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2021 年重庆市中考数学试卷（B 卷）
一、选择题：（本大题12 个小题，每小题4 分，共48 分）在每个小题的下面，都给出了
代号为A，B，C，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答
案所对应的方框涂黑
1．3 的相反数是（ ）
A．3
B．
C．﹣3
D．﹣
2．不等式x＞5 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．计算x4÷x 结果正确的是（ ）
A．x4
B．x3
C．x2
D．x
4．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB 以原点O 为位似中心放大后得到△OCD，若B
（0，1），D（0，3），则△OAB 与△OCD 的相似比是（ ）
A．2：1
B．1：2
C．3：1
D．1：3
5．如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若∠A＝20°，则∠B 的度数为（ ）
A．70°
B．90°
C．40°
D．60°
6．下列计算中，正确的是（ ）
A．5
﹣2
＝21
B．2+
＝2
C．
×
＝3
D．
÷
＝3
7．小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映
了小明离家的距离y（单位：km）与时间t（单位：h）之间的对应关系．下列描述错误
的是（ ）
A．小明家距图书馆3km
B．小明在图书馆阅读时间为2h
C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h
D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快
8．如图，在△ABC 和△DCB 中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC 和
△DCB 全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB
B．AB＝DC
C．AC＝DB
D．∠A＝∠D
9．如图，把含30°的直角三角板PMN 放置在正方形ABCD 中，∠PMN＝30°，直角顶点P
在正方形ABCD 的对角线BD 上，点M，N 分别在AB 和CD 边上，MN 与BD 交于点
O，且点O 为MN 的中点，则∠AMP 的度数为（ ）
A．60°
B．65°
C．75°
D．80°
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2
10．如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150 米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度
（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D 到BC 的垂直距离DE＝50 米（点A，B，C，D，E 在
同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（
）
（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）
A．69.2 米
B．73.1 米
C．80.0 米
D．85.7 米
11．关于x 的分式方程
+1＝
的解为正数，且使关于y 的一元一次不等式组
有解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）
A．﹣5
B．﹣4
C．﹣3
D．﹣2
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数
y＝
（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC 交于点E，F，连接
EF，AF．若点E 为AC 的中点，△AEF 的面积为1，则k 的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
二、填空题：（本大题6 个小题，每小题4 分，共24 分）请将每小题的答案直接填在答题
卡中对应的横线上
13．计算：
﹣（π﹣1）0＝ ．
14．不透明袋子中装有黑球1 个、白球2 个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随
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3
机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，
前后两次摸出的球都是白球的概率是 ．
15．方程2（x﹣3）＝6 的解是 ．
16．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D 为圆心，
AB 的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留
π）
17．如图，△ABC 中，点D 为边BC 的中点，连接AD，将△ADC 沿直线AD 翻折至△ABC
所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB 交于点E，与AD 交于点O．若AE
＝BE，BC′＝2，则AD 的长为 ．
18．盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实
现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22 个，搭配
为A，B，C 三种盲盒各一个，其中盒中有2 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，1 个迷你音
箱；B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音
箱的数量之比为3：2；C 盒中有1 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，2 个迷你音箱．经核
算，A 盒的成本为145 元，B 盒的成本为245 元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、
多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C 盒的成本为 元．
三、解答题：（本大题7 个小题，每小题10 分，共70 分）解答时每小题必须给出必要的
演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对
应的位置上.
