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§8.11 圆锥曲线中范围与最值问题
题型一 范围问题
例1 (2023·淄博模拟)已知F(，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点M 在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，且kOA＋kOB＝－(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率的
取值范围．
解 (1)由题意知，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为(－，0)，
根据椭圆的定义，可得点M 到两焦点的距离之和为＋＝4，
即2a＝4，所以a＝2，
又因为c＝，可得b＝＝1，
所以椭圆C 的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l 的斜率不存在或斜率为0 时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．
故设直线l 的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以kOA＋kOB＝＋＝＝2k＋＝2k＋＝，
由kOA＋kOB＝－，可得m2＝4k＋1，
所以k≥－，
又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0，解得k<0 或k>1，
综上可得，直线l 的斜率的取值范围是∪(1，＋∞)．
思维升华 圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等
量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取
值范围．
跟踪训练1 (2022·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点C(1，y0)到其焦点F 的距离
为2.
(1)求实数p 的值；
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(2)若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A，B 两点，过A，B 分别作抛物线的切线l1，l2，且
l1，l2的交点为Q，l1，l2与y 轴的交点分别为M，N.求△QMN 面积的取值范围．
解 (1)因为点C(1，y0)到其焦点F 的距离为2，
由抛物线的定义知1＋＝2，
解得p＝2.
(2)由(1)可知，抛物线E：y2＝4x，
设A，B(y1≠0，y2≠0)，
设l：x＝ty＋1，联立得y2－4ty－4＝0，
判别式Δ＝16t2＋16>0，故t∈R，
y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
设l1：y－y1＝k，
联立方程组
消去x，整理得ky2－4y＋4y1－ky＝0，
所以Δ＝16－4k(4y1－ky)
＝4(4－4ky1＋k2y)＝0，
所以k＝，
则l1：y－y1＝，
即y＝x＋，
令x＝0，得M，
同理l2：y＝x＋，N，
联立
得交点Q 的横坐标为xQ＝＝－1，
∴S△QMN＝|MN|·|xQ|＝×1＝＝≥1，
∴△QMN 面积的取值范围是[1，＋∞)．
题型二 最值问题
例2 (2022·苏州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，
直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A，B 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设点A，B 的中点为M，求点M 到y 轴的距离的最小值．
解 (1)由题设可知
解得
则C：－y2＝1.
(2)设点M 的横坐标为xM>0，
当直线l 的斜率不存在时，则直线l：x＝2，
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易知点M 到y 轴的距离为xM＝2；
当直线l 的斜率存在时，
设l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，
Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0，
整理得4k2＝m2＋1，
联立整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＝0，
则x1＋x2＝－＝－＝－，则xM＝＝－>0，
即km<0，
则x＝＝4＋>4，
即xM>2，
此时点M 到y 轴的距离大于2.
综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2.
思维升华 圆锥曲线中最值的求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这
个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性
法等.
跟踪训练2 (2023·临沂模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离
心率为，直线x＝被C 截得的线段长为.
(1)求C 的方程；
(2)若A 和B 为椭圆C 上在x 轴同侧的两点，且AF2＝λBF1，求四边形ABF1F2面积的最大值．
解 (1)∵e＝＝，
∴＝，∴c2＝a2，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，
∴椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2，
由⇒y＝±，
由题可知2＝，解得a2＝3，
∴C：＋y2＝1.
(2)由AF2＝λBF1，
得AF2∥BF1，如图，
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延长BF1，AF2交椭圆于C，D 两点，根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD 为平行四边形，
且四边形ABF1F2的面积为四边形ABCD 的面积的一半．
由题知，BF1的斜率不为零，
故设BF1的方程为x＝my－，
联立
得(m2＋3)y2－2my－1＝0，
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
∵Δ>0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
故|BC|＝·|y1－y2|＝，
O 到BF1的距离d＝，
＝S 四边形ABCD＝×4S△OBC
＝2××|BC|·d＝|BC|·d
＝·
＝2·＝2·
＝2·≤2×＝，
当且仅当＝，即m＝±1 时取等号，
∴当m＝±1 时，四边形ABF1F2的面积最大，最大值为.
