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专题四
三角函数与解三角形
第九讲三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
答案部分
2019
年
1.解析
解析
解析
解析
解析：因为
2
1 cos4
1
1
sin 2
cos4
2
2
2
x
f x
x
x
−
=
=
=
−
（）
（）
，
所以
f x
（）的最小正周期
2π
π
4
2
T =
=
．
2.解析
解析
解析
解析
解析 当
[0,2 ]
x
时，
,2
5
5
5
x
+
+
，
因为
( )
f x 在
[0,2 ]
有且仅有5 个零点，所以
5
2
6
5
+
„
，
所以
12
29
5
10
„
，故④正确，
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
下面判断③是否正确，
当
(0,
)
10
x
时，
(
2)
,
5
5
10
x
+
+
，
若
( )
f x 在0,10
单调递增，
则 (
2)
10
2
+
，即
3
，因为
12
29
5
10
„
，故③正确．
故选D．
3.
解析
解析
解析
解析
解析因为
( )
f x 是奇函数，所以
0
=
，
( )
sin
f x
A
x
=
.
将
( )
y
f x
=
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的
倍（纵坐标不变），所得图像对应的
2
函数为
( )
g x ，即
( )
1
sin 2
g x
A
x
=
，
因为
( )
g x 的最小正周期为2，所以2
2
1
2
= ，得
2
=
，
所以
( )
sin
g x
A
x
=
，
( )
sin2
f x
A
x
=
.
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若
2
4
g
=
，即
2
sin
2
4
4
2
g
A
A
=
=
=
，即
2
A=
，
所以
( )
2sin2
f x
x
=
，
3
3
2
2sin 2
2sin
2
2
8
8
4
2
f
=
=
=
=
.
故选
．
C
4.解析：由
2sin2
cos2
1
=
+ ，得
2
4sin
cos
2cos
=
.
因为
π
0, 2
，所以
cos
2sin
=
.
由
2
2
cos
2sin
sin
cos
1
=
+
=
，得
5
sin
5
=
.故选B.
5.解析
解析
解析
解析
解析 由
tan
2
3
tan(
)
4
= −
+
，得
tan
2
3
tan
tan 4
1
tan tan 4
= −
+
−
，
所以
tan (1
tan )
2
1
tan
3
−
= −
+
，解得
tan
2
=
或
1
tan
3
= −
．
当
tan
2
=
时，
2
2tan
4
sin2
1
tan
5
=
=
+
，
2
2
1
tan
3
cos2
1
tan
5
−
=
= −
+
，
4
2
3
2
2
sin(2
)
sin2 cos
cos2 sin
4
4
4
5
2
5
2
10
+
=
+
=
−
=
.
当
1
tan
3
= −
时，
2
2tan
3
sin2
1
tan
5
=
= −
+
，
2
2
1
tan
4
cos2
1
tan
5
−
=
=
+
，
所以
3
2
4
2
2
sin(2
)
sin2 cos
cos2 sin
4
4
4
5
2
5
2
10
+
=
+
= −
+
=
.
综上，
sin(2
)
4
+
的值是
2
10
．
6.
