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三年专题09 三角函数
1．【2022 年全国甲卷】将函数f ( x)=sin(ωx + π
3)(ω>0)的图像向左平移π
2 个单位长度后得到曲线C，
若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ）
A．1
6
B．1
4
C．1
3
D．1
2
【答案】C
【解析】
【分析】
先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得ωπ
2 + π
3 = π
2 +kπ ,k ∈Z，即可求出ω的最小值.
【详解】
由题意知：曲线C为y =sin[ω(x + π
2)+ π
3]=sin(ωx + ωπ
2 + π
3 )，又C关于y轴对称，则
ωπ
2 + π
3 = π
2 +kπ ,k ∈Z，
解得ω= 1
3 +2k ,k ∈Z，又ω>0，故当k =0时，ω的最小值为1
3.
故选：C.
2．【2022 年全国甲卷】设函数f ( x)=sin(ωx + π
3)在区间(0,π )恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值
范围是（ ）
A．[
5
3 , 13
6 )
B．[
5
3 , 19
6 )
C．(
13
6 , 8
3]
D．(
13
6 , 19
6 ]
【答案】C
【解析】
【分析】
由x的取值范围得到ωx + π
3 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】
解：依题意可得ω>0，因为x∈(0,π )，所以ωx + π
3 ∈(
π
3 ,ωπ + π
3)，
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要使函数在区间(0,π )恰有三个极值点、两个零点，又y =sin x，x∈(
π
3 ,3 π)的图象如下所示：
则5 π
2 <ωπ + π
3 ≤3 π，解得13
6 <ω≤8
3，即ω∈(
13
6 , 8
3]．
故选：C．
3．【2022 年全国乙卷】函数f (x)=cos x +(x +1)sin x +1在区间[0,2π ]的最小值、最大值分别为
（ ）
A．−π
2 ，π
2
B．−3 π
2 ，π
2
C．−π
2 ，π
2 +2
D．−3 π
2 ，π
2 +2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数求得f (x)的单调区间，从而判断出f (x)在区间[0,2π ]上的最小值和最大值.
【详解】
f
' (x)=−sin x +sin x +(x +1)cos x =(x +1)cos x，
所以f (x)在区间(0, π
2)和(
3 π
2 ,2π)上f
' (x)>0，即f (x)单调递增；
在区间(
π
2 , 3 π
2 )上f
' (x)<0，即f (x)单调递减，
又f (0)= f (2π )=2，f(
π
2)= π
2 +2，f(
3 π
2 )=−(
3 π
2 +1)+1=−3 π
2 ，
所以f (x)在区间[0,2π ]上的最小值为−3 π
2 ，最大值为π
2 +2.
故选：D
4．【2022 年新高考1 卷】记函数f ( x)=sin(ωx + π
4 )+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π
3 <T <π，且
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y = f ( x)的图象关于点( 3 π
2 ,2)中心对称，则f ( π
2 )=（ ）
A．1
B．3
2
C．5
2
D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】
由函数的最小正周期T 满足2π
3 <T <π，得2π
3 < 2π
ω <π，解得2<ω<3，
又因为函数图象关于点( 3 π
2 ,2)对称，所以3 π
2 ω+ π
4 =kπ ,k ∈Z，且b=2，
所以ω=−1
6 + 2
3 k ,k ∈Z，所以ω= 5
2，f ( x)=sin( 5
2 x + π
4 )+2，
所以f ( π
2 )=sin( 5
4 π + π
4 )+2=1.
故选：A
5．【2022 年新高考2 卷】若sin(α + β)+cos(α + β)=2√2cos(α + π
4)sin β，则（ ）
A．tan(α −β)=1
B．tan(α + β)=1
C．tan(α −β)=−1
D．tan(α + β)=−1
【答案】C
【解析】
【分析】
由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】
由已知得：sin α cos β +cosα sin β +cosα cos β −sin α sin β =2(cosα −sin α )sin β,
即：sin α cos β −cosα sin β +cosα cos β +sin α sin β =0，
即：sin (α −β)+cos(α −β)=0,
所以tan (α −β)=−1,
故选：C
6．【2021 年甲卷文科】若
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由二倍角公式可得
，再结合已知可求得
，利用同角三角函数的基本
关系即可求解.
【详解】
，
，
，
，解得
，
，
.
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出
.