课时精练
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1,0)，离心率为2，
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)已知B(0，)，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C 相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|
BN|，求实数m 的取值范围．
解 (1)∵a＝1，＝2，
∴c＝2，b2＝3，
∴双曲线C 的标准方程为x2－＝1.
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(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
线段MN 的中点Q(x0，y0)，
联立得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，
依题意
即①
由根与系数的关系可得x1＋x2＝，
x1·x2＝－，
则x0＝＝，
y0＝kx0＋m＝，
∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN，
∴kBQ＝＝＝－，
∴3－k2＝m，②
又k2＝3－m>0，③
由①②③得m<－或0<m<.
2．(2023·吕梁模拟)已知O 为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(，
1)．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，直线OA 的斜率为k1，直线OB 的斜率为k2，且k1k2＝
－，求OA·OB的取值范围．
解 (1)由题意可得
又a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝.
所以椭圆C 的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线l 的斜率存在时，设l：y＝kx＋t，
联立
消去y 得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，Δ＝12(3＋9k2－t2)>0，
则又k1k2＝＝－，
故y1y2＝－x1x2且x1x2≠0，即3t2－9≠0，则t2≠3，又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，
所以＝＝k2＋＝k2＋
＝＝－，
整理得2t2＝9k2＋3≥3，则t2≥且Δ>0 恒成立．
OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2－x1x2＝x1x2＝·＝3·＝3，
又t2≥，且t2≠3，故3∈[－3,0)∪(0,3)．
当直线l 的斜率不存在时，x2＝x1，y2＝－y1，则k1k2＝－＝－，又＋＝1，解得x＝，则
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OA·OB＝x－y＝x＝3.
综上，OA·OB的取值范围为[－3,0)∪(0,3]．
3．(2023·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E 上，且
△OMF 的面积为p2(O 为坐标原点)．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A，B 两点，过A，B 分别作垂直于l 的直线AC，BD，
分别交抛物线于C，D 两点，求|AC|＋|BD|的最小值．
解 (1)由题意可得
解得p＝2.
故抛物线E 的方程为y2＝4x.
(2)由题意知直线l 的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l 的方程为x＝ty＋1，t≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
易知x1＝ty1＋1>0，x2＝ty2＋1>0，
联立
消去x 得y2－4ty－4＝0.
所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
由AC 垂直于l，得直线AC 的方程为y－y1＝－t(x－x1)，
联立消去x 得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0.
所以y1＋y3＝－，y1y3＝.
所以|AC|＝
＝
＝
＝
＝·|ty1＋2|
＝·(ty1＋2)．
同理可得|BD|＝·(ty2＋2)，
所以|AC|＋|BD|＝·[t(y1＋y2)＋4]＝(t2＋1)＝8，
令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝，x>0，
所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝2 时，f(x)取得最小值，即当t＝±时，|AC|＋|BD|的最小值为12.
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4．已知椭圆的两个焦点是F1(0，－2)，F2(0,2)，点P(，2)在椭圆上．
(1)求此椭圆的方程；
(2)过F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B，C，D 四点，求四边形ACBD 面积的
取值范围．
解 (1)由题意知，c＝2，
因为焦点在y 轴，
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
将点P 的坐标代入上式得＋＝1，
联立方程
解得a2＝8，b2＝4，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)如图，当过F2 的两条互相垂直的直线的斜率都存在时，设直线AB 的斜率为k，
则直线AB 的方程为y＝kx＋2，直线CD 的方程为y＝－x＋2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
联立直线AB 与椭圆方程
得x2＋kx－＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝－，
线段AB 的长为|AB|＝|x1－x2|＝×＝4×，同理联立直线CD 与椭圆方程得到|CD|＝×|x3－x4|＝
4×，
因为AB⊥CD，
所以四边形ACBD 的面积
S＝|AB|·|CD|＝16×
＝8×，
令f(k)＝·，t＝，
则有0<t<1，g(t)＝(1＋t)是关于t 的二次函数，
当0<t<1 时，1<g(t)≤，所以≤S<8；
当直线AB 或CD 有一条斜率不存在时，不妨设k＝0，
则直线AB 的方程为y＝2，
将y＝2 代入椭圆方程，
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得x＝±，则|AB|＝2，|CD|＝2a＝4，四边形ACBD 的面积S＝|AB|·|CD|＝8 ；
所以四边形ACBD 面积的取值范围是.
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