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三年专题20 不等式选讲
1．【2022 年全国甲卷】已知a，b，c 均为正数，且a
2+b
2+ 4 c
2=3，证明：
(1)a+b+2c≤3；
(2)若b=2c，则1
a + 1
c ≥3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据a
2+b
2+ 4 c
2=a
2+b
2+(2c)
2，利用柯西不等式即可得证；
（2）由（1）结合已知可得0<a+ 4 c≤3，即可得到
1
a+ 4 c ≥1
3，再根据权方和不等式即可得证.
(1)
证明：由柯西不等式有[a
2+b
2+(2c)
2](1
2+1
2+1
2)≥(a+b+2c)
2，
所以a+b+2c≤3，
当且仅当a=b=2c =1时，取等号，
所以a+b+2c≤3；
(2)
证明：因为b=2c，a>0，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c =a+ 4 c≤3，
即0<a+ 4 c≤3，所以
1
a+ 4 c ≥1
3，
由权方和不等式知1
a + 1
c = 1
2
a + 2
2
4 c ≥(1+2)
2
a+ 4 c =
9
a+ 4 c ≥3，
当且仅当1
a = 2
4 c ，即a=1，c = 1
2时取等号，
所以1
a + 1
c ≥3.
2．【2022 年全国乙卷】已知a，b，c 都是正数，且a
3
2 +b
3
2 +c
3
2 =1，证明：
(1)abc≤1
9；
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(2) a
b+c +
b
a+c +
c
a+b ≤
1
2√abc ；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
(1)
证明：因为a>0，b>0，c>0，则a
3
2 >0，b
3
2 >0，c
3
2 >0，
所以a
3
2 +b
3
2 +c
3
2
3
≥
3√a
3
2 ⋅b
3
2 ⋅c
3
2，
即(abc)
1
2 ≤1
3
，所以abc≤1
9，当且仅当a
3
2 =b
3
2 =c
3
2，即a=b=c =
3√
1
9时取等号．
(2)
证明：因为a>0，b>0，c>0，
所以b+c≥2√bc，a+c≥2√ac，a+b≥2√ab，
所以a
b+c ≤
a
2√bc =
a
3
2
2√abc
，b
a+c ≤
b
2√ac =
b
3
2
2√abc
，c
a+b ≤
c
2√ab =
c
3
2
2√abc
a
b+c +
b
a+c +
c
a+b ≤
a
3
2
2√abc +
b
3
2
2√abc +
c
3
2
2√abc = a
3
2 +b
3
2 +c
3
2
2√abc
=
1
2√abc
当且仅当a=b=c时取等号．
3．【2021 年甲卷文科】已知函数
．
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（1）画出
和
的图像；
（2）若
，求a 的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将
向左平移可满足同角，求得
过
时
的
值可求.
【详解】
（1）可得
，画出图像如下：
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，画出函数图像如下：
（2）
，
如图，在同一个坐标系里画出
图像，
是
平移了
个单位得到，
则要使
，需将
向左平移，即
，
当
过
时，
，解得
或
（舍去），
则数形结合可得需至少将
向左平移
个单位，
.
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【点睛】
关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
4．【2021 年乙卷文科】已知函数
．
（1）当
时，求不等式
的解集;
（2）若
，求a 的取值范围．
【答案】（1）
.（2）
.
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简
，由此求得
的取值范围.
【详解】
（1）[方法一]：绝对值的几何意义法
当
时，
，
表示数轴上的点到和
的距离之和，
则
表示数轴上的点到和
的距离之和不小于，
当
或
时所对应的数轴上的点到
所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到
所对应的点距离之和等于大于等于6 得到所对应的坐标的范围是
或
，
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所以
的解集为
.
[方法二]【最优解】：零点分段求解法
当
时，
．
当
时，
，解得
；
当
时，
，无解；
当
时，
，解得
．
综上，
的解集为
．
（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值
依题意
，即
恒成立，
，
当且仅当
时取等号，
,
故
，
所以
或
，
解得
.
所以
的取值范围是
.
[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值
由
是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得
，故
，下
同解法一.
[方法三]：分类讨论+分段函数法
当
时，
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则
，此时
，无解．
当
时，
则
，此时，由
得，
．
综上，a 的取值范围为
．
[方法四]：函数图象法解不等式
由方法一求得
后，构造两个函数
和
，
即
和
，
如图，两个函数的图像有且仅有一个交点
，
由图易知
，则
．
【整体点评】
（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．
方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1 的情况，
方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；
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（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得
，利用不等式恒成立的意义得到关于
的不等
式，然后利用绝对值的意义转化求解；
方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得
的最小值，最有简洁快速，为最优解法
方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求
最小值，要注意函数
中的各绝对值的
零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；
方法四与方法一的不同在于得到函数
的最小值后，构造关于
的函数，利用数形结合思想求解关于
的不等式.
5．【2020 年新课标1 卷理科】已知函数
．
（1）画出
的图像；
（2）求不等式
的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）
.
【解析】
【分析】
（1）根据分段讨论法，即可写出函数
的解析式，作出图象；
（2）作出函数
的图象，根据图象即可解出．
【详解】
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（1）因为
，作出图象，如图所示：
（2）将函数
的图象向左平移个单位，可得函数
的图象，如图所示：
由
，解得
．
所以不等式
的解集为
．
【点睛】
本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．
6．【2020 年新课标2 卷理科】已知函数
.
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
，求a 的取值范围.
【答案】（1）
或
；（2）
.
【解析】
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【分析】
（1）分别在
、
和
三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到
，由此构造不等式求得结果.
【详解】
（1）当
时，
.
当
时，
，解得：
；
当
时，
，无解；
当
时，
，解得：
；
综上所述：
的解集为
或
.
（2）
（当且仅当
时取
等号），
，解得：
或
，
的取值范围为
.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
7．【2020 年新课标3 卷理科】设a，b，c
R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥
．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）方法一：由
结合不等式的性质，即可得出证明；
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（2）方法一：不妨设
，因为
，所以
，则
．故原不等式成立．
【详解】
（1）［方法一］【最优解】：通性通法
，
.
均不为，则
，
．
［方法二］：消元法
由
得
，则
，当且仅当
时取等号，
又
，所以
．
［方法三］：放缩法
方式1：由题意知
，又
，故结论得证．
方式2：因为
，
所以
．
即
，当且仅当
时取等号，
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又
，所以
．
［方法四］：
因为
，所以a，b，c 必有两个负数和一个正数，
不妨设
则
.
［方法五］：利用函数的性质
方式1：
，令
，
二次函数对应的图像开口向下，又
，所以
，
判别式
，无根，
所以
，即
．
方式2：设
，
则
有a，b，c 三个零点，若
，
则
为R 上的增函数，不可能有三个零点，
所以
．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
不妨设
，因为
，所以
，
则
．故原不等式成立．
［方法二］：
不妨设
，因为
，所以
，且
则关于x 的方程
有两根，其判别式
，即
．
故原不等式成立．
［方法三］：
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不妨设
，则
，关于c 的方程有解，
判别式
，则
．故原不等式成立．
［方法四］：反证法
假设
，不妨令
，则
，又
，矛盾，故假设不成立．即
，命题得证．
【整体点评】
（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，
也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法
四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．
（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元
二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．
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