19．计算：
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4
（1）a（2a+3b）+（a﹣b）2；
（2）
÷（x+
）．
20．2021 年是中国共产党建党100 周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史
知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20 名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞
赛成绩均为整数，满分为10 分，9 分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：
抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：
6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10
七八年级教师竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8.5
8.5
中位数
a
9
众数
8
b
优秀率
45%
55%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）估计该校七年级120 名教师中竞赛成绩达到8 分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．
21．如图，四边形ABCD 为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：
作出∠BAC 的角平分线与BC 交于点E．连接BD 交AE 于点F，交AC 于点O，猜想线
段BF 和线段DF 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作
法）
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5
22．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概
括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m 性质及其应用的部分过程，
请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…
（1）写出函数关系式中m 及表格中a，b 的值：
m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写
出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数y＝
的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣
2x+6|+m＞
的解集．
23．重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出
经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装
生面（简称“生食”小面）．已知3 份“堂食”小面和2 份“生食”小面的总售价为31
元，4 份“堂食”小面和1 份“生食”小面的总售价为33 元．
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6
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4 月共卖出“堂食”小面4500 份，“生食”小面2500 份．为回馈广大食
客，该面馆从5 月1 日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格
降低
a%．统计5 月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4 月相同，“生食”
小面的销量在4 月的基础上增加
a%，这两种小面的总销售额在4 月的基础上增加
a%．求a 的值．
24．对于任意一个四位数m，若干位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位
上的数字之和的2 倍，则称这个四位数m 为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝
2×（5+0），所以3507 是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135 不
是“共生数”．
（1）判断5313，6437 是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2 倍，百位上的数字与个位
上的数字之和能被9 整除时，记F（n）＝
．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶
数的所有n．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x 轴交于点A（﹣1，
0），B（4，0），与y 轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛
物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD 面积的最大值．
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD 平移4
个单位，
得到新的抛物线y1，点E 为点P 的对应点，点F 为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定
一点G，使得以点D，E，F，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点
G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
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四、解答题：（本大题1 个小题，共8 分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，
画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26．在等边△ABC 中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E 为AB 边上一点，点F 为直线BD
上一点，连接EF．
（1）将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E 与点B 重合，且GF 的延长线过点C 时，连接DG，求线段DG 的长；
②如图2，点E 不与点A，B 重合，GF 的延长线交BC 边于点H，连接EH，求证：
BE+BH＝
BF；
（2）如图3，当点E 为AB 中点时，点M 为BE 中点，点N 在边AC 上，且DN＝2NC，
点F 从BD 中点Q 沿射线QD 运动，将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP，连
接FP，当NP+
MP 最小时，直接写出△DPN 的面积．
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2021 年重庆市中考数学真题（B 卷）
一、选择题：（本大题12 个小题，每小题4 分，共48 分）在每个小题的下面，
都给出了代号为A，B，C，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题
卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑
1. 3 的相反数是（ ）
A．3
B．
C．﹣3
D．﹣
【考点】相反数．
【答案】C
【分析】根据相反数的定义，即可解答．
【解答】解：3 的相反数是﹣3，
故选：C．
2 不等式x＞5 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
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9
C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】数与式；数感．
【答案】A
【分析】明确x＞5 在数轴上表示5 的右边的部分即可．
【解答】解：不等式x＞5 的解集在数轴上表示为：5 右边的部分，不包括5，
故选：A．
