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18.1 平行四边形
知识点1：平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
知识点2：平行四边形的性质
(1) 平行四边形两组对边分别平行且相等；
(2) 平行四边形两组对角分别相等；
(3) 平行四边形两条对角线互相平分；
(4) 平行四边形平行四边形是中心对称图形.
知识点3：平行四边形的判定方法
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
知识点4：重点概念和定理
1.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线
之间的距离。
2.三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
【例题1】（2020•甘孜州）如图，在▱ABCD 中，过点C 作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE 的
度数为 ．
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【答案】50°．
【解析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠EAD＝40°，由角的互余关系得出∠BCE＝90°﹣∠B＝50°即
可．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD＝40°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝50°
【例题2】（2019 广西池河）
▪
如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加
一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是（ ）
A．∠B＝∠F
B．∠B＝∠BCF
C．AC＝CF
D．AD＝CF
【答案】B．
【解析】利用三角形中位线定理得到DE
AC，结合平行四边形的判定定理进行选择．
∵在△ABC 中，D，E 分别是AB，BC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE
AC．
A.根据∠B＝∠F 不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．
B.根据∠B＝∠BCF 可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到
四边形ADFC 为平行四边形，故本选项正确．
C.根据AC＝CF 不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．
D.根据AD＝CF，FD∥AC 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．
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【例题3】（2019 徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD 沿一条直线折叠，使点A 与点C 重合，点D 落在点
G 处，折痕为EF．求证：
（1）∠ECB＝∠FCG；
（2）△EBC≌△FGC．
【答案】见解析。
【解析】依据平行四边形的性质，即可得到∠A＝∠BCD，由折叠可得，∠A＝∠ECG，即可得到∠ECB＝
∠FCG；依据平行四边形的性质，即可得出∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，即可得
到∠B＝∠G，BC＝CG，进而得出△EBC≌△FGC．
证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，
由折叠可得，∠A＝∠ECG，∴∠BCD＝∠ECG，
∴∠BCD﹣∠ECF＝∠ECG﹣∠ECF，
∴∠ECB＝∠FCG；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠D＝∠B，AD＝BC，
由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，∴∠B＝∠G，BC＝CG，
又∵∠ECB＝∠FCG，
∴△EBC≌△FGC（ASA）．
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一、选择题
1．（2019•山东临沂）如图，在平行四边形ABCD 中，M、N 是BD 上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，
添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是（ ）
A．OM＝
AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
【答案】A
【解析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON 即可证明四边形AMCN 是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD 上的两点M、N 满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN 是平行四边形，
∵OM＝
AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN 是矩形．
2.如图，在平行四边形ABCD 中，下列各式不一定正确的是（ ）
A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180°
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C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°
【答案】D
【解析】考点有邻补角的性质，平行四边形的性质，平行的性质。
根据邻补角、平行四边形和平行的性质可知：
A．∠1 和∠2 是邻补角，故∠1+∠2=180°，正确；
B．因为AD∥BC，所以∠2+∠3=180°，正确；
C．因为AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，正确。
D．根据平行四边形的对角相等，∠2=∠4，∠2+∠4=180°不一定正确，只有当四边形是矩形时才正确。
二、填空题
3．（2020•无锡）如图，在菱形ABCD 中，∠B＝50°，点E 在CD 上，若AE＝AC，则∠BAE＝ °．
【答案】115．
【解析】由菱形的性质得出AC 平分∠BCD，AB∥CD，由平行线的性质得出∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD
＝180°，求出∠BCD＝130°，则∠ACE= 1
2
∠BCD＝65°，由等腰三角形的性质得出∠AEC＝∠ACE＝65°，
即可得出答案．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC 平分∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACE= 1
2
∠BCD＝65°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°
4．（2020•金华）如图，平移图形M，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中α 的度数是 °．
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【答案】30．
【解析】根据平行四边形的性质解答即可．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°
5．（2019 湖南娄底）如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 AD 的中点，△BCD
的周长为 18，则△DEO 的周长是 ．
E
O
B
A
C
D
【答案】9．
【解析】∵E 为 AD 中点，四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DE=
AD=
BC，DO=
BD，AO=CO，
∴OE=
CD，
∵△BCD 的周长为 18，
∴BD+DC+B=18，
∴△DEO 的周长是 DE+OE+DO=
（BC+DC+BD）=
×18=9
6.（ 2019 河南省）如图，在□ABCD 中，BE⊥AB 交对角线AC 于点E，若∠1=20°，则∠2 的度数是_______.
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【答案】110°
【解析】本题考查了平行四边形的性质和和三角形外角的性质求角的大小，解题的关键是熟练运用平行四
边形性质或三角形外角的有关知识．思路：首先利用平行四边形的性质求出∠BAE 的度数，再由∠2 是
△ABE 的外角求出∠2 的大小.