7．【2021 年乙卷文科】函数
的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．
和
B．
和2
C．
和
D．
和2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简
，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】
由题，
，所以
的最小正周期为
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，最大值为
.
故选：C．
8．【2021 年乙卷文科】
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合诱导公式可得
，再由二倍角公式即可得解.
【详解】
由题意，
.
故选：D.
9．【2021 年乙卷理科】把函数
图像上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把所
得曲线向右平移
个单位长度，得到函数
的图像，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
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解法一：从函数
的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到
，即得
，再利用换元思想求得
的解析表达式；
解法二：从函数
出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到
的解析表达
式.
【详解】
解法一：函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得到
的图象，再
把所得曲线向右平移
个单位长度，应当得到
的图象，
根据已知得到了函数
的图象，所以
，
令
,则
,
所以
,所以
；
解法二：由已知的函数
逆向变换，
第一步：向左平移
个单位长度，得到
的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到
的图象，
即为
的图象，所以
.
故选：B.
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10．【2021 年新高考1 卷】下列区间中，函数
单调递增的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式
，利用赋值法可得出结论.
【详解】
因为函数
的单调递增区间为
，
对于函数
，由
，
解得
，
取
，可得函数
的一个单调递增区间为
，
则
，
，A 选项满足条件，B 不满足条件；
取
，可得函数
的一个单调递增区间为
，
且
，
，CD 选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成
形式，再求
的单调区间，只需把
看作一个整体代入
的相应单调区间内即可，注意要先
把
化为正数．
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11．【2021 年新高考1 卷】若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(
)，进行齐次化处理，化为
正切的表达式，代入
即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】
易错点睛：本题如果利用
，求出
的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处
理，可以避开了这一讨论．
12．【2021 年新高考2 卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，
地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为
（轨道高度是指卫星到地球表面的
距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r 为
的球，其上点A 的纬度是指
与赤道平面所成角
的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为
，记卫星信号覆盖地球
表面的表面积为
（单位：
），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%
B．34%
C．42%
D．50%
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】
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由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
13．【2020 年新课标1 卷理科】设函数
在
的图像大致如下图，则f(x)的最小正周
期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可得：函数图象过点
，即可得到
，结合
是函数
图象与
轴负半轴的第一个交点即可得到
，即可求得
，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】
由图可得：函数图象过点
，
将它代入函数
可得：
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又
是函数
图象与
轴负半轴的第一个交点，
所以
，解得：
所以函数
的最小正周期为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
14．【2020 年新课标1 卷理科】已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于
的一元二次方程，求解得出
，再用同角间的三角
函数关系，即可得出结论.
【详解】
，得
，
即
，解得
或
（舍去），
又
.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于
基础题.
15．【2020 年新课标2 卷理科】若α 为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0
B．cos2α<0
C．sin2α>0
D．sin2α<0
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【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】
方法一：由α 为第四象限角，可得
，
所以
此时
的终边落在第三、四象限及
轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当
时，
，选项B 错误；
当
时，
，选项A 错误；
由
在第四象限可得：
，则
，选项C 错误，选项D 正确；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计
算求解能力.
16．【2020 年新课标3 卷理科】已知2tanθ–tan(θ+
)=7，则tanθ=（ ）
A．–2
B．–1
C．1
D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】
，
，
令
，则
，整理得
，解得
，即
.
故选：D.