3 计算x4÷x 结果正确的是（ ）
A．x4
B．x3
C．x2
D．x
【考点】同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝x4﹣1＝x3，
故选：B．
4 如图，在平面直角坐标系中，将△OAB 以原点O 为位似中心放大后得到△OCD，若B
（0，1），D（0，3），则△OAB 与△OCD 的相似比是（ ）
A．2：1
B．1：2
C．3：1
D．1：3
【考点】坐标与图形性质；位似变换．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】D
【分析】根据信息，找到OB 与OD 的比值即可．
【解答】解：∵B（0，1），D（0，3），
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10
∴OB＝1，OD＝3，
∵△OAB 以原点O 为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB 与△OCD 的相似比是OB：OD＝1：3，
故选：D．
5 如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若∠A＝20°，则∠B 的度数为（ ）
A．70°
B．90°
C．40°
D．60°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】A
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，即可求解．
【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，
故选：A．
6 下列计算中，正确的是（ ）
A．5
﹣2
＝21
B．2+
＝2
C．
×
＝3
D．
÷
＝3
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法
则逐一判断即可．
【解答】解：A．5
﹣2
＝3
，此选项计算错误；
B．2 与
不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C．
×
＝
×
×
＝3
，此选项计算正确；
D．
÷
＝
＝
，此选项计算错误；
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11
故选：C．
7 小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映
了小明离家的距离y（单位：km）与时间t（单位：h）之间的对应关系．下列描述错误
的是（ ）
A．小明家距图书馆3km
B．小明在图书馆阅读时间为2h
C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h
D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快
【考点】函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项中是说法是否正确．
【解答】解：由图象知：
A．小明家距图书馆3km，正确；
B．小明在图书馆阅读时间为3﹣1＝2 小时，正确；
C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h，正确；
D．因为小明去图书馆需要1 小时，回来不足1 小时，所以小明去图书馆的速度比回家
时的速度快，错误，符合题意．
故选：D．
8 如图，在△ABC 和△DCB 中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC 和
△DCB 全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB
B．AB＝DC
C．AC＝DB
D．∠A＝∠D
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12
【考点】全等三角形的判定．
【专题】三角形；图形的全等；应用意识．
【答案】B
【分析】根据证明三角形全等的条件AAS，SAS，ASA，SSS 逐一验证选项即可．
【解答】解：在△ABC 和△DCB 中，
∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，
A：当∠ABC＝∠DCB 时，△ABC≌△DCB（ASA），
故A 能证明；
B：当AB＝DC 时，不能证明两三角形全等，
故B 不能证明；
C：当AC＝DB 时，△ABC≌△DCB（SAS），
故C 能证明；
D：当∠A＝∠D 时，△ABC≌△DCB（AAS），
故D 能证明；
故选：B．
9 如图，把含30°的直角三角板PMN 放置在正方形ABCD 中，∠PMN＝30°，直角顶点P 在
正方形ABCD 的对角线BD 上，点M，N 分别在AB 和CD 边上，MN 与BD 交于点O，
且点O 为MN 的中点，则∠AMP 的度数为（ ）
A．60°
B．65°
C．75°
D．80°
【考点】直角三角形斜边上的中线；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：OM＝OP，从而得出
∠DPM＝150°，利用四边形内角和定理即可求得．
【解答】解：在Rt△PMN 中，∠MPN＝90°，
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13
∵O 为MN 的中点，
∴OP＝
，
∵∠PMN＝30°，
∴∠MPO＝30°，
∴∠DPM＝150°，
在四边形ADPM 中，
∵∠A＝90°，∠ADB＝45°，∠DPM＝150°，
∴∠AMP＝360°﹣∠A﹣∠ADB﹣∠DPM
＝360°﹣90°﹣45°﹣150°
＝75°．
故选：C．
10 如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150 米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度
（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D 到BC 的垂直距离DE＝50 米（点A，B，C，D，E 在
同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（
）
（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）
A．69.2 米
B．73.1 米
C．80.0 米
D．85.7 米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】利用斜坡CD 的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，求出CE 的长，从而得出BE，再
利用tan50°即可求出AB 的长．
【解答】解：∵斜坡CD 的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，
∴DE：CE＝5：12，
∵DE＝50 米，
∴CE＝120 米，
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14
∵BC＝150 米，
∴BE＝150﹣120＝30 米，
∴AB＝tan50°×30+50
＝85.7 米．
故选：D．
11 关于x 的分式方程
+1＝
的解为正数，且使关于y 的一元一次不等式组
有解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）
A．﹣5
B．﹣4
C．﹣3
D．﹣2
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】由关于y 的一元一次不等式组
有解得到a 的取值范围，再由关于
x 的分式方程
+1＝
的解为正数得到a 的取值范围，将所得的两个不等式组成
不等式组，确定a 的整数解，结论可求．
【解答】解：关于x 的分式方程
+1＝
的解为x＝
．
∵关于x 的分式方程
+1＝
的解为正数，
∴a+4＞0．
∴a＞﹣4．
∵关于x 的分式方程
+1＝
有可能产生增根2，
∴
．
∴a≠﹣1．
解关于y 的一元一次不等式组
得：
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15
．
∵关于y 的一元一次不等式组
有解，
∴a﹣2＜0．
∴a＜2．
综上，﹣4＜a＜2 且a≠﹣1．
∵a 为整数，
∴a＝﹣3 或﹣2 或0 或1．
∴满足条件的整数a 的值之和是：﹣3﹣2+0+1＝﹣4．
故选：B．
12 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数y
