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18.1.2 平行四边形的判定
第2 课时 平行四边形的判定（2）
一、选择——基础知识运用
1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对边分别相等
D．一组对边平行且相等
2．如图，在四边形ABCD 中，∠DAC=∠ACB，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应
增加的条件不能是（ ）
A．AD=BC
B．OA=OC
C．AB=CD
D．∠ABC+∠BCD=180°
3．分别过一个三角形的3 个顶点作对边的平行线，这些平行线两两相交，则构成的平行
四边形的个数是（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
4．已知四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以
判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）
①再加上条件“BC=AD”，则四边形ABCD 一定是平行四边形．
②再加上条件“∠BAD=∠BCD”，则四边形ABCD 一定是平行四边形．
③再加上条件“AO=CO”，则四边形ABCD 一定是平行四边形．
④再加上条件“∠DBA=∠CAB”，则四边形ABCD 一定是平行四边形．
A．①和② B．①③和④C．②和③D．②③和④
5．如图，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，
下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
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A．（3，1）B．（-4，1）C．（1，-1）D．（-3，1）
二、解答——知识提高运用
6．如图，凸四边形ABCD 中，AB∥CD，且AB+BC=CD+AD．求证：ABCD 是平行四边形。
7．如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点D 在BC 边上，AB 边上有一点F，且
BF=DC，连接EF、EB。
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD 是平行四边形。
8．如图，在平面直角坐标系中，A（0，20），B 在原点，C（26，0），D（24，20），动点P 从点
A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 以3cm/s 的速度向点
B 运动，P、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，
当t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？并写出P、Q 的坐标。
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9．如图，已知△ABC，分别以它的三边为边长，在BC 边的同侧作三个等边三角形，即
△ABD，△BCE，△ACF，求证：四边形ADEF 是平行四边形。
10．已知，如图OM⊥ON，OP=x-3，OM=4，ON=x-5，MN=5，MP=11-x，求证：四边形
OPMN 是平行四边形。
11．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10，过点A 作AD∥BC，且点D 在点
A 的右侧．点P 从点A 出发沿射线AD 方向以每秒1 个单位的速度运动，同时点Q 从点C 出
发沿射线CB 方向以每秒2 个单位的速度运动，在线段QC 上取点E，使得QE=2，连结PE，设
点P 的运动时间为t 秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ 的长；
（2）请问是否存在t 的值，使以A，B，E，P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出
t 的值；若不存在，请说明理由。
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参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】B
2．【答案】C
【解析】∵∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，
A、根据平行四边形的判定有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判断平行四边形，不符合题意；
C、可能是等腰梯形，故本选项错误，符合题意；
D、根据AD∥BC 和∠ABC+∠BAD=180°，能推出符合判断平行四边形的条件，不符合
题意。
故选C。
3．【答案】C
【解析】如图所示：
□ACBD，□ABCF，□ABEC，
可构成3 个平行四边形，
故选：C。
4．【答案】C
【解析】∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴①不正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
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∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴②正确，如图所示；
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AO：CO=BO：DO，
∵AO=CO，
∴BO=DO，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴③正确；
∵∠DBA=∠CAB，
∴AO=BO，
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AO：CO=BO：DO，
∵AO=BO，
∴CO=DO，四边形ABCD 不一定是平行四边形，
∴④不正确；
故选：C。
5．【答案】B
【解析】如图所示：
①以AC 为对角线，可以画出▱AFCB，F（-3，1）；
②以AB 为对角线，可以画出▱ACBE，E（1，-1）；
③以BC 为对角线，可以画出▱ACDB，D（3，1）；
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故选：B。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】
证明：假设ABCD 不是平行四边形，即AB≠CD，
不妨设AB＞CD．在AB 边上取点E，使AE=CD，则AECD 是平行四边形，
∴AD=CE，
由AB+BC=CD+AD，
即（AE+EB）+BC=CD+AD，
∴EB+BC=CE，与三角形不等式EB+BC＞CE 矛盾，
因此，ABCD 必是平行四边形。
7．【答案】（1）∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，
即：∠EAB=∠DAC，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△ACD，
∴BE=DC，∠EBA=∠DCA，
又∵BF=DC，
∴BE=BF．
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠DCA=60°，
∴△BEF 为等边三角形．
∴∠EFB=60°，EF=BF
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠EFB，
∴EF∥BC，即EF∥DC，
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∵EF=BF，BF=DC，
∴EF=DC，
∴四边形EFCD 是平行四边形。
8．【答案】运动时间为t s，
则AP=t，PD=24-t，CQ=3t，
∵四边形PQCD 为平行四边形
∴PD=CQ
∴24-t=3t
解得：t=6
即当t=6 时，四边形PQCD 为平行四边形，
此时AP=6，所以点P 的坐标为（6，20），
CQ=3t=18，所以点Q 的坐标为（8，0）。
9．【答案】∵△ABD，△BEC 都是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBE=60°-∠EBA，∠ABC=60°-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC，
在△DBE 和△ABC 中，
BD＝AB ；∠DBE＝∠ABC；BE＝BC
∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴DE=AC，
又∵△ACF 是等边三角形，
∴AC=AF，
∴DE=AF。
同理可得：△ABC≌△FEC，
∴EF=AB=DA。
∵DE=AF，DA=EF，
∴四边形ADEF 为平行四边形。
10．【答案】∵OM⊥ON，
∴在直角三角形MON 中，OM2+ON2=MN2，
∵OM=4，ON=x-5，MN=5，
∴42+（x-5）2=52，
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解得：x=8，
∴MP=11-x=11-8=3，
ON=x-5=8-5=3，
OP=x-3=8-3=5，
∴MP=ON，PO=NM
∴四边形OPMN 是平行四边形。
11．【答案】（1）作AM⊥BC 于M，如图所示：
∵∠BAC=90°，∠B=45°，
∴∠C=45°=∠B，
∴AB=AC，
∴BM=CM，
∴AM=错误: 引用源未找到BC=5，
∵AD∥BC，
∴∠PAN=∠C=45°，
∵PE⊥BC，
∴PE=AM=5，PE⊥AD，
∴△APN 和△CEN 是等腰直角三角形，
∴PN=AP=t，CE=NE=5-t，
∵CE=CQ-QE=2t-2，
∴5-t=2t-2，
解得：t=错误: 引用源未找到，BQ=BC-CQ=10-2×错误: 引用源未找到 = 错误: 引用源未
找到；
（2）存在，t=4；理由如下：
若以A，B，E，P 为顶点的四边形为平行四边形，
则AP=BE，
∴t=10-2t+2，
解得：t=4，
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∴存在t 的值，使以A，B，E，P 为顶点的四边形为平行四边形，t=4。
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