1
解析（
）因为
(
)
sin(
)
f x
x
+
=
+
是偶函数，所以，对任意实数x 都有
sin(
)
sin(
)
x
x
+
=
−+
，
即
sin cos
cos sin
sin cos
cos sin
x
x
x
x
+
= −
+
，
故
2sin cos
0
x
=
，
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所以
cos
0
=
．
又
[0,2 )
π
，因此
π
2
=
或3π
2
．
（）
2
2
2
2
2
π
π
π
π
sin
sin
12
4
12
4
y
f
x
f
x
x
x
=
+
+
+
=
+
+
+
π
π
1 cos 2
1 cos 2
1
3
3
6
2
1
cos2
sin 2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
−
+
−
+
=
+
= −
−
3
π
1
cos 2
2
3
x
= −
+
．
因此，函数的值域是
3
3
[1
,1
]
2
2
−
+
．
2010-2018
年
1
B
．【解析】
2
2
1
7
cos2
1 2cos
1 2 ( )
3
9
= −
= −
=
．故选
．
B
2
A
．【解析】由
sin
3
tan
cos
4
=
=
，
2
2
cos
sin
1
+
=
，得
3
sin
5
=
，
4
cos
5
=
或
3
sin
5
= −
，
4
cos
5
= −
，所以
24
sin2
2sin
cos
25
=
=
，
则
2
16
48
64
cos
2sin2
25
25
25
+
=
+
=
，故选
．
A
3
D
．【解析】因为
2
3
cos
(sin
cos )
4
2
5
−
=
+
=
，所以
3 2
sin
cos
5
+
=
，
所以
18
1
sin2
25
+
=
,所以
7
sin2
25
= −
,
D
故选
．
4
D
．【解析】原式=
1
sin 20 cos10
cos20 sin10
sin(20
10 )
sin30
2
+
=
+
=
=
．
5．C 【解析】
3
cos(
)
10
sin(
)
5
−
=
−
3
3
cos
cos
sin
sin
10
10
sin
cos
cos
sin
5
5
+
−
3
3
cos
tan
sin
10
10
tan
cos
sin
5
5
+
=
−
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3
3
cos
2tan
sin
10
5
10
2tan
cos
sin
5
5
5
+
=
−
3
3
cos
cos
2sin
sin
5
10
5
10
sin
cos
5
5
+
=
＝
1
5
5
(cos
cos
)
(cos
cos
)
2
10
10
10
10
1
2
sin
2
5
+
+
−
3cos10
3
cos10
=
=
，选C．
6
C
．【解析】
tan
0
知的终边在第一象限或第三象限，此时sin与cos同号，
故
sin2
2sin
cos
0
=
，选C．
7
B
．【解析】由条件得
sin
1 sin
cos
cos
+
=
，即
sin
cos
cos (1 sin
)
=
+
，
得
sin(
)
cos
sin(
)
2
−
=
=
−
，又因为
2
2
−
−
，0
2
2
−
，
所以
2
−
=
−
，所以2
2
−
=
．
8
D
．【解析】
2
2
2
2sin
sin
sin
B
A
A
−
=
2
2
sin
2(
)
1
2( )
1
sin
B
b
A
a
−=
−，∵3
2
a
b
=
，∴上式=7
2
．
9
A
．【解析】因为
2
1 cos2(
)
1 cos(2
)
1 sin 2
4
2
cos (
)
4
2
2
2
+
+
+
+
−
+
=
=
=
，
所以
2
2
1
1 sin 2
1
3
cos (
)
4
2
2
6
−
−
+
=
=
=
，选A.