＝
（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC 交于点E，F，连接
EF，AF．若点E 为AC 的中点，△AEF 的面积为1，则k 的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【考点】反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形
斜边上的中线；勾股定理；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】首先设A（a，0），表示出D（a，
），再根据D，E，F 都在双曲线上，依
次表示出坐标，再由S△AEF＝1，转化为S△ACF＝2，列出等式即可求得．
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【解答】解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，
），
∵矩形ABCD，E 为AC 的中点，
则E 也为BD 的中点，
∵点B 在x 轴上，
∴E 的纵坐标为
，
∴
，
∵E 为AC 的中点，
∴点C（3a，
），
∴点F（3a，
），
∵△AEF 的面积为1，AE＝EC，
∴S△ACF＝2，
∴
，
解得：k＝3．
故选：D．
二、填空题：（本大题6 个小题，每小题4 分，共24 分）请将每小题的答案
直接填在答题卡中对应的横线上
13 计算：
﹣（π﹣1）0＝ ．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】利用算术平方根，零指数幂的意义进行运算．
【解答】解：原式＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
14 不透明袋子中装有黑球1 个、白球2 个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机
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17
摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前
后两次摸出的球都是白球的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】
．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解
即可．
【解答】解：列表如下
黑
白
白
黑
（黑，黑）
（白，黑）
（白，黑）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）
由表可知，共有9 种等可能结果，其中前后两次摸出的球都是白球的有4 种结果，
所以前后两次摸出的球都是白球的概率为
，
故答案为：
．
15 方程2（x﹣3）＝6 的解是 ．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x＝6．
【分析】按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可．
【解答】解：方程两边同除以2 得：
x﹣3＝3．
移项，合并同类项得：
x＝6．
故答案为：x＝6．
16 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D 为圆心，
AB 的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留
π）
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18
【考点】菱形的性质；扇形面积的计算．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；运算能力；应用意识．
【答案】96﹣100π．
【分析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解．
【解答】解：在菱形ABCD 中，有：AC＝12，BD＝16．
∴
．
∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°．
∴四个扇形的面积，是一个以
AB 的长为半径的圆．
∴图中阴影部分的面积＝
×12×16﹣π×102＝96﹣100π．
故答案为：96﹣100π．
17 如图，△ABC 中，点D 为边BC 的中点，连接AD，将△ADC 沿直线AD 翻折至△ABC
所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB 交于点E，与AD 交于点O．若AE
＝BE，BC′＝2，则AD 的长为 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识．
【答案】3．
【分析】根据翻折的性质和三角形的中位线可以得到OD 的长，然后根据全等三角形的
判定和性质可以得到AO 的长，从而可以求得AD 的长．
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19
【解答】解：由题意可得，
△DCAQ≌△DC′A，OC＝OC′，∠COD＝∠C′OD＝90°，
∴点O 为CC′的中点，
∵点D 为BC 的中点，
∴OD 是△BCC′的中位线，
∴OD＝
BC′，OD∥BC′，
∴∠COD＝∠EC′B＝90°，
∵AE＝BE，BC′＝2，
∴OD＝1，
在△EC′B 和△EOA 中，
，
∴△EC′B≌△EOA（AAS），
∴BC′＝AO，
∴AO＝2，
∴AD＝AO+OD＝2+1＝3，
故答案为：3．
18 盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现
销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22 个，搭配为
A，B，C 三种盲盒各一个，其中A 盒中有2 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，1 个迷你音
箱；B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音
箱的数量之比为3：2；C 盒中有1 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，2 个迷你音箱．经核
算，A 盒的成本为145 元，B 盒的成本为245 元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、
多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C 盒的成本为 元．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】155．
【分析】根据题意确定B 盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代
数式即可．
【解答】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22 个，A 盒中有2 个蓝牙耳机，3
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20
个多接口优盘，1 个迷你音箱；C 盒中有1 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，2 个迷你音箱；
∴B 盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22﹣2﹣3﹣1﹣1﹣3﹣2＝10（个），
∵B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱
的数量之比为3：2，
∴B 盒中有多接口优盘10×
＝5（个），蓝牙耳机有5×
＝3（个），迷你音箱有10
﹣5﹣3＝2（个），
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a 元，b 元，c 元，
由题知：
，
∵①×2﹣②得：a+b＝45，
②×2﹣①×3 得：b+c＝55，
∴C 盒的成本为：a+3b+2c＝（a+b）+（2b+2c）＝45+55×2＝155（元），
故答案为：155．
三、解答题：（本大题7 个小题，每小题10 分，共70 分）解答时每小题必须
给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答
过程书写在答题卡中对应的位置上.
