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三年专题15 概率与统计（解答题）
（文科专用）
1．【2022 年全国甲卷】甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客
车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500 个班次，得到下面列联表：
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：K
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d)(a+c)(b+d)，
P(K
2⩾k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
【答案】(1)A，B 两家公司长途客车准点的概率分别为12
13，7
8
(2)有
【解析】
【分析】
（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据及公式计算K
2，再利用临界值表比较即可得结论.
(1)
根据表中数据，A 共有班次260 次，准点班次有240 次，
设A 家公司长途客车准点事件为M，
则P( M )= 240
260 = 12
13；
B 共有班次240 次，准点班次有210 次，
设B 家公司长途客车准点事件为N，
则P( N )= 210
240 = 7
8.
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A 家公司长途客车准点的概率为12
13；
B 家公司长途客车准点的概率为7
8.
(2)
列联表
准点班次数
未准点班次数
合计
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500
K
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d)
=500×(240×30−210×20)
2
260×240×450×50
≈3.205>2.706，
根据临界值表可知，有90 %的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
2．【2022 年全国乙卷】某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木
的总材积量，随机选取了10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m
2）和材积量（单位：m
3
），得到如下数据：
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得∑
i=1
10
xi
2=0.038,∑
i=1
10
yi
2=1.6158,∑
i=1
10
xi yi=0.2474．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m
2．已
知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
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附：相关系数r =
∑
i=1
n
( xi−x)( yi−y)
√∑
i=1
n
( xi−x)
2∑
i=1
n
( yi−y)
2
,√1.896≈1.377．
【答案】(1)0.06m
2；0.39m
3
(2)0.97
(3)1209m
3
【解析】
【分析】
（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵
的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；
（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估
计值．
(1)
样本中10 棵这种树木的根部横截面积的平均值x = 0.6
10 =0.06
样本中10 棵这种树木的材积量的平均值y = 3.9
10 =0.39
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m
2，
平均一棵的材积量为0.39m
3
(2)
r =
∑
i=1
10
( xi−x)( yi−y)
√∑
i=1
10
❑( xi−x)
2∑
i=1
10
❑( yi−y)
2
=
∑
i=1
10
❑xi yi−10 x y
√(∑
i=1
10
❑xi
2−10 x
2)(∑
i=1
10
❑yi
2−10 y
2)
=
0.2474−10×0.06×0.39
√(0.038−10×0.06
2)(1.6158−10×0.39
2)
=
0.0134
√0.0001896 ≈0.0134
0.01377 ≈0.97
则r ≈0.97
(3)
设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m
3，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
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可得0.06
0.39 = 186
Y ，解之得Y =1209m
3．
则该林区这种树木的总材积量估计为1209m
3
3．【2021 年甲卷文科】甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台
机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级
品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】（1）75%；60%；
（2）能.
【解析】
【分析】
根据给出公式计算即可
【详解】
（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为
,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为
.
（2）
,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
4．【2021 年乙卷文科】某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提
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高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为
和
，样本方差分别记为
和
．
（1）求
，
，
，
；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
，则认为新
设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【答案】（1）
；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显
著提高.
【解析】
【分析】
（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
【详解】
（1）
，
，
，
.
（2）依题意，
，
，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
5．【2020 年新课标1 卷文科】某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，
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C，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90 元，50 元，20
元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成
本费为25 元/件，乙分厂加工成本费为20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加
工了100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接
加工业务?
【答案】（1）甲分厂加工出来的
级品的概率为
，乙分厂加工出来的
级品的概率为
；（2）选
甲分厂，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据两个频数分布表即可求出；
（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工
件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
【详解】
（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为
级品的概率为
，乙厂加工出来的一件产品为
级
品的概率为
；
（2）甲分厂加工
件产品的总利润为
元，
所以甲分厂加工
件产品的平均利润为
元每件；
乙分厂加工
件产品的总利润为
元，
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所以乙分厂加工
件产品的平均利润为
元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题．
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