10．C【解析】由
2
2
10
(sin
2cos )
(
)
2
+
=
可得
2
2
2
2
sin
4cos
4sin
cos
10
sin
cos
4
+
+
=
+
，
进一步整理可得
2
3tan
8tan
3
0
−
−=
，解得
tan
3
=
或
1
tan
3
= −
，
于是
2
2tan
3
tan2
1
tan
4
=
= −
−
．
11．【解析】由
D
4 2
，
可得
]
,
2
[
2
，
8
1
2
sin
1
2
cos
2
−
=
−
−
=
，
4
3
2
2
cos
1
sin
=
−
=
，答案应选
．
D
另解：由
4 2
，
及
3 7
sin2 = 8
，可得
sin
cos
1 sin
+
=
+
=
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3 7
16
6 7
9
6 7
7
7
3
1
8
16
16
4
4
+
+
+
+
=
=
=
+
，而当
4 2
，
时
cos
sin
，结合选项即可得
4
7
cos
,
4
3
sin
=
=
．
12．B【解析】分子分母同除cos得：
sin
cos
tan
1
1 ,
sin
cos
tan
1
2
+
+
=
=
−
−
∴
tan
3
= −，
∴
2
2tan
3
tan2
1
tan
4
=
=
−
13．B【解析】由角的终边在直线
2
y
x
=
上可得，
tan
2
=
，
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
1
tan
3
cos2
cos
sin
cos
sin
1
tan
5
−
−
=
−
=
=
= −
+
+
．
14．C【解析】
cos(
)
cos[(
)
(
)]
2
4
4
2
+
=
+
−
−
cos(
)cos(
)
4
4
2
=
+
−
sin(
)sin(
)
4
4
2
+
+
−
，而
3
(
,
)
4
4
4
+
，
(
,
)
4
2
4 2
−
，
因此
2 2
sin(
)
4
3
+
=
，
6
sin(
)
4
2
3
−
=
，
则
1
3
2 2
6
5 3
cos(
)
2
3
3
3
3
9
+
=
+
=
．
15．A【解析】∵
4
cos
5
= −
，且是第三象限，∴
3
sin
5
= −
，
∴
1
tan 2
1
tan 2
+
=
−
2
cos
sin
(cos
sin
)
2
2
2
2
cos
sin
(cos
sin
)(cos
sin
)
2
2
2
2
2
2
+
+
=
−
−
+
2
2
1 sin
1 sin
1
cos
2
cos
sin
2
2
+
+
=
=
= −
−
．
16．
3 3
2
−
【解析】解法一 因为
( )
2sin
sin2
=
+
f x
x
x ，
所以
2
1
( )
2cos
2cos2
4cos
2cos
2
4(cos
)(cos
1)
2
=
+
=
+
−
=
−
+
f
x
x
x
x
x
x
x
，
由
( )
0
≥
f
x
得1
cos
1
2
≤
≤
x
，即2
2
3
3
−
+
≤≤
k
x
k
，，
由
( )
0
≤
f
x
得
1
1
cos
2
−≤
≤
x
，即2
2
3
+
+
≤≤
k
x
k
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或2
2
3
−
−
≤≤
k
x
k
，Z
k
，
所以当
2
3
=
−
x
k
（Z
k
）时，
( )
f x 取得最小值，
且
min
3 3
( )
(2
)
2sin(2
)
sin2(2
)
3
3
3
2
=
−
=
−
+
−
= −
f x
f
k
k
k
．
解法二 因为
( )
2sin
sin2
2sin (1 cos )
=
+
=
+
f x
x
x
x
x ，
所以
2
2
2
3
[ ( )]
4sin
(1
cos )
4(1 cos )(1
cos )
=
+
=
−
+
f x
x
x
x
x
4
4
3(1 cos )
(1 cos )
(1 cos )
(1 cos )
27
[
]
3
4
4
−
+
+
+
+
+
+
=
≤
x
x
x
x
，
当且仅当
3(1 cos )
1 cos
−
= +
x
x ，即
1
cos
2
=
x
时取等号，
所以
2
27
0
[ ( )]
4
≤
≤
f x
，
所以
( )
f x 的最小值为