19 计算：
（1）a（2a+3b）+（a﹣b）2；
（2）
÷（x+
）．
【考点】单项式乘多项式；完全平方公式；分式的混合运算．
【专题】整式；分式；运算能力．
【答案】（1）3a2+ab+b2；（2）
．
【分析】（1）先利用单项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项即可；
（2）先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为
乘法，继而约分即可．
【解答】解：（1）原式＝2a2+3ab+a2﹣2ab+b2
＝3a2+ab+b2；
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21
（2）原式＝
÷（
+
）
＝
÷
＝
•
＝
．
20. 2021 年是中国共产党建党100 周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史
知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20 名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞
赛成绩均为整数，满分为10 分，9 分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：
抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：
6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
七八年级教师竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8.5
8.5
中位数
a
9
众数
8
b
优秀率
45%
55%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）估计该校七年级120 名教师中竞赛成绩达到8 分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．
【考点】用样本估计总体；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；应用意识．
【答案】（1）8；9．（2）102 人；（3）八年级教师更加优异．
【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到a、b 的值．
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22
（2）计算出成绩达到8 分及以上的人数的频率即可求解．
（3）根据优秀率进行评价即可．
【解答】解：（1）∵七年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，
9，9，9，9，10，10，10，10，10．
∴中位数a＝8．
根据扇形统计图可知D 类是最多的，故b＝9．
故答案为：8；9．
（2）该校七年级120 名教师中竞赛成绩达到8 分及以上的人数＝
＝
102（人）．
（3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%、55%．故八年级的教师学习党史
的竞赛成绩谁更优异．
21 如图，四边形ABCD 为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：
作出∠BAC 的角平分线与BC 交于点E．连接BD 交AE 于点F，交AC 于点O，猜想线
段BF 和线段DF 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作
法）
【考点】平行四边形的性质；作图—基本作图．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力；应用意识．
【答案】图见解答过程；猜想：DF＝3BF 证明过程见解答．
【分析】根据题意作出图即可；
【解答】解：如图：
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23
猜想：DF＝3BF．
证明：∵四边形ABCD 为平行四边形．
∴OA＝OC，OD＝OB．
∵AC＝2AB．
∴AO＝AB．
∵∠BAC 的角平分线与BC 交于点E．
∴BF＝FO．
∴DF＝3BF．
22 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括
函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m 性质及其应用的部分过程，请
按要求完成下列各小题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…
（1）写出函数关系式中m 及表格中a，b 的值：
m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写
出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数y＝
的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣
2x+6|+m＞
的解集．
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24
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】数形结合；应用意识．
【答案】（1）﹣2，3，4；
（2）图象见解答过程，当x＝3 时函数有最小值y＝1（答案不唯一）；
（3）x＜0 或x＞4．
【分析】（1）代入一对x、y 的值即可求得m 的值，然后代入x＝1 求a 值，代入x＝4
求b 值即可；
（2）利用描点作图法作出图像并写出一条性质即可；
（3）根据图像求出即可．
【解答】解：（1）当x＝0 时，|6|+m＝4，