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠1=20°
∵BE⊥AB
∴∠ABE=90°
∵∠2 是△ABE 的外角
∴∠2=∠ABE+∠BAE=90°+20°=110 ，故答案为110°.
7.（ 2019 湖北省十堰市）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2√13 cm,AD=4cm,AC⊥BC,则△DBC 比△ABC
的周长长__________cm.
【答案】4
【解析】本题属于平面几何的计算题，主要涉及到平行四边形的性质、勾股定理、三角形的周长等；解题
的关键是△DBC 比△ABC 的周长长等于BD-AC;解题的思路是根据平行四边形的性质和勾股定理，分别表示
出△DBC 的周长与△ABC 的周长，找出BD-AC 的值即可.
如图，设AC 与BD 交于点F,因为AB=2√13 cm,AD=4cm,AC⊥BC，所以
AC=√AB 2−BC 2=√(2√13)2−42=√36=6 ; 因为平行四边形ABCD 中，所以，AF=FC,BF=DF; BF=
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√BC 2+CF 2=√42+32=5 , BD=10;因为△DBC 的周长=BD+BC+CD=10+AB,△ABC 的周长=AB+BC+6,所以
△DBC 比△ABC 的周长长4.
8. 如图，平行四边形ABCD 中，E，F 分别为AD，BC 边上的一点．若再增加一个条件 ，就可推得
BE=DF
【答案】AE=CF（答案不唯一）。
【解析】考点有平行四边形的判定和性质。本题只要根据平行四边形的判定添加的条件能满足四边形EBFD
为平行四边形即可推得BE=DF：
∵平行四边形ABCD 中两组对边平行且相等，
∴要使BE=DF，只要四边形EBFD 为平行四边形即可。
则当AE=CF、∠AEB=∠CFD 或∠ABE=CDF 时，满足BE=DF。
9. 如图，在平行四边形
中，
是
边上的中点．若
，
，则平行四边形
的周长是 ．
【答案】12
【解析】∵四边形
是平行四边形，∴
。∴
。
又∵
，∴
。∴
。
F
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又∵
是
边上的中点，∴
。
∴平行四边形
的周长等于
。
10. 如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD 相交于点O．若
AC＝6，则线段AO 的长度等于 ．
【答案】3
【解析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，由AC＝6，直接得出结果：AO＝3。
三、解答题
11．（2020•黄冈）已知：如图，在▱ABCD 中，点O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E，
求证：AD＝CE．
【答案】见解析。
【解析】只要证明△AOD≌△EOC（ASA）即可解决问题；
证明：∵O 是CD 的中点，
∴OD＝CO，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠OCE，
在△ADO 和△ECO 中，
{
∠D =∠OCE
OD =OC
∠AOD =∠EOC
，
∴△AOD≌△EOC（ASA），
∴AD＝CE．
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12.（2020 湖北鄂州）如图，在平行四边形
中，对角线
与
交于点O，点M，N 分别为
、
的中点，延长
至点E，使
，连接
．
（1）求证：
；
（2）若
，且
，
，求四边形
的面积．
【答案】(1)见解析；(2)24
【解析】(1)由四边形ABCD 是平行四边形得出AB=CD，AB
CD，进而得到∠BAC=∠DCA，再结合AO=CO，M,N
分别是OA 和OC 中点即可求解；
(2)证明△ABO 是等腰三角形，结合M 是AO 的中点，得到∠BMO=∠EMO=90°，同时△DOC 也是等腰三角形，
N 是OC 中点，得到∠DNO=90°，得到EM
DN，再由(1)得到EM=DN，得出四边形EMND 为矩形，进而求出面
积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD
是平行四边形，
∴AB=CD，AB
CD，OA=OC，
∴∠BAC=∠DCA，
又点M，N 分别为
、
的中点，
∴
，
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在
和
中，
，
∴
．
(2)BD=2BO，又已知BD=2AB，
∴BO=AB，∴△ABO 为等腰三角形；
又M 为AO 的中点，
∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：BM⊥AO，
∴∠BMO=∠EMO=90°，
同理可证△DOC 也为等腰三角形，
又N 是OC 的中点，
∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：DN⊥CO，
∠DNO=90°，
∵∠EMO+∠DNO=90°+90°=180°，
∴EM
DN，
又已知EM=BM，由(1)中知BM=DN，
∴EM=DN，
∴四边形EMND 为平行四边形，
又∠EMO=90°，∴四边形EMND 为矩形，
在Rt△ABM 中，由勾股定理有：
，
∴AM=CN=3，
∴MN=MO+ON=AM+CN=3+3=6，
∴
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、矩形的面积公式等，熟练掌握其性质和判定
方法是解决此类题的关键．
13.如图，已知平行四边形ABCD 中，E 为AD 中点，CE 交BA 延长线于点F。
（1）求证：CD＝AF。
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（2）若BC＝2CD，求证：∠F=∠BCF。
【答案】见解析。
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC。∴∠DCE=∠AFE。
∵E 是AD 的中点，∴DE=AE。
在△DCE 和△AFE 中
，∴△DCE≌△AFE（AAS）。∴CD=AF。
（2）由△DCE≌△AFE 得CD=AF，
∵AB=CD，∴BF=AF＋AB=2CD。
∵BC=2CD，∴BF=BC。
∴∠F=∠BCF。
14.如图，在□ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E，使CE=
1
2 BC，连接DE，CF.
(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；
(2)若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE 的长.