3 3
2
−
．
17．
1
2
−
【解析】∵
sin
cos
1
+
=
α
β
，
cos
sin
0
+
=
α
β
，
∴
2
2
sin
cos
2sin
cos
1
+
+
=
①，
2
2
cos
sin
2cos
sin
0
+
+
=
②，
①②两式相加可得
2
2
2
2
sin
cos
sin
cos
2(sin
cos
cos
sin
)
1
+
+
+
+
+
= ，
∴
1
sin(
)
2
+
= −
．
18．1【解析】化简三角函数的解析式，则
( )
2
2
3
1
1 cos
3cos
cos
3 cos
4
4
f x
x
x
x
x
= −
+
−
= −
+
+
=
2
3
(cos
)
1
2
x
−
−
+
，
由
[0,
]
2
x
可得
cos
[0,1]
x
，当
3
cos
2
x =
时，函数 ( )
f x
取得最大值．
1
19．
7
9
−
【解析】∵角与角的终边关于y 轴对称，所以
2k
+
=
+
，
所以
1
sin
sin(2
)
sin
3
k
=
+
−
=
=
，
cos
cos
= −
；
2
2
2
cos(
)
cos
cos
sin
sin
cos
sin
2sin
1
−
=
+
= −
+
=
−
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2
1
7
2 ( )
1
3
9
=
−= −
．
20．7
5
【解析】
tan(
)
tan
7
4
4
tan
tan[(
)
]
4
4
5
1
tan(
)
tan
4
4
−
+
=
−
+
=
=
−
−
．
21．
6
2
【解析】
6
sin15
sin75
sin15
cos15
2sin(15
45 )
2
+
=
+
=
+
=
．
22．3【解析】
1
2
tan(
)
tan
7
tan
tan(
)
3
2
1
tan(
)tan
1
7
+
+
−
=
+
−
=
=
=
+
+
−
．
23．1【解析】
( )
sin[(
)
]
2sin
cos(
)
f x
x
x
=
+
+
−
+
sin(
)cos
cos(
)sin
x
x
=
+
−
+
sin(
)
sin
x
x
=
+
−
=
．∵x
R
，所以
( )
f x
的最大值为．
1
24．
10
5
−
【解析】∵
1
tan
4
2
+
=
,可得
1
tan
3
= −
，∴
1
2
sin
,cos
10
10
=
= −
，
sin
cos
+
=
10
5
−
．
25．3 【解析】
sin2
2sin
cos
sin
=
= −
，则
1
cos
2
= −
，又
(
, )
2
，
则
tan
3
= −
，
2
2tan
2 3
tan 2
3
1 tan
1 3
−
=
=
=
−
−
．
26．50
2
17
【解析】 因为为锐角，cos(
)
6
+
= 4
5
,
sin(
∴
)
6
+
= 3
5
，
∴sin2(
,
25
24
)
6
=
+
cos2(
7
) 6
25
+
=
，
所以sin(
50
2
17
25
17
2
2
]
4
)
6
(
2
sin[
)
12
2
=
=
−
+
=
+
．
27．【解析】(1)因为
4
tan
3
=
，
sin
tan
cos
=
，所以
4
sin
cos
3
=
．
因为
2
2
sin
cos
1
+
= ，所以
2
9
cos
25
=
，
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因此，
2
7
cos2
2cos
1
25
=
−= −
．
(2)因为
,
为锐角，所以
(0, )
π
+
．
又因为
5
cos(
)
5
+
= −
，所以
2
2 5
sin(
)
1
cos (
)
5
+
=
−
+
=
，
因此
tan(
)
2
+
= −．
因为
4
tan
3
=
，所以
2
2tan
24
tan2
1
tan
7
=
= −
−
，
因此，
tan 2
tan(
)
2
tan(
)
tan[2
(
)]
1+tan 2
tan(
)
11
−
+
−
=
−
+
=
= −
+
．
28．【解析】(1)由角的终边过点
3
4
(
,
)
5
5
P −
−
得
4
sin
5
= −
，
所以
4
sin(
)
sin
5
+
= −
=
．
(2)由角的终边过点
3
4
(
,
)
5
5
P −
−
得
3
cos
5
= −