解得：m＝﹣2，
即函数解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2，
当x＝1 时，a＝1+|﹣2+6|﹣2＝3，
当x＝4 时，b＝4+|﹣2×4+6|﹣2＝4，
故答案为：﹣2，3，4；
（2）图象如右图，根据图象可知当x＝3 时函数有最小值y＝1；
（3）根据当y＝x+|﹣2x+6|﹣2 的函数图象在函数y＝
的图象上方时，不等式x+|﹣
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25
2x+6|﹣2＞
成立，
∴x＜0 或x＞4．
23 重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经
典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生
面（简称“生食”小面）．已知3 份“堂食”小面和2 份“生食”小面的总售价为31 元，
4 份“堂食”小面和1 份“生食”小面的总售价为33 元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4 月共卖出“堂食”小面4500 份，“生食”小面2500 份．为回馈广大食
客，该面馆从5 月1 日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格
降低
a%．统计5 月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4 月相同，“生食”
小面的销量在4 月的基础上增加
a%，这两种小面的总销售额在4 月的基础上增加
a%．求a 的值．
【考点】二元一次方程组的应用；一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）每份“堂食”小面的价格为7 元，每份“生食”小面的价格为5 元；
（2）a＝8．
【分析】（1）设每份“堂食”小面的价格为x 元，每份“生食”小面的价格为y 元，根
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26
据3 份“堂食”小面和2 份“生食”小面的总售价为31 元，4 份“堂食”小面和1 份
“生食”小面的总售价为33 元列方程组解出可得结论；
（2）根据5 月“堂食”小面的销售额+“生食”小面的销售额＝4 月的总销售额（1+
a%），用换元法解方程可得结论．
【解答】解：（1）设每份“堂食”小面的价格为x 元，每份“生食”小面的价格为y 元，
根据题意得：
，
解得：
，
答：每份“堂食”小面的价格为7 元，每份“生食”小面的价格为5 元；
（2）由题意得：4500×7+2500（1+
a%）×5（1﹣
a%）＝（4500×7+2500×5）（1+
a%），
设a%＝m，则方程可化为：9×7+25（1+
m）（1﹣
m）＝（9×7+25）（1+
m），
375m2﹣30m＝0，
m（25m﹣2）＝0，
解得：m1＝0（舍），m2＝
，
∴a＝8．
24 对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上
的数字之和的2 倍，则称这个四位数m 为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝2×
（5+0），所以3507 是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135 不是
“共生数”．
（1）判断5313，6437 是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2 倍，百位上的数字与个位
上的数字之和能被9 整除时，记F（n）＝
．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶
数的所有n．
【考点】列代数式；因式分解的应用．
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27
【专题】新定义；运算能力．
【答案】（1）5313 是“共生数”，6437 不是“共生数”；
（2）2148 或3069．
【分析】（1）根据题目中的定义，可直接判断5313，6437 是否为“共生数”；
（2）根据定义，先用两个未知数表示F（n），然后列出含有n 的式子，找出满足要求
的结果即可．
【解答】解：（1）∵5+3＝2×（3+1），
∴5313 是”共生数“，
∵6+7≠2×（3+4），
∴6437 不是“共生数”；
（2）∵n 是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，
设n 的千位上的数字为a，则十位上的数字为2a，（1≤a≤4），
设n 的百位上的数字为b，
∵个位和百位都是0﹣9 的数字，
∴个位上的数字为9﹣b，且9﹣b＞b，
∴0≤b≤4
∴n＝1000a+100b+20a+9﹣b；
∴F（n）＝
＝340a+33b+3，
由于n 是“共生数”，
∴a+9﹣b＝2×（2a+b），
即a+b＝3，
可能的情况有：
，
∴n 的值为1227 或2148 或3069，
各位数和为偶数的有2148 和3069，
∴n 的值是2148 或3069．
25 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x 轴交于点A（﹣1，
0），B（4，0），与y 轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛
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28
物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD 面积的最大值．
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD 平移4
个单位，