【答案】见解析。
【解析】(1)证明：在□ABCD 中，AD∥BC，AD=BC.
∵F 是AD 中点，
∴DF=
AD.
又∵CE=
BC,
∴DF=CE 且DF∥CE.
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∴四边形CEDF 为平行四边形.
(2)过点D 作DH⊥BE 于点H，
在ABCD 中，∵∠B=60°，
∴∠DCE=60°.
∵AB=4，
∴CD=4.
∴CH=2，DH=2
.
在□CEDF 中，CE=DF=
AD=3，EH=1，
在Rt△DHE 中，DE=
=
.
15．如图，点B、F、C、E 在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD 交BE 于O．
求证：AD 与BE 互相平分．
【答案】见解析。
【解析】连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE 是平
行四边形，进而得到AD 与BE 互相平分．
证明：如图，连接BD，AE，
∵FB=CE，
∴BC=EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
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∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE 是平行四边形，
∴AD 与BE 互相平分．
16.如图，已知E 为平行四边形ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE 分别交BC、BD 于点F、
G。
（1）求证：△AFB≌△EFC；
（2）若BD=12cm，求DG 的长。
【答案】见解析。
【解析】本题考点有平行四边形的性质，全等、相似三角形的判定和性质。
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD。
∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF。
又∵CE=DC，∴AB=EC。
在△ABF 和△ECF 中，∵∠BAF=∠CEF，∠AFB=∠EFC， AB=EC，
∴△ABF≌△ECF（AAS）。
（2）∵AB∥CD，∴△ABG∽△EDG。∴
，即
。
∵BD=12，DE=2AB，∴
，解得DG=8。
17.如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AD∥EC，∠AED=∠B．
（1）求证：△AED≌△EBC．
（2）当AB=6 时，求CD 的长．
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【答案】见解析。
【解析】利用ASA 即可证明；首先证明四边形AECD 是平行四边形，推出CD=AE=
AB 即可解决问题；
（1）证明：∵AD∥EC，
∴∠A=∠BEC，
∵E 是AB 中点，
∴AE=EB，
∵∠AED=∠B，
∴△AED≌△EBC．
（2）解：∵△AED≌△EBC，
∴AD=EC，
∵AD∥EC，
∴四边形AECD 是平行四边形，
∴CD=AE，
∵AB=6，
∴CD=
AB=3．
18.如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC 为直角边向外作等腰直角△ABD 和等腰直
角△ACE，G 为BD 的中点，连接CG，BE，CD，BE 与CD 交于点F．
（1）判断四边形ACGD 的形状，并说明理由．
（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．
【答案】看解析。
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【解析】： 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合
运用各种定理是解答此题的关键．
（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G 为BD 的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，
∠ADB=45 得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD 为平行四边形；
（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE 为
平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得
∠CFB=90°，得出结论．
∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AB=
BC，
∵△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形，
∴BD=
=BC
=2BC，
∵G 为BD 的中点，
∴BG= BD=BC，
∴△CBG 为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，
∵∠ADB=45°，
AD∥CG，
∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CBD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，
∴四边形ACGD 为平行四边形；
（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，
∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，
∴∠EAB=∠CAD，
在△DAC 与△BAE 中，
，
∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；
∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，
∴四边形ABCE 为平行四边形，∴CE=AB=AD，
在△BCE 与△CAD 中，
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，
∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，
∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．
19．（2019 湖南郴州）如图，平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，连接CE 并延长
交BA 的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF 是平行四边形．
【答案】见解析．
【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E 是AD 的中点，
∴AE＝DE，
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE（ASA），
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF 是平行四边形．
20. (湖南省永州市)如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AE 交CD 于点F，交BC 的延长线
于点E．
(1)求证：BE=CD．
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(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD 的面积．
【答案】见解析。
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB=CD，AD∥BE，∴∠DAE=∠AEB．又AE 平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE． ∴∠BAE=∠AEB． ∴BE=AB ．又AB=CD，∴BE=CD．
（2）∵BE=AB，BF⊥AE，∴AF=EF，∵AD∥BE，∴∠D=∠DCE，∠DAF=∠FEC，
∴△ADF≌△ECF(AAS)．∴S 平行四边形ABCD=S△ABE．∵BE=AB，∠BEA=60°，
∴△ABE 为等边三角形．
∴S△ABE=
1
2 AE·BF=
1
2 ×4×4sin60°=
1
2 ×4×4×
√3
2 =4√3 ．
∴S 平行四边形ABCD=4√3 ．
