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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题03 导数及应用（选填小题）
函数导数应用是高考必考知识点
考点01 利用导数求函数单调性，极值最值
1．（2023 年全国新高考Ⅱ卷数学）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为
（ ）．
A．
B．e
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
在
上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．
故选：C．
2．（2023 年全国高考乙卷数学（文）试题）函数
存在3 个零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】写出
，并求出极值点，转化为极大值大于0 且极小值小于0 即可.
【详解】
，则
，
若
要存在3 个零点，则
要存在极大值和极小值，则
，
令
，解得
或
，
且当
时，
，
当
，
，
故
的极大值为
，极小值为
，
若
要存在3 个零点，则
，即
，解得
，故选：B.
3．（2023 年全国高考甲卷数学（文）试题）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方
程即可求解.
【详解】设曲线
在点
处的切线方程为
，
因为
，所以
，
所以
所以
所以曲线
在点
处的切线方程为
.故选：C
4．（2022 年全国高考甲卷数学（文）试题）当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知
，
即可解得
，再根据
即可解出．
【详解】因为函数
定义域为
，所以依题可知，
，
，而
，所以
，即
，所以
，因此函数
在
上递增，在
上递减，
时取最大值，满足题意，即有
．故选：B.
5．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）设
，若
为函数
的极大值点，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对
进行分
类讨论，画出
图象，即可得到
所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若
，则
为单调函数，无极值点，不符合题意，故
.
有
和
两个不同零点，且在
左右附近是不变号，在
左右附近是变号的.依题意，
为函数
的极大值点，
在
左右附近都是小于零的.
当
时，由
，
，画出
的图象如下图所示：
由图可知
，
，故
.
当
时，由
时，
，画出
的图象如下图所示：
由图可知
，
，故
.
综上所述，
成立.故选：D
6．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定
结果；
解法二：画出曲线
的图象，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线
上任取一点
，对函数
求导得
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
由题意可知，点
在直线
上，可得
，
令
，则
.
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以，
，
由题意可知，直线
与曲线
的图象有两个交点，则
，
当
时，
，当
时，
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与曲线
的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线
的图象如图所示，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知
.
故选：D.
.
7．（2019 年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）若x1=
，x2=
是函数f(x)=
(
>0)两个相邻的极值点，
则
=
A．2
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得
.
【详解】由题意知，
的周期
，得
．故选A．
【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式
法，利用方程思想解题．
8．（2019 年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）曲线y=2sinx+cosx 在点(π，–1)处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先判定点
是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】当
时，
，即点
在曲线
上．
则
在点
处的切线方程为
，即
．故选C．
【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取
导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，
若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
9．（2019 年全国高考Ⅲ卷（文）数学试题）已知曲线
在点
处的切线方程为
，
则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得
，将点的坐标代入直线方程，求得
．
【详解】详解：
，
将
代入
得
，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
二、填空题
10．（2022 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围
是________________．
【答案】
【分析】设出切点横坐标
，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于
的方程，
根据此方程应有两个不同的实数根，求得
的取值范围.
【详解】∵
，∴
，
设切点为
,则
,切线斜率
,
切线方程为：
,
∵切线过原点，∴
,
整理得：
,
∵切线有两条，∴
,解得
或
,
∴
的取值范围是
,
故答案为：
11．（2022 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）函数
的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知
定义域为
，讨论
、
、
，并结合导数研究的单调性，
即可求
最小值.
【详解】由题设知：
定义域为
，
∴当
时，
，此时
单调递减；
当
时，
，有
，此时
单调递减；
当
时，
，有
，此时
单调递增；
又
在各分段的界点处连续，
∴综上有：
时，
单调递减，
时，
单调递增；
∴
故答案为：1.
12．（2022 年全国高考Ⅰ卷（文）数学试题）曲线
的一条切线的斜率为2，则该切线的方程
为______________.