得到新的抛物线y1，点E 为点P 的对应点，点F 为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定
一点G，使得以点D，E，F，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点
G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；（2）8；（3）G（
）或G（
）或G（
）．
【分析】（1）直角代入点A，B 坐标即可；
（2）作PE∥y 轴交直线AD 于E，通过铅垂高表示出△APD 的面积即可求出最大面积；
（3）通过平移距离为4
，转化为向右平移4 个单位，再向下平移4 个单位，得出平
移后的抛物线关系式和E 的坐标，从而平行四边形中，已知线段DE，分DE 为边还是
对角线，通过点的平移得出G 的横坐标即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4 得
，
∴
，
∴y＝x2﹣3x﹣4，
（2）当x＝0 时，y＝﹣4，
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29
∴点C（0，﹣4），
∵点D 与点C 关于直线l 对称，
∴D（3，﹣4），
∵A（﹣1，0），
∴直线AD 的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，
设P（m，m2﹣3m﹣4），
作PE∥y 轴交直线AD 于E，
∴E（m，﹣m﹣1），
∴PE＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）
＝﹣m2+2m+3，
∴S△APD＝
＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，
当m＝﹣
＝1 时，S△APD最大为＝8，
（3）∴直线AD 与x 轴正方向夹角为45°，
∴沿AD 方向平移
，实际可看成向右平移4 个单位，再向下平移4 个单位，
∵P（1，﹣6），
∴E（5，﹣10），
抛物线y＝x2﹣3x﹣4 平移后y1＝x2﹣11x+20，
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30
∴抛物线y1的对称轴为：直线x＝
，
当DE 为平行四边形的边时：
若D 平移到对称轴上F 点，则G 的横坐标为
，
代入y1＝x2﹣11x+20 得y＝﹣
，
∴
，
若E 平移到对称轴上F 点，则G 的横坐标为
，
代入y1＝x2﹣11x+20 得y＝
，
∴
，
若DE 为平行四边形的对角线时，
若E 平移到对称轴上F 点，则G 平移到D 点，
∴G 的横坐标为
，
代入y1＝x2﹣11x+20 得y＝﹣
，
∴
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31
∴G（
）或G（
）或G（
），
四、解答题：（本大题1 个小题，共8 分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，
画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
26 在等边△ABC 中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E 为AB 边上一点，点F 为直线BD
上一点，连接EF．
（1）将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E 与点B 重合，且GF 的延长线过点C 时，连接DG，求线段DG 的长；
②如图2，点E 不与点A，B 重合，GF 的延长线交BC 边于点H，连接EH，求证：
BE+BH＝
BF；
（2）如图3，当点E 为AB 中点时，点M 为BE 中点，点N 在边AC 上，且DN＝2NC，
点F 从BD 中点Q 沿射线QD 运动，将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP，连
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32
接FP，当NP+
MP 最小时，直接写出△DPN 的面积．
【考点】几何变换综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力；模型思想；应用意识．
【答案】（1）①
；
②证明见解答过程；
（2）
．
【分析】（1）①过D 作DH⊥GC 于H，先证明△BGF 是等边三角形，求出CD 长度，
再证明BF＝CF＝GF，从而在Rt△BDC 中，求出CF＝
＝
＝2
，
即得GF，在Rt△CDH 中，求出DH＝CD•sin30°＝
和CH＝CD•cos30°＝
，可得
GH＝GF+FH＝
，Rt△GHD 中，即可得到DG＝
＝
；
②过E 作EP⊥AB 交BD 于P，过H 作MH⊥BC 交BD 于M，连接PG，作BP 中点N，
连接EN，由∠ABC+∠EFH＝180°，得B、E、F、H 共圆，可得∠FBH＝∠FEH，从而
可证HF＝GF，由E、P、F、G 共圆可得∠BMH＝∠GPF＝60°，故△GFP≌HFM，PF
＝FM，可得NF＝MH，BF＝MH+EP，在Rt△BEP 中，EP＝BE•tan30°＝
BE，
Rt△MHB 中，MH＝BH•tan30°＝
BH，即可得到BE+BH＝
BF；
（2）以M 为顶点，MP 为一边，作∠PML＝30°，ML 交BD 于G，过P 作PH⊥ML 于
H，设MP 交BD 于K，Rt△PMH 中，HP＝
MP，NP+
MP 最小即是NP+HP 最小，此
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33
时N、P、H 共线，而将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP，可得∠QKP＝
∠FEP＝60°，从而可证ML∥AC，四边形GHND 是矩形，由DN＝2NC，得DN＝GH＝