，
由
5
sin(
)
13
+
=
得
12
cos(
)
13
+
=
．
由
(
)
=
+
−
得
cos
cos(
)cos
sin(
)sin
=
+
+
+
，
所以
56
cos
65
= −
或
16
cos
65
= −
．
29．【解析】（Ⅰ）由
2
3
sin 3
2
=
，
2
1
cos 3
2
= −
，
2
(
)
3
f
2
2
3
1
3
1
(
)
(
)
2 3
(
)
2
2
2
2
=
−−
−
−
得
2
(
)
2
3
f
=
．
（Ⅱ）由
2
2
cos2
cos
sin
x
x
x
=
−
与
sin2
2sin cos
x
x
x
=
得
( )
cos2
3sin 2
2sin(2
)
6
f x
x
x
x
= −
−
= −
+
所以
( )
f x 的最小正周期是
由正弦函数的性质得
3
2
2
2
2
6
2
k
x
k
+
+
+
≤
≤
， k Z
解得
2
6
3
k
x
k
+
+
≤≤
, k Z
所以
( )
f x 的单调递增区间是
2
[
,
]
6
3
k
k
+
+
( k Z )
．
关注微信公众号：加油高三
30．【解析】（1）∵
(
)
5
sin
2
5
=
，，
，∴
2
2 5
cos
1 sin
5
= −
−
= −
(
)
2
10
sin
sin
cos
cos
sin
(cos
sin )
4
4
4
2
10
+
=
+
=
+
= −
；
（）∵
2
2
2
4
3
sin 2
2sin
cos
cos2
cos
sin
5
5
=
= −
=
−
=
，
∴
(
)
(
)
3
3
1
4
3 3
4
cos
2
cos
cos2
sin
sin2
6
6
6
2
5
2
5
10
+
−
=
+
= −
+
−
= −
．
31．【解析】（1）因为
( )
(
)
(
)
2
2cos
cos 2
f x
a
x
x
=
+
+
是奇函数，而
2
1
2cos
y
a
x
=
+
为偶函
数，所以
2
cos(2
)
y
x
=
+
为奇函数，又
(
)
0
,
，
得
2
=
．
所以
( )
f x =
2
sin2
2cos
x
a
x
−
+
（
）由
0
4 =
f
，得
(
1)
0
a
−
+
=
，即
1.
a = −
（2）由（1）得：
( )
1
sin4 ,
2
f x
x
= −
因为
1
2
sin
4
2
5
f
= −
= −
，得
4
sin
,
5
=
又
2
，
，所以
3
cos
,
5
= −
因此
sin
sin
cos
sin
cos
3
3
3
+
=
+
=
4
3 3 .
10
−
32．【解析】（）
1
(
)
2 cos
1.
3
12
4
f
−
=
=
（）
2
3 3
cos
,
5
2
=
由于
<θ< π
2 ，
所以
2
9
4
sin
1
cos
1
25
5
= −
−
= −
−
= −
，
因此
(
)
2 cos(
)
6
6
12
f
−
=
−
−
=
2 cos(
)
2 cos
cos
2 sin sin
)
4
4
4
3
2
4
2
1
2
2
(
)
5
2
5
2
5
=
−
=
+
=
−
= −
33．【解析】：（）
1
2
1
( )
(2cos
1)sin 2
cos4
2
f x
x
x
x
=
−
+
1
cos2 sin2
cos4
2
x
x
x
=
+
1
1
sin 4
cos4
2
2
x
x
=
+
2
sin(4
)
2
4
x
=
+
所以，最小正周期
2
4
2
T
=
=
关注微信公众号：加油高三
当4
2
4
2
x
k
+
=
+
(k
Z
)，即
2
16
k
x
=
+
( k
Z
)时，
max
2
( )
2
f x
=
．
（）因为
2
2
2
( )
sin(4
)
2
4
2
f
=
+
=
，所以
sin(4
)
1
4
+
=
，
因为2
，所以 9
17
4
4
4
4
+
，
所以
5
4
4
2
+
=
，即
9
16
=
．
34．【解析】（）
1
2
1
10
5
T
=
=
=
．
（）
2
5
6
3
3
4
(5
)
cos(
)
sin
,cos
3
5
2
5
5
5
f
+
= −
+
= −
=
=
5
16
8
15
(5
)
cos
,sin
6
17
17
17
f
−
=
=
=
．
4
8
3
15
13
cos(
)
cos
cos
sin
sin
5
17
5 17
85
+
=
−
=
−
= −
．
