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三年专题04 导数及其应用（解答题）
（理科专用）
1．【2022 年全国甲卷】已知函数f (x)= e
x
x −ln x + x−a．
(1)若f (x)≥0，求a 的取值范围；
(2)证明：若f (x)有两个零点x1, x2，则环x1 x2<1．
2．【2022 年全国乙卷】已知函数f (x)= ln (1+ x)+ax e
−x
(1)当a=1时，求曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)若f (x)在区间(−1,0),(0,+ ∞)各恰有一个零点，求a 的取值范围．
3．【2022 年新高考1 卷】已知函数f ( x)=e
x−ax和g( x)=ax−ln x有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线y =b，其与两条曲线y = f ( x)和y = g( x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
4．【2022 年新高考2 卷】已知函数f ( x)= x e
ax−e
x．
(1)当a=1时，讨论f ( x)的单调性；
(2)当x>0时，f ( x)<−1，求a 的取值范围；
(3)设n∈N
∗，证明：
1
√1
2+1
+
1
√2
2+2
+⋯+
1
√n
2+n
>ln(n+1)．
5．【2021 年甲卷理科】已知
且
，函数
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求a 的取值范围．
6．【2021 年乙卷理科】设函数
，已知
是函数
的极值点．
（1）求a；
（2）设函数
．证明:
．
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7．【2021 年新高考1 卷】已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
8．【2021 年新高考2 卷】已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：
只有一个零点
①
；
②
．
9．【2020 年新课标1 卷理科】已知函数
.
（1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≥
x3+1，求a 的取值范围.
10．【2020 年新课标2 卷理科】已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：
；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤
.
11．【2020 年新课标3 卷理科】设函数
，曲线
在点(
，f(
))处的切线与y 轴垂直．
（1）求b．
（2）若
有一个绝对值不大于1 的零点，证明：
所有零点的绝对值都不大于1．
12．【2020 年新高考1 卷（山东卷）】已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式
恒成立，求a 的取值范围．
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