2，由等边△ABC 中，AB＝6，点E 为AB 中点时，点M 为BE 中点，可得BM＝
，BD
＝AB•sinA＝3
，Rt△BGM 中，MG＝
BM＝
，BG＝BM•cos30°＝
，可求MH
＝MG+GH＝
，GD＝BD﹣BG＝
，Rt△MHP 中，可得HP＝
，从而可得
PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝
，故S△DPN＝
PN•DN＝
．
【解答】解：（1）①过D 作DH⊥GC 于H，如图：
∵线段EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段EG，点E 与点B 重合，且GF 的延长线过点
C，
∴BG＝BF，∠FBG＝60°，
∴△BGF 是等边三角形，
∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，
∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC，
∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC＝
∠ABC＝30°，CD＝
AC＝
AB＝
3，
∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，
∴∠BCG＝∠DBC，
∴BF＝CF，
∴GF＝CF，
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34
Rt△BDC 中，CF＝
＝
＝2
，
∴GF＝2
，
Rt△CDH 中，DH＝CD•sin30°＝
，CH＝CD•cos30°＝
，
∴FH＝CF﹣CH＝
，
∴GH＝GF+FH＝
，
Rt△GHD 中，DG＝
＝
；
②过E 作EP⊥AB 交BD 于P，过H 作MH⊥BC 交BD 于M，连接PG，作BP 中点N，
连接EN，如图：
∵EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段EG，
∴△EGF 是等边三角形，
∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，EF＝GF，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABC+∠EFH＝180°，
∴B、E、F、H 共圆，
∴∠FBH＝∠FEH，
而△ABC 是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°，
∴∠FEH＝30°，
∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°，
∴EF＝HF＝GF ①，
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35
∵EP⊥AB，∠ABD＝30°，
∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°，
∴∠EPF+∠EGF＝180°，
∴E、P、F、G 共圆，
∴∠GPF＝∠GEF＝60°，
∵MH⊥BC，∠DBC＝30°，
∴∠BMH＝60°，
∴∠BMH＝∠GPF ②，
而∠GFP＝∠HFM ③，
由①②③得△GFP≌HFM（AAS），
∴PF＝FM，
∵EP⊥AB，BP 中点N，∠ABD＝30°，
∴EP＝
BP＝BN＝NP，
∴PF+NP＝FM+BN，
∴NF＝
BM，
Rt△MHB 中，MH＝
BM，
∴NF＝MH，
∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP，
Rt△BEP 中，EP＝BE•tan30°＝
BE，
Rt△MHB 中，MH＝BH•tan30°＝
BH，
∴BF＝
BE+
BH，
∴BE+BH＝
BF；
（2）以M 为顶点，MP 为一边，作∠PML＝30°，ML 交BD 于G，过P 作PH⊥ML 于
H，设MP 交BD 于K，如图：
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Rt△PMH 中，HP＝
MP，
∴NP+
MP 最小即是NP+HP 最小，此时N、P、H 共线，
∵将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP，
∴F 在射线QF 上运动，则P 在射线MP 上运动，根据“瓜豆原理”，F 为主动点，P 是
从动点，E 为定点，∠FEP＝60°，则F、P 轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°，
∴∠BKM＝60°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BMK＝90°，
∵∠PML＝30°，
∴∠BML＝60°，
∴∠BML＝∠A，
∴ML∥AC，
∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，
而BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，
∴四边形GHND 是矩形，
∴DN＝GH，
∵边△ABC 中，AB＝6，BD⊥AC，
∴CD＝3，
又DN＝2NC，
∴DN＝GH＝2，
∵等边△ABC 中，AB＝6，点E 为AB 中点时，点M 为BE 中点，
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∴BM＝
，BD＝AB•sinA＝6×sin60°＝3
，
Rt△BGM 中，MG＝
BM＝
，BG＝BM•cos30°＝
，
∴MH＝MG+GH＝
，GD＝BD﹣BG＝
，
Rt△MHP 中，HP＝MH•tan30°＝
，
∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝
，
∴S△DPN＝
PN•DN＝
．
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