等号；
当
时，
同理可得
，
的面积
，
当且仅当
时，取等号．
综上，
面积的最大值为
；
（2）证明：设
，
由余弦定理知
，
，
因为
，
所以
，
化简整理得
，
而
，因此
，
又因为
是
外心，故
，
同理可知
，
因为
恰为
的中点，
因此
，所以
．
考法十 存在性与唯一性
【例10-1】（2021·全国·统考高考真题）在
中，角
、
、
所对的边长分别为
、
、，
，
.．
（1）若
，求
的面积；
（2）是否存在正整数
，使得
为钝角三角形?若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）存在，且
.
【解析】（1）因为
，则
，则
，故
，
，
，所以，
为锐角，则
，
因此，
；
（2）显然
，若
为钝角三角形，则
为钝角，
由余弦定理可得
，
解得
，则
，
由三角形三边关系可得
，可得
，
，故
.
【例10-2】．（2021·北京·统考高考真题）在
中，
，
．
（1）求
；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，求
边
上中线的长．
条件①：
；
条件②：
的周长为
；
条件③：
的面积为
；
【答案】（1）
；（2）答案不唯一，具体见解析．
【解析】（1）
，则由正弦定理可得
，
，
，
，
，
，解得
；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得
，
与
矛盾，故这样的
不存在；
若选择②：由（1）可得
，
设
的外接圆半径为
，
则由正弦定理可得
，
，
则周长
，
解得
，则
，
由余弦定理可得
边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得
，即
，
则
，解得
，
则由余弦定理可得
边上的中线的长度为：
.
【变式】
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）在
中，角
的对边分别为
，且
.
(1)求
的值；
(2)若
，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得
存在且唯一确定，求
的面积.
条件①：
；条件②：
；条件③：
的周长为9.
【答案】(1)2
(2)答案见解析
【解析】（1）解：因为
，
由正弦定理得
，
即
，
又因为
，可得
，
所以
，可得
.
（2）解：由（1）得
，由正弦定理得
，
若选条件①：由余弦定理得
，即
，
又由
，解得
，则
，此时
存在且唯一确定，
因为
，则
，可得
，
所以
；
若选条件②：由
，因为
，即
，
若
为锐角，则
，
由余弦定理
，即
，
整理得
，且
，解得
，则
；
若
为钝角，则
，
由余弦定理得
，即
，
整理得
，且
，解得
，则
；
综上所述，此时
存在但不唯一确定，不合题意；
若条件③：因为
，即
，解得
，则
，
所以此时
存在且唯一确定，
由余弦定理得
，
因为
，可得
，
所以
．
2.（2022·北京·景山学校模拟预测）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求B；
(2)从以下条件中选择两个，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积．
①若
；②
；③
；④△ABC 的周长为9．
【答案】(1)
；(2)选①④，面积为
．
【解析】(1)因为
，由正弦定理得
，
，
三角形中
，所以
，
，所以
；
(2)因为
，所以
，因此条件③不能确定三角形；
若已知①②，则由正弦定理得
，无解；
若已知①④，即
，
，则
，与三角形的性质矛盾，三角形不存在．
所以只有条件②④能确定三角形．
，
，则
，由（1）
，
，即
，所以
，
，
，又
，所以
，从而
，
为等边三角形，唯一确定，面积为
．
3.（2022 秋·山西运城·高三校考阶段练习）
中，内角
的对边分别为
的外接圆半径
为
，已知
.
(1)求
；
(2)已知
的平分线交
于点
，从以下三个条件中选择两个，使
唯一确定，并求
和
的
长度.
条件①：
；条件②：
；条件③：
.
【答案】(1)
(2)选择条件②和③；
，
【解析】（1）由已知得
，
得
，
即
，即
，
又因为
，故
；
（2）由（1）得
中，
由余弦定理得
，
所以
，
而条件①中
，所以
，显然不符合题意，即条件①错误，
由条件②
，条件③
，解得
，
由余弦定理可得
，
所以
，所以
，
在
中，因为
为
的平分线，
所以
，
又因为
，所以
，
在
中，
，
所以
.