【答案】
【分析】设切线的切点坐标为
，对函数求导，利用
，求出
，代入曲线方程求出
，得到
切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】设切线的切点坐标为
，
，所以切点坐标为
，
所求的切线方程为
，即
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
13．（2019 年全国高考Ⅲ卷（文）数学试题）设函数
．若
，则a=_________．
【答案】1
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值
【详解】由函数的解析式可得：
，
则：
，据此可得：
，
整理可得：
，解得：
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
14．（2019 年全国高考Ⅰ卷（文）数学试题）曲线
在点
处的切线方程为___________．
【答案】
.
【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线
方程
【详解】详解：
所以，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导
要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
考点02 构造函数利用导数求单调性比较大小
1．（2023 年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
2．（2022 年全国高考甲卷数学（文）试题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知
，再利用基本不等式，换底公式
可得
，
，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由
可得
，而
，所以
，
即
，所以
.
又
，所以
，即
，
所以
.综上，
.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由
，可得
．
根据
的形式构造函数
，则
，
令
，解得
，由
知
.
在
上单调递增，所以
，即
，
又因为
，所以
.
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用
的形式构造函数
，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
3．（2022 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
， 导数判断其单调性，由此确定
的大小.
【详解】方法一：构造法
设
，因为
，
当
时，
，当
时
，
所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故
，即
，
所以
，所以
，故
，所以
，
故
，
设
，则
,
令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
又
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
所以
，即
，所以
故选：C.
方法二：比较法
解：
，
，
，
①
，
令
则
，
故
在
上单调递减，
可得
，即
，所以
；
②
，
令
则
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，所以
故
4．（2021 年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）已知
，
，
，则下列判断正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较
、
与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
，即
.
故选：C.
5．（2020 年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将不等式变为
，根据
的单调性知
，以此去判断各个选项中真
数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由
得：
，
令
，
为
上的增函数，
为
上的减函数，
为
上的增函数，
，
，
，
，则A 正确，B 错误；
与的大小不确定，故CD 无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得
到
的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
6．（2020 年全国高考Ⅲ卷（文）数学试题）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别将
,
改写为
，
，再利用单调性比较即可.
【详解】因为
，
，
所以
.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
7．（2019 年全国高考Ⅲ卷（文）数学试题）设
是定义域为
的偶函数，且在
单调递减，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知函数为偶函数，把
，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】
是R 的偶函数，
．
，
又
在(0，+∞)单调递减，
∴
，
，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
考点03 导数综合应用
1．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）函数
的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知
定义域为
，讨论
、
、
，并结合导数研究的单调性，
即可求
最小值.
【详解】由题设知：
定义域为
，
∴当
时，
，此时
单调递减；
当
时，
，有
，此时
单调递减；
当
时，
，有
，此时
单调递增；
又
在各分段的界点处连续，
∴综上有：
时，
单调递减，
时，
单调递增；
∴
故答案为：1.
2．（2023·天津·统考高考真题）若函数
有且仅有两个零点，则
的取值范围为
_________．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断
的取值范围．
【详解】（1）当
时，
，
即
，
若
时，
，此时
成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
且
；
若方程有一根为
，则
，解得：
且
；
若
时，
，此时
成立．
（2）当
时，
，
即
，
若
时，
，显然
不成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
；
若方程有一根为
，则
，解得：
；
若
时，
，显然
不成立；
综上，
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
．
所以，当函数有两个零点时，
且
．
故答案为：
．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，
然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
3．（2021·北京·统考高考真题）已知函数
，给出下列四个结论：
①若
，
恰 有2 个零点；
②存在负数
，使得
恰有1 个零点；
③存在负数
，使得
恰有3 个零点；
④存在正数
，使得
恰有3 个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由
可得出
，考查直线
与曲线
的左、右支分别相切的情
形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当
时，由
，可得
或
，①正确；
对于②，考查直线
与曲线
相切于点
，
对函数
求导得
，由题意可得
，解得
，
所以，存在
，使得
只有一个零点，②正确；
对于③，当直线
过点
时，
，解得
，
所以，当
时，直线
与曲线
有两个交点，
若函数
有三个零点，则直线
与曲线
有两个交点，
直线
与曲线
有一个交点，所以，
，此不等式无解，
因此，不存在
，使得函数
有三个零点，③错误；
对于④，考查直线
与曲线
相切于点
，
对函数
求导得
，由题意可得
，解得
，
所以，当
时，函数
有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
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