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【点睛】
本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
17．【2020 年新课标3 卷文科】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】
由题意可得：
，
则：
，
，
从而有：
，
即
.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
18．【2020 年新课标3 卷文科】在△ABC 中，cosC=
，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A．
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据余弦定理求，再根据余弦定理求
，最后根据同角三角函数关系求
【详解】
设
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故选：C
【点睛】
本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
19．【2022 年新高考2 卷】已知函数f ( x)=sin(2 x +φ)(0<φ<π )的图像关于点(
2π
3 ,0)中心对称，则
（ ）
A．f ( x)在区间(0, 5 π
12)单调递减
B．f ( x)在区间(−π
12 , 11π
12 )有两个极值点
C．直线x = 7 π
6 是曲线y = f ( x)的对称轴
D．直线y = √3
2 −x是曲线y = f ( x)的切线
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】
由题意得：f(
2π
3 )=sin(
4 π
3 +φ)=0，所以4 π
3 +φ =k π，k ∈Z，
即φ =−4 π
3 +k π ,k ∈Z，
又0<φ<π，所以k =2时，φ = 2π
3 ，故f ( x)=sin(2 x + 2π
3 )．
对A，当x∈(0, 5 π
12)时，2 x + 2π
3 ∈(
2π
3 , 3 π
2 )，由正弦函数y =sinu图象知y = f ( x)在(0, 5 π
12)上是
单调递减；
对B，当x∈(−π
12 , 11π
12 )时，2 x + 2π
3 ∈(
π
2 , 5 π
2 )，由正弦函数y =sinu图象知y = f ( x)只有1 个极值
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点，由2 x + 2π
3 = 3 π
2 ，解得x = 5 π
12 ，即x = 5 π
12 为函数的唯一极值点；
对C，当x = 7 π
6 时，2 x + 2π
3 =3 π，f ( 7 π
6 )=0，直线x = 7 π
6 不是对称轴；
对D，由y ' =2cos(2 x + 2π
3 )=−1得：cos(2 x + 2π
3 )=−1
2，
解得2 x + 2π
3 = 2π
3 +2k π或2 x + 2π
3 = 4 π
3 +2k π ,k ∈Z,
从而得：x =k π或x = π
3 +k π ,k ∈Z,
所以函数y = f ( x)在点(0, √3
2 )处的切线斜率为k = y '|x =0=2cos 2π
3 =−1，
切线方程为：y −√3
2 =−( x−0)即y = √3
2 −x．
故选：AD．
20．【2020 年新高考1 卷（山东卷）】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
首先利用周期确定
的值，然后确定
的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】
由函数图像可知：
，则
，所以不选A,
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不妨令
,
当
时，
，
解得：
，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【点睛】
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系
数ω 和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝
即可求出ω；确定φ 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，
则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω 和
φ，若对A，ω 的符号或对φ 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
21．【2022 年全国乙卷】记函数f ( x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π )的最小正周期为T，若f (T )= √3
2 ，
x = π
9 为f ( x)的零点，则ω的最小值为____________．
【答案】3
【解析】
【分析】
首先表示出T，根据f (T )= √3
2 求出φ，再根据x = π
9 为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解；
【详解】
解： 因为f (x)=cos(ωx +φ)，（ω>0，0<φ<π）
所以最小正周期T = 2π
ω ，因为f (T )=cos(ω⋅2π
ω +φ)=cos(2π +φ)=cosφ = √3
2 ，
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又0<φ<π，所以φ= π
6 ，即f (x)=cos(ωx + π
6)，
又x = π
9 为f (x)的零点，所以π
9 ω+ π
6 = π
2 +k π ,k ∈Z，解得ω=3+9k ,k ∈Z，
因为ω>0，所以当k =0时ωmin=3；
故答案为：3
22．【2021 年甲卷文科】已知函数
的部分图像如图所示，则
_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先确定函数的解析式，然后求解
的值即可.
【详解】
由题意可得：
，
当
时，
，
令
可得：
，
据此有：
.
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故答案为：
.
【点睛】
已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系
数ω 和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝
即可求出ω；确定φ 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，
则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω 和
φ，若对A，ω 的符号或对φ 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
23．【2021 年甲卷理科】已知函数
的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数x 为________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先根据图象求出函数
的解析式，再求出
的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或
验证数值可得.
【详解】
由图可知
，即
，所以
；
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由五点法可得
，即
；
所以
.
因为
，
；
所以由
可得
或
；
因为
，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足
，即
，
解得
，令
，可得
，
可得
的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足
，又
，符合题意，可得
的最
小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】
关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解
，根据特殊点求解
.
24．【2020 年新课标2 卷文科】若
，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
【详解】
.
故答案为：
.
【点睛】
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本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
25．【2020 年新高考1 卷（山东卷）】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．
O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，
四边形DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=
，
，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线
DE 和EF 的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】
【解析】
【分析】
利用
求出圆弧
所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形
的面积，求出直角
的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
【详解】
设
，由题意
，
，所以
，
因为
,所以
，
因为
，所以
，
因为
与圆弧
相切于
点，所以
，
即
为等腰直角三角形；
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在直角
中，
，
，
因为
，所以
，
解得
；
等腰直角
的面积为
；
扇形
的面积
，
所以阴影部分的面积为
.
故答案为：
.
【点睛】
本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五
育并举的育人方针.
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