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三年专题13 不等式、推理与证明
1．【2022 年全国乙卷】若x，y 满足约束条件¿则z =2 x−y的最大值是（ ）
A．−2
B．4
C．8
D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
作出可行域，数形结合即可得解.
【详解】
由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数z =2 x−y为y =2 x−z，
上下平移直线y =2 x−z，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z 最大，
所以zmax=2×4−0=8.
故选：C.
2．【2021 年乙卷文科】若
满足约束条件
则
的最小值为（ ）
A．18
B．10
C．6
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
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由题意作出可行域，变换目标函数为
，数形结合即可得解.
【详解】
由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
由
可得点
,
转换目标函数
为
，
上下平移直线
，数形结合可得当直线过点
时, 取最小值，
此时
.
故选：C.
3．【2021 年乙卷文科】下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
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根据二次函数的性质可判断
选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出
不
符合题意，
符合题意．
【详解】
对于A，
，当且仅当
时取等号，所以其最小值为，A 不符合题意；
对于B，因为
，
，当且仅当
时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为
，B 不符合题意；
对于C，因为函数定义域为
，而
，
，当且仅当
，即
时取
等号，所以其最小值为
，C 符合题意；
对于D，
，函数定义域为
，而
且
，如当
，
，D 不符
合题意．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即
可解出．
4．【2020 年新课标3 卷文科】已知函数f(x)=sinx+
，则（）
A．f(x)的最小值为2
B．f(x)的图象关于y 轴对称
C．f(x)的图象关于直线
对称
D．f(x)的图象关于直线
对称
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
【详解】
可以为负，所以A 错；
关于原点对称；
故B 错；
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关于直线
对称，故C 错，D 对
故选：D
【点睛】
本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.
5．【2022 年新高考2 卷】若x，y 满足x
2+ y
2−xy =1，则（ ）
A．x + y ≤1
B．x + y ≥−2
C．x
2+ y
2≤2
D．x
2+ y
2≥1
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】
因为ab≤(
a+b
2 )
2
≤a
2+b
2
2
（a,b∈R），由x
2+ y
2−xy =1可变形为，(x + y)
2−1=3 xy ≤3(
x + y
2 )
2
，解
得−2≤x + y ≤2，当且仅当x = y =−1时，x + y =−2，当且仅当x = y =1时，x + y =2，所以A 错误，B 正
确；
由x
2+ y
2−xy =1可变形为(x
2+ y
2)−1= xy ≤x
2+ y
2
2
，解得x
2+ y
2≤2，当且仅当x = y =±1时取等号，所
以C 正确；
因为x
2+ y
2−xy =1变形可得(x−y
2)
2
+ 3
4 y
2=1，设x−y
2 =cosθ , √3
2 y =sinθ，所以
x =cosθ+ 1
√3 sinθ , y = 2
√3 sinθ，因此
x
2+ y
2=cos
2θ+ 5
3 sin
2θ+ 2
√3 sinθcosθ =1+ 1
√3 sin 2θ−1
3 cos2θ+ 1
3
= 4
3 + 2
3 sin(2θ−π
6)∈[
2
3 ,2]，所以当x = √3
3 , y =−√3
3 时满足等式，但是x
2+ y
2≥1不成立，所以D 错
误．
故选：BC．
6．【2020 年新高考1 卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据
，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】
对于A，
，
当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
对于B，
，所以
，故B 正确；
对于C，
，
当且仅当
时，等号成立，故C 不正确；
对于D，因为
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，故D 正确；
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核
心素养.
7．【2020 年新课标1 卷理科】若x，y 满足约束条件
则z=x+7y 的最大值为______________.
【答案】1
【解析】
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【分析】
首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
【详解】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数
即：
，
其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程：
，可得点A 的坐标为：
，
据此可知目标函数的最大值为：
.
故答案为：1．
【点睛】
求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在
y 轴截距最小时，z 值最小；当b＜0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最
小时，z 值最大.
8．【2020 年新课标2 卷文科】若x，y 满足约束条件
则
的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
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在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线
，在平面区域内找到一点使得
直线
在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.
【详解】
不等式组表示的平面区域为下图所示：
平移直线
，当直线经过点
时，直线
在纵轴上的截距最大，
此时点
的坐标是方程组
的解，解得：
，
因此
的最大值为：
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.
9．【2020 年新课标3 卷理科】若x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为_________．
【答案】7
【解析】
【分析】
作出可行域，利用截距的几何意义解决.
【详解】
不等式组所表示的可行域如图
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因为
，所以
，易知截距
越大，则越大，
平移直线
，当
经过A 点时截距最大，此时z 最大，
由
，得
，
，
所以
.
故答案为：7.
【点晴】
本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道
容易题.
10．【2020 年新课标3 卷理科】关于函数f（x）=
有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y 轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=
对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判
断命题③的正误；取
可判断命题④的正误.综合可得出结论.
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【详解】
对于命题①，
，
，则
，
所以，函数
的图象不关于
轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以，函数
的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，
，
，则
，
所以，函数
的图象关于直线
对称，命题③正确；
对于命题④，当
时，
，则
，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
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